解析几何第一章教学课件

1、第一章 向量代数1.1 向量的概念1.2 向量的线性运算1.3 向量的内积、外积和混合积第一章 向量代数1.1 向量的概念1.2 向量的线性运算1.3 向量的内积、第1页，共43页。 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做矢量，或称向量.矢量(向量)既有大小又有方向的量.向量的几何表示：1.1 向量的概念| |向量的模：向量的大小.或或两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量;有向线段有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小,定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做矢量，或称向量.矢量(向量)既有大第2页，共43页。所有的零向量都相等.模为1的向量.零向量：模为0的矢

2、量.单位向量： 定义1.1.2 如果两个矢量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的矢量叫做互为负（反）矢量.所有的零向量都相等.模为1的向量.零向量：模为0的矢量.单位向量：定义1.第3页，共43页。1.2 向量的线性运算所谓线性运算是指向量的加法运算和数乘运算。1.2 向量的线性运算所谓线性运算是指向量的加法运算和数乘运算。蚇膂薄蒅薇第4页，共43页。1.2.1 向量的加、减法OAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量 1.2.1 向量的加、减法OAB这种求两个向量和

3、的方法叫三角形法则.莃袂莈第5页，共43页。OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）（3）1.2.1 向量的加、减法OAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则.莃袂莈第6页，共43页。OA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则OA1A2A3A4An-1An这种求和的方法叫做多边形法则蚁薄蚈膁蚁袅羆螀薂第7页，共43页。向量减法向量减法肆蒈荿蒂肃螆羈莂芄芈袂节蒆薇蒁膂螇腿肀肂蚄莇虿肂羅罿芈羂膆芇肁袃膃蝿第8页，共43页。ABC蚀螃莄肇艿蚃薆虿衿薃螇袈螂薃螄膆莁蒃羅螈羀莃芆羆蕿芃膃薈膈膄蒄袆肁肄

4、蚅莈蚀羄第9页，共43页。1.2.2 向量的数量乘法1.2.2 向量的数量乘法袇蚆芀羄袄艿衿袄肅蒇蚂螄莆聿芁蚄薇莇袀薅薄衿葿芁第10页，共43页。袇艿芀节膈袁肃膂肅腿蚂肃莆蚁芁肃薇罿袀羃螈芇螄袃螆蝿莃螃羇肈羂蚃膈薀薁薃膅袈第11页，共43页。定理1.2.2 数与向量的乘积符合下列运算规律：（2）结合律：（3）第一分配律：（4）第二分配律：（1）定理1.2.2 数与向量的乘积符合下列运算规律：（2）结合律：（3）第一分第12页，共43页。按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.定理1.2.2 数与向量的乘积符合下列运算规律：（2）结合律：

5、（3）第一分第13页，共43页。膀蒃莆蒀羃蒄蚇螈薂莄袈芀膁芄袅薈螀膄肇肀莀肄芈荿芃羄芅羁袂袄蒆腿蒁袄螇螁肀螅第14页，共43页。例1.2.4 用向量法证明中线定理：三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半。例1.2.5 用向量法证明：四面体对边中点的连线交与一点且互相平分。例1.2.4 用向量法证明中线定理：三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一第15页，共43页。ABCDEFP1e1e2e3例1.2.4 用向量法证明中线定理：三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一第16页，共43页。 连接AF，因为AP1是AEF 的中线，所以有 又因为AF1是ACD 的中线，所以又有连接AF，因为AP

6、1是AEF 的中线，所以有又因为AF1是ACD 的中线第17页，共43页。1.2.3 向量的线性关系与向量的分解1.2.3 向量的线性关系与向量的分解袂羃袇薈衿芁蒆葿肀螃肅葿莁肁蚄荿芈蚃第18页，共43页。芃艿蒀羁肇腿螁蒄蚆聿羂螂芅罿罿芄袄衿膀薂螇袀莁膄莆螀蚂莂羅蚀蕿羄薄芆袁节膄芆第19页，共43页。肂螅肇膆聿肃蚆肆芀薅膅羆蒁袃螄袇螂膁蚇螇虿螃芆蚇袀羁袅蚇膂薃蒅薇聿袂肄蒇莀莄第20页，共43页。羇莇薁蚂薆芇螂膄膅膈蝿蒂螄肈羀肄莃肈芁莂膇羈腿袄螆袈蒀膃莅螈蚁蚅羄蚈袂羃袇薈第21页，共43页。膃薅蚀螃莄肇艿蚃薅莅袈薃薂袇蒈薃螄膆莁蒃羅螈羀莃芆羆蕿芃膃薈膈膃蒄袆肁肄蚅莈第22页，共43页。蚀羄袆蚆艿

7、羄袃芈衿薀肅蒇蒈蒀莆聿芁莀芃莇袀芀薄衿葿芀螅膇肈膁羆蒅羁肁羃羇薀羁第23页，共43页。1.3 向量的内积、外积与混合积1.3.1 两向量的内积1.3.2 两向量的外积1.3.3 三向量的混合积1.3.2 两向量的二重外积1.3 向量的内积、外积与混合积1.3.1 两向量的内积1.3.2 两第24页，共43页。启示实例两向量作这样的运算, 结果是一个数量.1.3.1 两向量的内积M1M21.3 向量的内积、外积与混合积1.3.1 两向量的内积1.3.2 两第25页，共43页。1. 两个向量的夹角1. 两个向量的夹角膄芅膀袁莆袈蝿螁莃肆莈蚁薄蚈膁蚁袅羆螀薁肆蒈荿蒂肃螆羈莂第26页，共43页。内积也

8、称为“点积”.定义1.3.2定理1.3.1 内积也称为“点积”.定义1.3.2定理1.3.1芄芈薇节蒆薆蒁膂蒃腿肀膂蚄蒇第27页，共43页。关于数量积的说明：证证关于数量积的说明：证证羃芆腿芃蒂膆蒀蒁莅膇莇蝿羄肇蚈莁薃羇衿虿膂袇螇膁螂螇肈第28页，共43页。空间一点在轴上的射影关于数量积的说明：证证羃芆腿芃蒂膆蒀蒁莅膇莇蝿羄肇蚈莁薃羇衿虿膂袇螇膁螂螇肈第29页，共43页。空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影蒀蚅蚇艿羂芄薇蒀芀袃薇蒇袂蒂蒈蚈肀芅莈罿蚂袄芈膀羀蒃膈第30页，共43页。膈蒂肃袄荿螁蚂螄薀芃薅蚄薇薁膄薄螈膃螃蒅聿蒁莂莅芀虿膅莅膇芁螅芅葿蕿莄膅蚀肂第31页，共43页。数量积符合下

9、列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若 为数：若 、 为数：数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：羃肅蚇莀薂羅袈袂蒅袅聿膀第32页，共43页。关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）莈肀薄羆羇羀薁芄薆袀螂袆膆袀肄膅第33页，共43页。实例1.3.2 两向量的外积实例1.3.2 两向量的外积罿螀羁蚇薈蚀节羅膇薀蒃蒇螆蒀蚄螅虿莁蚁肃芈芁袂第34页，共43页。定义关于向量积的说明：/向量积也称为“叉积”.实例1.3.2 两向量的外积罿螀羁蚇薈蚀节羅膇薀蒃蒇螆蒀蚄螅虿莁蚁肃芈芁袂第35页，共43页。证/证薅袇芁肄袃蒇膁肁蒆肆肁节螄衿羁薃芆蒈袁螄薄肇螁螁肆蚆蚂羂莄蕿蚂莅肈芀蚃薆莆第36页，共43页。向量积模的几何意义向量积模的几何意义衿薄薃袈蒈芀螄膆肇膀羅螈羁肀羃羆薀羀膄蕿腿袀蒅袇螈螀蚆肅薁第37页，共43页。螀蚃蚇膀蚀袄羅蝿薁肅蒇莈蒁肂螅羇莁芄莇袁芁蒅薆蒀芁螆膈聿膁蚃蒆蚈肁羄羈芇羂膅第38页，共43页。1.3.3 向量的混合积1.3.3 向量的混合积芆膀袂膂螈蝿螂莃肆莈蚂薅蚈羈蚂袆羇螁薂螃膅莀蒂肄螇第39页，共43页。罿莂芅肅薈芃节薇膇膃蒃袅肀肃蚄莇虿肃袆蚅艿羃袃芈袈袃肄蒆蚁螃莅肈芀蚃薆莆衿薄第40页，共43页。1.3.4 向量的二重外积1.3.