2025高考物理步步高同步练习选修1练习学习笔记第二章 4　单摆

2025高考物理步步高同步练习选修1练习学习笔记4单摆[学习目标]1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源(重点)。2.理解影响单摆周期的因素，能熟练应用单摆周期公式解决问题(重难点)。一、单摆的回复力如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．单摆的组成：由细线和________组成。2．理想化模型(1)细线的质量与小球相比可以忽略。(2)小球的________与线的长度相比可以忽略。(3)细线的____________与细线长度相比可以忽略。(4)空气阻力与小球的______________及细线的____________相比可以忽略。3．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿________________方向的分力，即F＝________。(2)回复力的特点：在摆角很________时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总指向________________，即F＝－eq\f(mg,l)x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sinθ近似相等，即sinθ≈θ≈eq\f(x,l)，因此单摆的回复力可表示为F＝－eq\f(mg,l)x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。(1)摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用。()(2)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。()(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。()(4)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。()例1(2023·青岛一中月考)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中()A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大例2(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则()A．t1和t3时刻摆线的拉力等大B．t2和t3时刻摆球速度相等C．t3时刻摆球速度正在减小D．t4时刻摆线的拉力正在减小二、单摆的周期1．单摆振动的周期与摆球质量________(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅______(选填“有关”或“无关”)，但与摆长______(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期______(选填“越大”“越小”或“不变”)。2．单摆周期公式(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家____________首先提出的。(2)公式：T＝2πeq\r(\f(l,g))，即周期T与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成________，而与振幅、摆球质量________。惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：(1)摆针走时偏快应如何校准？(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________对单摆周期公式的理解1．成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。3．对l、g的理解(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。①普通单摆，摆长l＝l′＋eq\f(D,2)，l′为摆线长，D为摆球直径。②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsinα，其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g))。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。(1)摆球的质量越大，周期越大。()(2)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半。()例3周期是2s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2,月球上的自由落体加速度为1.6m/s2，π2取9.8。____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例4(多选)(2022·白城市洮南十中月考)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定()A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4例5如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，则()A．球A先到达C点B．球B先到达C点C．两球同时到达C点D．无法确定哪个球先到达C点针对训练如图所示为相同的小球(可看作质点)构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4(其中(3)图两小球均带负电荷，(4)图中振动系统处于匀加速下降的电梯内)，关于周期大小关系的判断，正确的是()A．T1>T2>T3>T4 B．T4<T1＝T3<T2C．T4>T1＝T3>T2 D．T1<T2<T3<T45实验：用单摆测量重力加速度[学习目标]1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各物理量的意义。2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度。3.能正确熟练地使用游标卡尺和停表。一、实验思路1．实验原理单摆在摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可推导得g＝eq\f(4π2l,T2)。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。2．物理量的测量摆长l：摆长等于摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。周期T：用停表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。二、实验装置实验装置如图所示实验器材铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1m左右)、刻度尺、游标卡尺。三、进行实验1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆____________处做上标记。3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝____________。4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。四、数据分析1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格实验次数摆长l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)232.图像法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝________，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝eq\f(4π2,g)，由图像的斜率即可求出重力加速度g。五、误差分析由周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可推导得g＝eq\f(4π2l,T2)，摆长、周期的测量不准确会导致误差。1．测量摆长时引起的误差(1)摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径等；(2)摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)。悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。2．测量周期时引起的误差(1)周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。(2)周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。(3)计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。六、注意事项1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。例1(2022·盐城市高二期末)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)。A．长度为1m左右的细线 B．长度为10cm左右的橡皮绳C．直径为1.5cm左右的塑料球 D．直径为1.5cm左右的铁球(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。A．把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时B．以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T＝eq\f(t,n)C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝eq\f(t,n)D．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T＝eq\f(t,n)例2(2022·江西丰城九中高二期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中。(1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为_____cm，则单摆的摆长为________cm；然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示为________s，则单摆的周期为________s；当地的重力加速度为g＝________m/s2；(2)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径，具体做法如下：第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________。例3在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝eq\f(4π2l,T2)，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2－l图线是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示：(1)造成图线不过坐标原点的原因可能是___________________________________________。(2)由图像求出的重力加速度g＝______m/s2(取π2＝9.87)。(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是______。A．测摆长时摆线拉得过紧B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．开始计时时，停表过迟按下D．实验时误将49次全振动记为50次针对训练某实验小组在利用摆长约为1m的单摆测量当地重力加速度的实验中：(1)周期测量环节中进行了下列振动图像所描述的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C、D均为30次全振动图像，已知sin5°＝0.087，sin15°＝0.259，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________。(2)改变摆长，利用测出的多组周期T、摆长L数据，作出T2－L图像，可以更准确地求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2－L图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值______(填“偏大”或“偏小”)，出现图线c的原因可能是周期T的测量值______(填“偏大”或“偏小”)。6受迫振动共振[学习目标]1.知道什么是固有振动和阻尼振动，会用能量的观点分析阻尼振动的特点。2.知道受迫振动及其产生的条件，会分析受迫振动的特点(重难点)。3.理解共振现象，掌握共振产生的条件，知道常见共振的应用和危害(重点)。一、振动中的能量损失如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，用手将振子向下拉动一下释放，观察较长一段时间，你发现振子在振动过程中振幅有什么变化？为什么会出现这种现象？_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．固有振动和固有频率(1)固有振动：振动系统在________________________的情况下的振动。(2)固有频率：________振动的频率。2．阻尼振动(1)阻尼振动：振动系统受到________作用时，________随时间逐渐减小的振动，其振动图像如图所示。(2)振动系统能量衰减的两种方式①振动系统受到________阻力作用，机械能逐渐转化为________。②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向四周辐射出去，从而自身的机械能________。1．阻尼振动的振幅、周期和频率特点物体在做阻尼振动的过程中，振幅逐渐减小，但其周期是由振动系统本身决定，与振幅大小无关，振动过程中周期和频率保持不变。2．阻尼振动的能量特点物体在做阻尼振动的过程中，总机械能逐渐减小，物体位移大小相等时，势能大小相等，但动能与上一次相比将减小。例1(2022·福安市第一中学高二月考)如图是一单摆做阻尼振动的位移—时间图像，比较摆球在M与N对应时刻的物理量，(EpM代表M点重力势能，EpN代表N对应点重力势能)以下说法正确的是()A．速率vM＝vNB．受到的拉力FM>FNC．重力势能EpM>EpND．机械能EM<EN二、受迫振动在一中，匀速转动手柄从而给弹簧上端一个周期性的上、下外力，几次改变手柄的转速，观察不同转速下振子的振动情况有什么特点？_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．驱动力作用于振动系统的____________的外力。2．受迫振动(1)定义：系统在__________作用下的振动。(2)受迫振动的频率(周期)物体做受迫振动达到稳定后，其振动频率总等于______的频率，与物体的固有频率______。类型项目固有振动阻尼振动受迫振动概述振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线振幅逐渐减小的振动振动系统在驱动力作用下的振动产生条件不受阻力作用受阻力作用受阻力和驱动力作用频率固有频率固有频率驱动力频率振幅不变减小大小不确定振动图像形状不确定振动能量振动物体的机械能不变机械能逐渐减小驱动力对振动系统做功，补偿系统的能量损耗常见例子弹簧振子或单摆敲锣打鼓时发出的声音越来越弱机器运转时底座发生的振动(1)受到阻力作用的振动一定是阻尼振动。()(2)阻尼振动的振幅逐渐减小，机械能逐渐减小。()(3)受迫振动的振幅越来越大。()(4)受迫振动稳定后的频率与振动系统的固有频率无关。()例2如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。(1)开始时不转动摇把，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10s内完成20次全振动，不考虑阻力，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑阻力，振子做什么振动？(2)在振子正常振动过程中，以转速4r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、共振现象及其应用1．定义驱动力的频率f________物体的固有频率f0时，物体做受迫振动的振幅达到____________，这种现象称为共振。2．共振曲线(如图所示)洗衣机在衣服脱水完毕关闭电源后，脱水桶还要转动一会才能停下来。在关闭电源后，发现洗衣机先振动得比较弱，有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减弱直至停下来。(1)开始时，洗衣机为什么振动比较弱？(2)期间剧烈振动的原因是什么？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f固。2．共振曲线如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅。f＝f0时发生共振；f>f0或f<f0时振幅较小。f与f0相差越大，振幅越小。3．共振的利用与防止(1)利用：要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致。如共振筛、共振转速计等。(2)防止：在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好。如：部队行军过桥时应便步走。特别说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。(1)驱动力频率越大，受迫振动的振幅越大。()(2)做受迫振动的物体一定会发生共振。()例3(多选)(2022·长沙市高二期末)如图所示，A、B、C、D四个单摆的摆长分别为L、2L、L、eq\f(L,2)，摆球的质量分别为2m、2m、m、eq\f(m,2)，四个单摆静止地悬挂在一根水平细线上。现让A球振动起来，通过水平细线迫使B、C、D也振动起来，则下列说法正确的()A．B、C、D中B的摆长最长，振幅最大B．B、C、D中C的振幅最大C．B、C、D中因D的质量最小，故其振幅是最大的D．A、B、C、D四个单摆的周期均相同例4(多选)一个弹簧振子做受迫振动，它的振幅A与驱动力频率f之间的关系如图所示。由图可知()A．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态B．驱动力频率为f3时，受迫振动的振幅比共振小，但振子振动的频率仍为f2C．如果振子做自由振动，它的频率为f2D．振子可以做频率为f1的等幅振动例5(多选)(2023·长春二中月考)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长为12.6m，列车的固有周期为0.315s。下列说法正确的是()A．列车的危险速率为40m/sB．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行章末素养提升物理观念描述简谐运动的物理量(1)位移x：相对于________________的位移(2)振幅A：离开平衡位置的________距离(3)周期T：完成________________需要的时间。周期由振动系统本身决定，与振幅________(4)频率f：________________内完成全振动的次数(5)相位：某时刻处于一个运动周期中的状态三类振动的特征简谐运动：(1)受力特点：F＝________(2)运动特点：做变加速运动，具有周期性和对称性(3)位移—时间关系：正弦函数规律x＝________(4)能量特点：动能和势能之和________________阻尼振动：(1)振幅逐渐________(2)能量衰减，机械能逐渐转化为内能或向四周辐射出去受迫振动：(1)____________作用下的振动(2)受迫振动的频率等于____________________(3)共振：f驱＝________，受迫振动的振幅最大科学思维理想化模型水平弹簧振子：由弹簧和小球组成，忽略阻力，由________提供回复力单摆：(1)相对来说，阻力可忽略，细线质量可忽略，球的直径也可忽略(2)做简谐运动的条件：摆角小于5°图像法简谐运动的图像：(1)正弦曲线(2)图像信息：振幅A、周期T、各时刻的位移x等科学探究1.学会利用单摆测量重力加速度2.能正确熟练地使用游标卡尺和停表，能正确读取并记录实验数据3.会分析实验中产生系统误差和偶然误差的原因，掌握减小实验误差的方法科学态度与责任1.通过对单摆规律的研究，知道时钟的发明对人类文明发展的意义2.通过学习共振现象产生的原因，能运用所学知识解释生产生活中防止共振或利用共振的现象例1下列说法完全正确的一组是()①做简谐运动的物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同②做简谐运动的物体振动的轨迹是正弦或余弦曲线③做简谐运动的物体每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同④做简谐运动的物体经过平衡位置时所受合外力一定为零⑤秒摆是指周期为1s，摆长约为1m的单摆⑥单摆的摆球做匀速圆周运动⑦在外力作用下的振动是受迫振动，受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关⑧简谐振动的1个周期内回复力的瞬时功率有4次为零⑨部队经过桥梁时，规定不许齐步走，登山运动员登雪山时，不许高声叫喊，主要原因是使桥受到的压力更不均匀及减少登山运动员耗散能量⑩做简谐运动的物体从平衡位置向最大位移处运动过程中，它的势能增大A．②⑤⑥⑨ B．①③⑧⑩C．②④