2013届高考数学二轮复习精品教学案专题03-数列(教师版)

1、2013高考数学二轮复习精品资料专题03 数列教学案（教师版）【2013考纲解读】1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.【知识网络构建】 【重点知识整合】一、等差数列与等比数列1Sn与an的关系在数列an中，Sna1a2an，从而aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)2等差数列性质如果数列an是公差为d的

2、等差数列，则(1)ana1(n1)d，Snna1eq f(nn1,2)deq f(na1an,2).(2)对正整数m，n，p，q，amanapaqmnpq，aman2apmn2p.3等比数列性质如果数列an是公比为q的等比数列，则(1)ana1qn1，Sneq blcrc (avs4alco1(f(a11qn,1q)f(a1anq,1q)，q1，,na1，q1.)(2)对正整数m，n，p，q，amanapaqmnpq，amanaeq oal(2,p)mn2p.4等差、等比数列Sn的性质若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m，为等差数列；等比数列的前n项和为Sn，则在公比不

3、等于1时，Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列5等差、等比数列单调性等差数列的单调性由公差d的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定二、数列求和及数列应用1常用公式等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，123neq f(nn1,2)，122232n2eq f(nn12n1,6)，1323n3eq blcrc(avs4alco1(f(nn1,2)2.3数学求和的基本方法公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法4数列的应用等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型【高频考点突破】考点一 等差数列和等比数列的基本运算等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1(

4、q0)前n项和Sneq f(na1an,2)na1eq f(nn1,2)d(1)q1，Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1anq,1q)(2)q1，Snna1例1、设等比数列an的前n项和为Sn已知a26,6a1a330，求an和Sn解：设an的公比为q，由题设得eq blcrc (avs4alco1(a1q6，,6a1a1q230.)解得eq blcrc (avs4alco1(a13，,q2，)或eq blcrc (avs4alco1(a12，,q3.)当a13时，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1.【变式探究】Sn为等差数列an的前

5、n项和，S2S6， a41，则a5_. 考点二 等差、等比数列的判定和证明数列an是等差或等比数列的证明方法：(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an1an(nN*)为常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明eq f(an1,an)(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aeq oal(2,n)an1an1(n2)例2、已知数列an和bn满足a1m，an1ann，bnaneq f(2n,3)eq f(4,9).(1)当m1时，求证：对于任意的实数，数列an一定不是等差数列；(2)当eq f(1,2)时，试判

6、断数列bn是否为等比数列 (2)当eq f(1,2)时，an1eq f(1,2)ann，bnaneq f(2n,3)eq f(4,9).bn1an1eq f(2n1,3)eq f(4,9)考点三 等差、等比数列的性质等差数列 等比数列 性质 (1)若m、n、p、qN*，且 mnpq， 则amanapaq (2)anam(nm)d (3)Sm，SSm，SS，仍成等差数列 (1)若m、n、p、qN*，且mnpq， 则amanapaq (2)anamqnm (3)Sm，SSm，SS，仍成等比数列(Sn0) 例3、等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则“d|a1|”是“Sn的最小值为S

7、1，且Sn无最大值”的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 考点四 数列求和数列求和的方法技巧： (1)转化法： 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并 (2)错位相减法： 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列 (3)裂项相消法： 利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和 例4、等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三

8、行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足：bnan(1)nlnan，求数列bn的前2n项和S2n 【变式探究】等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，aeq oal(2,3)9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列eq f(1,bn)的前n项和解：(1)设数列an的公比为q.由aeq oal(2,3)9a2a6得aeq oal(2,3)9aeq oal(2,4)，所以q2eq f(1,9).由条件可知q0，故qeq f(1,3).考点五 数列与函数、不等式例

9、5、设b0，数列an满足a1b，aneq f(nban1,an1n1)(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2anbn11.当b1时，cneq f(1,1b)eq f(1,b)(cn1eq f(1,1b)，且c1eq f(1,1b)eq f(1,b)eq f(1,1b)eq f(1,b1b)，cneq f(1,1b)是首项为eq f(1,b1b)，公比为eq f(1,b)的等比数列，cneq f(1,1b)eq f(1,b1b)(eq f(1,b)n1，由eq f(n,an)eq f(1,1b)eq f(1,1bbn)得aneq f(n1bbn,1bn)，aneq

10、blcrc (avs4alco1(1，b1,f(n1bbn,1bn)，b1).【难点探究】难点一等差数列的通项、求和的性质例1、(1)已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A110 B90 C90 D110(2)设数列an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a5，a13成等比数列，则数列an的前n项和Sn()A.eq f(n2,4)eq f(7n,4) B.eq f(n2,3)eq f(5n,3)C.eq f(n2,2)eq f(3n,4) Dn2n【点评】 在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条

11、件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用难点二等比数列的通项、求和的性质例2 (1)已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)且a2a4a69，则logeq f(1,3)(a5a7a9)的值是()A5 Beq f(1,5)C5 D.eq f(1,5)(2)已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a35，a7a8a910，则a1a2a9_.【点评】 等比数列中有关系式eq f(an,am)qnm(m，nN*)，其中q为公比，这个关系式可以看做推广的等比数列的通项公式，即anamqnm(m，nN*)，当m1时就是等比数列的通项

12、公式难点三等差、等比数列的综合问题例3 、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列eq blcrc(avs4alco1(Snf(5,4)是等比数列【分析】 (1)由条件可以先求得数列bn的第三项，进而借助等比数列的通项公式求出bn，(2)充分结合等比数列的定义不难证明【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或

13、d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2.由b3b122，即5b122，解得b1eq f(5,4).所以bn是以eq f(5,4)为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bneq f(5,4)2n152n3.(2)证明：由(1)得数列bn的前n项和Sneq f(f(5,4)12n,12)52n2eq f(5,4)，即Sneq f(5,4)52n2.所以S1eq f(5,4)eq f(5,2)，eq f(Sn1f(5,4),Snf(5,4)eq f(52n1,52n2)2.因此eq blcrc(avs4alco1(Snf(5,4)是以eq f(5,2)为首项，公比为2的等比数列难点四数列求和及

14、其应用例4、在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlgTn，n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bntanantanan1，求数列bn的前n项和Sn.【点评】 本题考查等比数列的性质、三角函数等知识本题两问中的方法都是值得注意的，在第一问中采用的是倒序相乘法，这类似数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项相消法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见到的裂项相消法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题，基本思想就是裂项难点五数列应用题的解法例5、某

15、个集团公司下属的甲、乙两个企业在2010年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2011年1月两个企业的产值又相等(1)到2010年7月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由；(2)甲企业为了提高产能，决定用3.2万元买一台仪器从2011年2月1日投放使用，从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为eq f(n49,10)元(nN*)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天？ (2)设一共用了n天，则n天的平均耗资为P(n)，则P(n)eq f(3.21

16、04f(blc(rc)(avs4alco1(5f(n49,10)n,2),n)eq f(3.2104,n)eq f(n,20)eq f(9.9,2)，当且仅当eq f(3.2104,n)eq f(n,20)时P(n)取得最小值，此时n800，故日平均耗资最小时使用了800天【点评】 本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交汇数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能。【历届高考真题】【2012高考试题】一、选择题1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中，则的前5项和=（ ）A.7 B.15

17、C.20 D.25 2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是A.若d0，则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则d0C.若数列Sn是递增数列，则对任意，均有D. 若对任意，均有，则数列Sn是递增数列【答案】C【解析】选项C显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，满足数列S n是递增数列，但是S n0不成立故选C。3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，则（ ） 【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.4.【2012高考真题上海理18】设，在中，正数的个数是（ ）A25

18、B50 C75 D1005.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【答案】B【解析】在等差数列中，。6.【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，则（ ）A、 B、 C、 D、.，故选D.7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 B C D 8.【2012高考真题福建理2】等差数列an中，a1+a5=10,a4=7,则数列

19、an的公差为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B. 【解析】由等差中项的性质知，又9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ） 10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】由,得，所以，所以，又，选A.二、填空题11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q（q0）的等比数列an的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_。12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下

20、列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有_。（写出所有真命题的编号）【答案】【解析】当时， ，故正确；同样验证可得正确，错误.13.【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为 14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列an为递增数列，且，则数列an的通项公式an =_。 15.【2012高考真题江西理12】设数列an,bn都是等差数列，若，则_。【答案】35【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以，所以。16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，则=_。17.【2012

21、高考真题广东理11】已知递增的等差数列an满足a1=1，则an=_ 【答案】【解析】由得到，即，应为an是递增的等差数列，所以，故。18.【2012高考真题重庆理12】 .19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。【答案】。【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，+=，。20.【2012高考真题福建理14】数列an的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=_.三、解答题21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和

22、的值（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。 22.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（）求等差数列的通项公式；（）若，成等比数列，求数列的前项和. （）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故 31.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分） 数列满足：（ = 1 * ROMAN I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是

23、；（ = 2 * ROMAN II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。（ = 2 * ROMAN II）由（ = 1 * ROMAN I）得：， = 1 * GB3 当时，不合题意； = 2 * GB3 当时，。33.【2012高考真题湖南理19】（本小题满分12分）已知数列an的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， 若a1=1，a2=5，且对任意nN，三个数

24、A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列 an 的通项公式.证明：数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.（）（）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有由知，均大于，于是即，所以三个数组成公比为的等比数列.【2011年高考试题】1. (2011年高考四川卷理科8)数列的首项为， 为等差数列且 .若则，则( )（A）0 （B）3 （C）8 （D）112.(2011年高考全国卷理科4)设为等差数列的前项和，若，公差，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】D【解析】故选D。3. (2011年高考广

25、东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .5. (2011年高考湖北卷理科13)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升5.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。【答案】2000【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为=即时.7.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是