上海市各区高三二模数学试题分类汇编：数列

1、2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第3部分:数列一、选择题：17（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文科）已知无穷等比数列的前项和，且是常数，则此无穷等比数列各项的和是（ D ）A B C D17. （2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟） 文科若（n是正整数），则（ C ）.(A) (B) (C) (D) 二、填空题：13（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数，联结原点与点，若用表示线段上除端点外的整点个数，则_ 12（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）已知无穷等比数列的前项和

2、，且是常数，则此无穷等比数列各项的和等于 (用数值作答)9、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）在等差数列an中，满足3a4=7a7，且a10，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n= .913. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试文科)某企业投资72万元兴建一座环保建材厂. 第1年各种经营成本为12万元，以后每年的经营成本增加4万元，每年销售环保建材的收入为50万元. 则该厂获取的纯利润达到最大值时是在第 年. 1014(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为 56、911(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)

3、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”介于1到200之间的所有“神秘数”之和为 2500 3（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科） 若数列满足：，则前6项的和 .（用数字作答）635（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是 . 9（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）在等比数列中，且，则的最小值为 .14（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有不等式成立，则称函数为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列，

4、如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列满足如下两个条件：（1）数列为上凸数列，且；（2）对正整数（），都有，其中. 则数列中的第五项的取值范围为 .三、解答题23（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列 设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列（1）若，成等比数列，求其公比（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明

5、理由（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分解：（1）由题设，得，即，得，又，于是，故其公比（4分）（2）设等比数列为，其公比，（6分）由题设假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，即，得，（8分）当时，与假设矛盾，故该数列不为的无穷等比子数列（10分）（3）设的无穷等比子数列为，其公比（），得，由题设，在等差数列中，因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，即，得， 由于上式对任

6、意大于等于的正整数都成立，且，均为正整数，可知必为正整数，又，故是大于1的正整数（14分）再证明：若是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项在等比数列中，在等差数列中， 若为数列中的第项，则由，得，整理得，由，均为正整数，得也为正整数，故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证综上，当且仅当是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列（18分）23、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）已知数列满足：，。（1）若，求数列的通项公式；（2） 若，（其中表示组合数），求数列的

7、前项和；（3）若，记数列的前项和为，求；23解：（1） 变为： （2分）所以是等差数列，所以 （2分）（2）由（1）得 （1分）， （1分） 即：=（1分）所以，=（1分） = （1分） （1分）（3） （2分） （2分）利用裂项法得：= （2分） （2分）23、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科）（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）已知数列满足：，（1）求，；（2）若，求数列的通项公式；（3）若，（其中表示组合数），求数列的前项和； 23解：（1），（4分）； （2） 变为： （3分）所以是等差数列，所以 （3分）（3）由（1）得 （1分）， （

8、2分） 即：=（1分）所以，=（1分） = （2分） （1分）22（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分已知数列满足，是数列的前项和，且（）（1）求实数的值；（2）求数列的通项公式；（3）对于数列，若存在常数M，使（），且，则M叫做数列的“上渐近值”设（），为数列的前项和，求数列的上渐近值22(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分解 (1)， 2分 3分(2)由(1)可知， 5分 6分因此， 8分又， 10分(3)由(2)有，于是， 12分 14分又，

9、的上渐近值是3 16分20、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（2）小题6分）设数列中，若，则称数列为“凸数列”。（1）设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；（2）在“凸数列”中，求证：；（3）设，若数列为“凸数列”，求数列前项和。20、解：（1），。 4分（2）由条件得，6分，即。8分（3）。 10分由（2）得。12分14分21、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题6分）设数列中，若，则称数列为“凸数列”。（1）设数列为“凸数列

10、”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；（2）在“凸数列”中，求证：；（3）设，若数列为“凸数列”，求数列前2010项和。21、解：（1），。 4分（2）由条件得，7分。 10分（3）由（2）的结论，即。12分。 14分由（2）得。 16分20. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）已知数列的首项为1，前项和为，且满足，数列满足. （1） 求数列的通项公式；（2） 当时，试比较与的大小，并说明理由.解: (1) 由 (1) ， 得 (2)，由 (2)-(1) 得 , 整理得 ，.所以，数列，是以4为公比的等比数列.其中, 所

11、以，. （2）由题意，.当时， 所以，.又当时，. 故综上，当时，；当时，.第21题图21. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)（本题满分14分，其中第1小题8分，第2小题6分）一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为件. 经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量（件）与电视广告每天的播放量（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.（1）试写出该产品每天的销售量（件）关于电视广告每天的播放量（次）的函数关系式；（2）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加，则每天电视广告的播放量至少需多少次？21. 解：（1）设电视广告播放量

12、为每天次时，该产品的销售量为（，）.由题意，于是当时，（）.所以，该产品每天销售量（件）与电视广告播放量（次/天）的函数关系式为.（2）由题意，有.（）所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加，则每天广告的播放量至少需4次.故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量.22(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)（本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）设是两个数列，点为直角坐标平面上的点对若三点共线，（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，其中是第三项为8，公比为4的等比数列.求证：点列(1，在同一条直线上；（3）记数列、的

13、前项和分别为和，对任意自然数，是否总存在与相关的自然数，使得？若存在，求出与的关系，若不存在，请说明理由解：（1）因三点共线， 2分得故数列的通项公式为 4分（2）由题意 ， 由题意得 6分 当时，8分.当n=1时，也适合上式， 10分因为两点的斜率为常数 所以点列（1，在同一条直线上. 12分（3）由 得； 得14分若，则 对任意自然数，当时，总有成立。16分22(上海市松江区2010年4月高考模拟文科)（本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知在数列中，数列的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列满足，数列的前项和为，

14、（1）写出数列的通项公式；（2）求；（3）证明：当时，解：（1） ；即 ；4分（2）， 5分，7分两式相减，得 ， 所以，；10分（3）， 12分当时，15分所以，当时， 16分（用数学归纳法证明，同样给分）23（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；（

15、3）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.23 （1）数列是“封闭数列”，因为：，-1分对任意的，有，-3分于是，令，则有-4分（2）解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使成立，-5分于是有为整数，又是正整数。-6分若则，所以，-7分若，则，所以，-8分若，则，于是，所以，-9分综上所述，显然，该数列是“封闭数列”。- 10分（3）结论：数列为“封闭数列”的充要条件是存在整数，使.-12分证明：（必要性）任取等差数列的两项，若存在使，则故存在，使，-14分下面证明。当时，显然成立。对，若，则取，对不同的两项，存在使，即，这与矛盾，故存在整数，使。-16分（充分性

16、）若存在整数使，则任取等差数列的两项，于是由于为正整数，证毕.- -18分23（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科）（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）若，求证：该数列是“封闭数列”；（2）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？（3）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.23 （1）证明：，-1分对任意的，有，-3分于是，令，则有-5分（2），-7分令，-9分所以数列不是封闭

17、数列；-10分（3）解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使成立，-11分于是有为整数，又是正整数。-13分若则，所以，-14分若，则，所以，-16分若，则，于是，所以，-17分综上所述，显然，该数列是“封闭数列”。- 18分20（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）（满分19分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题9分已知定义在上的函数和数列满足下列条件： ，当且时，且其中、均为非零常数（1）若数列是等差数列，求的值；（2）令，若，求数列的通项公式；（3）试研究数列为等比数列的条件，并证明你的结论说明：对于第3小题，将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性，给予不

18、同的评分。20（1）由已知，得 由数列是等差数列，得 所以，得5分（2）由，可得且当时，所以，当时，4分因此，数列是一个公比为的等比数列1分（3）解答一：写出必要条件，如，由（1）知，当时，数列是等差数列，所以是数列为等比数列的必要条件 3分解答二：写出充分条件，如或等，并证明 5分解答三：是等比数列的充要条件是2分充分性证明：若，则由已知，得所以，是等比数列2分必要性证明：若是等比数列，由（2）知， 1分当时，上式对也成立，所以，数列的通项公式为：所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列 所以，1分当时， 上式对也成立，所以，1分所以， 1分即，等式对于任意实数均成立所以，1分23. （

19、2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，. (1)已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；(2)已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列； (3) 文科 若是(2)中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项 理科 根据“保三角形函数”的定义，对函数，和数列1，（）提出一个正确的命题，并说明理由. 23 (1)显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列 2分因为k1，显然有，由得，解得.所以当时，是数列的“保三角形函数”. 5分(2) 由得,两式相减得所以，经检验，此通项公式满足 7分显然，因为，所以 是“三角形”数列 10分 (3) 文科 因为是单调递减函数，所以，由得 1