高中数学教学案例设计汇编

高中数学教学案例设计汇编(下部)19、正弦定理(2)教学资料题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。3.通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。4.培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。C(一)结合实例，激发动机师生活动：C教师：展示情景图如图1,船从港口B航行到港口C,测得BC的距离为600m,船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离?学生：思考提出测量角A,C∠ACB=45°,要计算A、B两地距离，你有办法解决吗?学生：思考交流，画一个三角形A'B'C',使得B'C'为6cm,∠B'A'C'=75°,∠A'C'B'=45°,量得A'B'距离约为4.9cm,利用三角形相似性质可知AB约为老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗?师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。。教师：引导，△ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢?学生：思考，交流，得出过A作AD⊥BC于D如图2,把△ABC分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。解：过A作AD⊥BC于D_(图2)教学资料教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若AC=b,AB=c,能否教师：引导学生再观察刚才解题过程。学生：发现;教师：引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么?你能发现什么?学生：发现即然有,那么也有,教师：引导,,;我们习惯写成对称形式因此我们可以发,;,是否任意三角形都有这种边角关系呢?设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思(二)数学实验，验证猜想是否成立，举出特例。(1)在△ABC中，∠A,∠B,∠C分别为60°,60°,60°,对应的边长a:b:c为1:1:1,对应角的正弦值分别为;,引导学生考;,的关系。(学生回答它们相等)分别为450,450,90°,对应的答它们相等),1;(学生回分别为30°,60°,90°,对应的;,1。(学生回答它们相等)(图3)教师：对于R₁△ABC呢?学生：思考交流得出，如图4,在Rt△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,则有则有4,4则从而在直角三角形ABC中，(图4)教师：那么任意三角形是否有呢?学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗?(如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。)学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数,教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，值仍然保持相我们猜想：设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。(三)证明猜想，得出定理师生活动：教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢?前面探索过程对我们有没有启发?学生分组讨论，每组派一个代表总结。(以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述)学生：思考得出①在R₁△ABC中，成立，如前面检验。教学资料②在锐角三角形中，如图5设BC=a,CA=b,AB=c在RtAABD中，③在钝角三角形中，如图6设∠c为钝角，BC=a,CA=b,AB=c作ADIBC交BC的延长线于DAD=AC●sin∠ACD=b·sin同锐角三角形证明可知(图6)教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即还有其它证明方法吗?学生：思考得出，分析图形(图7),对于任意△ABC,由初中所学过的面积公式可以,而由图中可以看出：,;教学资料后等式c·aosin∠AB中均除以后教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。(图7)在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高AE=c●sin∠ABC=a·sin∠ABC,三角形的面积：能否得到新面积公式得到三角形面积公式教师：大家还有其他的证明方法吗?比如：都等于同一个比值k,那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢?c恰为外接接圆的直径，即c=k=2R,所以作△ABC的外接圆O,o为圆心，连接BO并延长交圆o于B',把一般三角形转化为直角三角证明：连续BO并延长交圆于B教学资料在RI△B'AB中，同理可证：教师：从刚才的证明过程中，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径2R,我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理?比如，在向量中，我也学这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢?学生：思考(联系作高的思想)得出： 在锐角三角形△ABC中，AB+BC=AC,作单位ACj·=ABj·+BCj·(图9)对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。(四)利用定理，解决引例师生活动：教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。学生：马上得出(五)了解解三角形概念设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性教师：一般地，把三角形的三个角A、B、c和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。(六)运用定理，解决例题教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。例1:在△ABC中，已知A=30°,B=45°,a=6cm,解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”,第一步可由三角形内角和为180。求出第三个角∠C,再由正弦定理求其他两边。例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流学生：反馈练习(教科书第5页的练习)用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”,“我要研究”的主动学习。(七)尝试小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。学生：思考交流，归纳总结。师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：(1)正弦定理的内容及其证明思想方法。(2)正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。(3)分类讨论的数学思想。设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。(八)作业设计作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。附一：实验报告单试验目的研究三角形中各边和它对角的正弦值的比是否相实验器材计算器，直尺，量角器，硬纸板(由老师统一发)实验方法实验内容三角：A=B=_C=(精确到小数点后两位)福安一中陈桢仔林旭际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”初中相似三角形知识、正弦定理的不同证法(转化为直角三角形、辅助正弦定理(3)“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教版)第么要研究正弦定理?正弦定理是怎样发现的?其证明方法是怎样想到的?还有别的学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数三、设计思想六、教学过程设计(一)设置情境利用投影展示：如图1,一条河的两岸平行，河宽d=(二)提出问题小组(前后4人为一小组)汇总整理后交给我。教学资料1、船应开往B处还是C处?2、船从A开到B、C分别需要多少时间?3、船从A到B、C的距离分别是多少?4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少?5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C?【设计意图】通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合作学习的能力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的兴趣；问题通过老师的筛选，确定研究的方向，体现教师的主导作用。师：谁能帮大家讲解，应该怎样解决上述问题?大家经过讨论达成如下共识：要回答问题1,需要解决问题2,要解决问题2,需要先解决问题3和4,问题3用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题4,问题4与问题5是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题4和5。师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么,要求什么,怎样求解。生1:船从A开往B的情况如图2,根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v,与v₂的夹角θ:用计算器可求得θ≈37°|DE|=|AF|=1v₂I=3,易求得∠AED=∠EAF=45°,还需求∠DAE及v,我还不知道怎样解这两个问题。师：请大家思考，这两个问题的数学实质是什么?部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的图3对角，求另一边的对角和第三边。【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数学意识。师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题?生3:不知道。师：图2的情形大家都会解，但图3的情形却有困难，那么图2与图3有何异同生4:图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。但图2中△ADE是直角三角形，而图3中△ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用边角的关系求解。师：图3的情形能否转化成直角三角形来解呢?【设计意图】通过教师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培养学生的化归思想，同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正弦生5:能，过点D作DG⊥AE于点G(如图4),师：很好!采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢?三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系?【设计意图】通过教师对学生的肯定评价，创造一个教与学的和谐环境，既激发学生的学习兴趣，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和教师的(三)解决问题1、正弦定理的引入师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的?众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。师：如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间有何关系?同学们可以参与小组共同研究。(1)学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。(2)展示学生研究的结果。【设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论做准备；同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。师：请说出你研究的结论?生7:师：你是怎样想出来的?生7:因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边c。师：有没有其它的研究结论?(根据实际情况，引导学生进行分析判断结论正确师：对一般三角形是否成立呢?众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。师：这是个好主意。那么对等边三角形是否成立呢?生9:成立。【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”的2、正弦定理的探究(1)实验探究正弦定理师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。结论：对于任意三角形都成立。【设计意图】通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上师：利用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检验与生5的计算结果是否一生10:(通过计算)与生5的结果相同。师：如果上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的【设计意图】与情境设置中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简单应用，并(2)点明课题：正弦定理教学资料(3)正弦定理的理论探究师：既然是定理，则需要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。探究方案：直角三角形——已验证；锐角三角形——课堂探究；钝角三角形——课后证明。师：请你(生11)到讲台上，讲讲你的证生11:(走上讲台),设法将问题转化成直角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，5的办法一样，如图5作BC边上的高AD,则同理可得图5锐角三角形师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件出发，构造等量关系从而达到证明的目的。注意：csinB=bsinC表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一个简捷的证明方法!【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢?学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：AD=b·sin∠ACB,证法三：如图7,设BD=2r是△ABC外接圆图7三角形外接圆的【设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式一并牵出，使知识的产生自然合理。师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢?师：任意△ABC中，三个向量AB、BC、CA间有什么关系?生12:AB+BC+CA=0师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由AB+BC+CA=0转化成数量关系?生13:利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。师：在AB+BC+CA两边同乘以向量j,有(AB+否任意?又如何选择向量j?生14:因为两个垂直向量的数量积为0,可考虑让向量；与三个向量中的一个向量(如向量BC)垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请大家具体试一下，看还有什么问题?证法四：如图8,设非零向量；与向量BC垂直。因为AB+BC+CA=0,所以(AB+BC+CA)·j=0即AB·j+CA·j=0c.|j|·cos(90°+B)+b·|教学资料,同理可师：能否简化证法四的过程?(留有一定的时间给学生思考)生15:把AB·j+CA·j=0移项可得CA·j=BA·j,由向量数量积的几何意义可知CA与BA在；方向上的投影相等。生16:我还有一种证法师：请你到讲台来给大家讲一讲。(学生16上台板书自己的证明方法。)证法五：如图9,作AD⊥BC,则AB与AC在【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易马上想出来，教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。(四)小结师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；2、思考：证法五与证法一有何联系?3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理?4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的准备。七、教学反思为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”,使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了高中课程标准数学教科书·数学(必修4)》(人教版)第二章习题2.5B组第二题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题);②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时大田一中陈永民行探索，在特殊情况(直角三角形)下得到正弦定理问题”一“反思总结”的历程，学会研究数学问题的方法，学生成为正的一般三角形验件，不断变换三角形，观察上式成立，提高了效率，现代教育技术的运一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修(五)》(第2版)第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”,体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，教学资料作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。六、教学过程：教学环节知识回顾创设引入合作探究活动学情分析与设计意图1、一般三角形全等的四种判断方法是什么?,2、三角形的正弦定理内容主要回顾旧知，防止遗忘解决哪几类问题的三角形?,你能判断下列三角形的类型吗?学生可能比较茫然，帮助学生分析相关内容，从多角度看待问1、以3,4,5为各边长的三角形是三角形以2,3,4为各边长的三角形是学生可能比较茫然，帮助学生分析相关内容，从多角度看待问长吗?引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。教学资料你能够有更好的具体的量化方法吗?提出帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法问题等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的积极讨论。引导学生从相关知识入手，选择简洁的工合作探究归纳概括结构分析知识联系利用向量法推导余弦定理：a同理，让学生利用相同方法推导，a²=b²+c²-2bccosA,b²=a²+c²-2acosBb²=a²+c²-2accosBc²=a²+b²-2abcos三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A,b与B,C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现余弦定理的推论：学生对向量知识可能遗忘，注意复习；在利用数量积时，角度可能出现错误，出现不同的表示形式，让学生从错误中发现问题，巩固向量知识，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知。知识归纳比较，发现特征，加强识记使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”问题解决“边、边、边”问题教学资料方法怎样准确地解答引入中的两个问题?应用知识应用怎样利用已知条件判断三角形的形状?A=41°,求解三角形(角度精确到1°,边长精确到=161.7cm,解三角形(角度精确到1′)用准确的量化关系去解决问题，用边长去判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特例。应用数学知识求解问题加强计算器的运算功能，同时，巩固好正弦定理，余弦定理知识，发现两种知识方法在解三角形中的综合应用。知识深化分析：(1)用正弦定理分析引导(2)应用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA构造关于C的方程求解。(3)比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。继续深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解问题优越于余弦定理。并让学生初步发现“边、边、角”问题解法，为下节学习辅垫。1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第练习检测A:d₁>d₂2、锐角△ABCD:大小不确定用练习去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养。3、在△ABC中若有acosA=bcosB,你能判断这个三角形的形状吗?若acosB=bcosA呢?课堂小结1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题?各有什么利与弊?2、从本课中你学到了哪些知识和方法?通过知识回顾，使学生各自体会收获。1、推导余弦定理及其推论设计3、练习指导4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识作业1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。设计2、第11页A组3、4题巩固知识多角度看待问题七、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型(模型、类型),质(实质、本质),思(思维、思想方法)上达到教学效果。本课之前学生已学福建漳平市第一中学李永彬弦定理知识。例3是已知两边一对角，求解三角形问题，可用正弦定理系，深化了对两个定理的理解，培养了解决问题的能力。但李老师在对例3解法的总结时，指出“能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理三、设计思想2.学法教学教学上节课我们学习了数列。在日常生活倾听创设等等这些大家以后会接触得比较多的情景实际计算问题，都需要用到有关数列数，从0开始，每隔5数一次，可以探索研究项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单探索研究规律×(1+利率×寸期).例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%。那时间年初本金(元)年末本利和(元)第1年第2年第3年第4年第5年各年末的本利和(单位：元)组成了数列：10072,10144,10216,10思考：同学们观察一下上面的这四个观察分析并得出答案：数列：引48,53,58,63②对于数列①,从第2项起，18,15.5,13,10.5,8,5.5③每一项与前一项的差都等于10360④对于数列②,从第2项起，每一项与前一项的差都等于对于数列③,从第2项起，每一项与前一项的差都等于对于数列④,从第2项起，每一项与前一项的差都等于四个数列从第2项起，每一项数(即：每个都具有相邻两项揭示数列的对于以上几组数列我们称它们为等差这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5,5,总结使a,A,b成等差数列数列，那么A总结通过学生自提高学生的阅读水平和思维概括能让学生参与组成了一个等差数列，那么由到知识的形所以就有得数学学习引领学习更提高学生的结论引领学习更提高学生的结论第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等如数列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3和7的等差中项，1和9的等9是7和11的等差中项，5和13的等[等差数列的通项公式]由学生经过分析写出通项公学会发现规用通项公式将它们表示出来呢?这是①这个数列的第一项是5,第2结。总结我们接下来要学习的内容。提高(1)、我们是通过研究数列{a,}的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的项是10(=5+5),第3项是15 (=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是教学资料总结通项公式。②这个数列的第一项是48,第2项是53(=48+5),第3项是58(=48+5×2),第4项是63(=48+5×3),由此可以猜想得③这个数列的第一项是18,第2项是15.5(=18-2.5),第3项是13(=18-2.5×2),第4项是10.5(=18-2.5×3),第5项是8(=18-2.5×4),第6项是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到这个数列的通项公式④这个数列的第一项是10072,第2项是10144(=10172+72),第3项是10216(=10072+72×2),第4项是10288(=10072+72(=10072+72×4),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是a,=10072+72(n-1)(2)、那么,如果任意给了一个等差数引导学生根据等差数列的定什么呢?得出通项公式：由此我们可以猜想得思考，并发表各自的意见。列{a,;的通项公式为与推导，从而得出公式。 例1、(1)求等差数列8,5,2,…的第让两个学生分别对这两小题加让学生参与-13,…的项?如果是，是第几项?是该等差数列的公差，由公差的定义得这个数列的通项公式为n=100,即-401是这个数列的第n=100,即-401是这个数列的第a、a、d、n(独立的量有3个)的对关键问题利提高学生的知识应用例2.某市出租车的计价标准为1.2解：根据题意，当该市出学以致用，将(不含4千米)计费10元。如果某人每增加1km,乘客需要支付1.2用到具体生乘坐该市的出租车去往14km处的目的元.所以，我们可以建立一个等活中去，加深地，且一路畅通，等候时间为0,需要差数列{a,)来计算车费.对概念的理例题评述：这是等差数列用于解决实聆听教师点评例3已知数列{a,}的通项公式为分析思考，然后分组讨论，让a=pn+q,其中p、q为常数，且p≠两组学生代表发表自己的见以利用等差数列的定义，也就是看相邻两项a,与a_,(n>1),a,-a_,(n>1)是不是一个与n无关求差得通过教师点对关键问题利提高学生的知识应用培养学生分析问题的能论中提高组长的组织与归纳组内成员想法的能引导学生动手画图研究完成以下探研究(1)在直角坐标系中，画出通项公式为a₁=p+q,公差d=p。由此我进行更深入如a,=pn+q的数列，一定是激发学生的p+q.通过学生动生体会数列 什么特点?(2)在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么?据此说一说等差数列a,=pn+q与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。3,……时，对应的a,可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；(2)画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列a。=pn+q的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列a,=pn+q中的p的几何意义去探究。本节主要内容为：在关系。以学习小组为单位，在学习小学生自己小评价设计①等差数列定义：即a,-a_,=d(n≥推导出公式：a,=am+(n-m)d2a,=a,+a,呢?为什么?(2)2a=a_,+a,(n)1)是否成立?据此你能得出什么结论?2a。=a_+a+(n)1)是否成立?据此你又能得出什么结论?2、已知等差数列{a,)的公差为d.求组中，各自归纳自己对这堂课结，使学生对的收获，后由小组代表总结归自己所学知的认识。作业是课堂的延续，除了的理解程度，学生对本课步探究，让学考。七、教学反思本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程，教学资料福州金桥高级中学林岳水本设计从生活中的数列模型，如举重级别、水库水位、储蓄的本息计算等问题引入，进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学习的主动性。在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括得出等差数列定义，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程。本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、到位、适度。如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素材；又如：把通项公式与一次函数发生联系，利用函数这一“上位”概念，来“同化”等差数列的概念，体现函数思想；还有让学生经历列表、画图象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的联系；此外，用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等。学生在经历过程中，加深了对概念的理解和巩固。本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。教学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所倡导的“培养学值得商讨的问题，在等差数列中，对于任意正整数m,n,p,q,若m+n=p+q则a+a,=a+a这一性质的在第一课时提出是否不合时宜，并且只是这样蜻蜒点水是否忽视了其重要性。23、等差数列的前n项和第二章的第三节“等差数列的前n项和”(第一课时).本节课相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用.等到一般的研究问题方法.2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程 交流、独立思考等良好的个性品质.题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得.吗?师提出了下面的问十(50+51)=101×50=5050.求等差数列前n项和一般的规律问题1图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石?方法1:原式=(1+2+3+……+50)+51方法2:原式=0+1+2+……+50+51方法3:原式=(1+2+…+25+27…+51)+26问题2:求图案中从第1层到第n层(1<n<100,n∈N*)共有多少颗宝石?教学资料学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进.启发：(多媒体演示)如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形.[设计意图]借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型.通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：(公式1)组织学生讨论：在公式1中若将an=a₁+(n—1)d代入又可得出哪个表达式?即：(三)设置典例，促进学生对公式的应用对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取.教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式.例1为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训问这个同学7天一共将跑多长的距离?[设计意图]该例题是将课本P53习题2.3A组第3题改编成表格形式，可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1;也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2,通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算.例2已知等差数列5,,,求(1)数列{an}的通项公式；(四)反馈调控，实现学生对知识的掌握练习1已知等差数列{an}的前10项和是(五)回顾反思，深化知识2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程(组)思想；3.前n项和公式的函数意义4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式；LI(六)布置作业(2)若公差为d(d≠0)的等差数列{a,}中，你能否由题(1)的启发，得到T,的表达式?七、教学反思“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和.该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路.本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路.为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题.在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了.德化第一中学陈丽真本节课以故事引课，增强学生的好奇心，激发学生的学习欲望和热情。以问题为纽带，通过三个问题组织学生讨论，由特殊(自然数的前51项和)到一般(自然数的前几项和),再到一类(等差数列前几项和),循序渐进。通过类比Causs配对求和方法，借助几何直观，启发学生独立思考，讨论交流，对问题进行层层递进的探究，使学生从不同的思维的是，在用Causs配对法得到前几项和公式后，如能对此方法做更深入分析，指出其实质是等差数列的重要性质——等距性(即m,n,k,1∈续项或连续项倒数)组成的数列求和问题的解决，深化学生对相关问题本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5)》(人教版)第二章第5三、设计思想教学准备：1.全日制普通高级中学教科书(必修)第一册(上)2.普通高中课程标准教科书数学(必修)5及配套光盘(一)创设情境，提出问题么呢?导学生写出麦粒总数1+2+2²+2³+...+2⁶³。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。【设计意图】:在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。(二)师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问：1+2+2²+2³+....+263是什么数列?有何特征?应归结为什么数学问题呢?+2²+2³+……+23【学情预设】:探讨1:设s₄=1+2+2²+2³+…+283,记为(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系?(学生会发现，后一项都是前一项的探讨2:如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有2(2)两式，你有什么发现?【设计意图】:留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S₆4=2⁶⁴-1。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢?【设计意图】:经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了!让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。(三)类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列{a。),首板，然后对个别学生进行指导。【设计意图】:在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。对不对?这里的q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1?q=1时是什么数列?此时s,=?(这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。)【设计意图】:通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。(四)讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗?我们知道，s。=a₁+a₁q+a₁q²+…=a,+q(a,+a₁q+…)那么我们能否利用这个关系而求出s,呢?根据等比数列的定义又,能否联想到等比定理从而求出s,呢?【设计意图】:以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到S。=a₁+qs。_,这其实就是关于s,的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.(五)变式训练，深化认识…前8项和；…前8项和；·前多少项的和;,■,变式1、等比数■,变式2、等比数列重.求第5项到第10项的和；…求…求前2n项中所有偶数项的和。,首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。【设计意图】:采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。(六)例题讲解，形成技能【设计意图】:解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。(七)总结归纳，加深理解(八)故事结束，首尾呼应麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他(九)课后作业，分层练习必做：P66练习1:(1)、(2);2选作：思考题：(1)求和x+2x²+3x³+…厦门市翔安一中张文雅点评：比数列求和的问题。的数学思想，这个推导过程有效地培养了学生思维的深刻性、敏锐性、本节课例子设计精巧。通过精讲一题(例1),发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能；通过例题讲解(例2),进一步渗透分类讨论的思想，培养分类讨论的思想和思维的缜密性；设计选作思考题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少，思考题体现数学的文化价值。这节课在民主和谐的课堂氛围里，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。普通高中课程标准教科书数学5(必修)第三章第3课时最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题?以及如何想到要这样转(一)引入(1)情景配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产(2)问题师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大?学生不难列出函数关系式z=2x+3y.师：这是关于变量x、y的一次解析式，从函数的观点看x、y的变化引起z的变化，而x、y是区域内的动点的坐标，对于每一组x、y的值都有唯一的z值与之对应，请算出几个z的值.填入课前发下的实验探究报告单中的第2—4列进行观察，看看你有什么发现?【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔】(二)实验图，在区域内任意取点，进行计续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.4相实验目的(2)在区域内任取一点M,度量横坐标及纵坐标，计算z=2x+3y的值，并制表显示在计数点nxy点的坐标直线的方程直线在y轴上的截距12大值14.状，让学生参与进来，老师(可以根据学生要求)操作，学生记录，共同提出猜区域内的点是无数的!况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办?因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.1.2)时方程是2x+3y=10,填写表中的第6—7列，引导学生先在点与直线教学资料之间建立起联系------点M的坐标是方程2x+3y=10的解，那么点M就应该在直线2x+3y=10上，反过来直线2x+3y=10经过点M,当然也就经过平面简单的线性规划问2.x+3-y=12.77简单的线性规划问2.x+3-y=12.772·x*2y=10.482.x*3-y=6.68所有点!这样我们的猜想就非常合能否也给利润z=2x+3y作出几何解释呢?一次方程，它在几何上表示直线，当z取不同的值时可得到一族平行直线.请把你猜想1换一种说法：猜想与假设2将直线z=2x+3y改写为这时你能把猜想2再换一种说法;吗?此时水到渠成.猜想与假设3经过点M时，在y轴上的截距最大，此时z=2x+3y取得最大值14.最后探究出“z=2x+3y最值问题可转化为经过可行最优解等概念.2万元，又应当如何安排生产才能获得最大的利润?再换几组数据试试(课本第100页)续实验…,发现结论同样成立.进一步发现目标函数直线的纵截距与z的最值之间的在区域内找一个点M,使直线经过点M时在y轴上的截距最大”(四)练习小结学生练习P104第1题.(五)实例展示(课本第100页例5饮食营养搭配)物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合(六)课后伸申目标函数某些字母系数的取值(范围),又如何解决呢?求最优解的一般步骤(板书):作业：第104页练习2,第106页习题3—4,第107页习题3.七、教学反思意力放在“算理”上.课堂的能力与水平.教师实验报告的引导，使学生自己动手操作，通过观察、发现、思考、分析、归纳提出猜想等活动，完成对最优解的意义建构，体现了新课程媒体四要素功能的转变，激发了学生探究的兴趣，提高了他们的实验、因而折射出“研究性学习”教学恩想，长期坚持，对学生学习能力培养的教学达成度也会更高!《抛物线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)在一元二次不等式的解法、求最大(小)值等方面有着重要的作用。但学生并不清准方程及其推导”和“抛物线概念的形成”,教师应学会如何设计不同的活动环一.设置情景，导入新课趣来啦!)师：姚明是我们中国人的骄傲，我们要向他学习!大家都知道姚明的投篮非常精准!为什么呢?生：天赋、身高!生：勤奋练习!(再给出两张姚明的图片)【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发教学资料师：前面，我们学习了椭圆和双曲线的相关知识，那么它们的联系和差异是什么?生：定义不一样!生：方程!椭圆双曲线师：还有吗?生：椭圆是封闭的，双曲线是开放的。师：这只是图象不同，为什么会这样呢?生：第二定义!就是它们到定点的距离与到定直线的距离的比等于一个常数!生：这个常数是离心率e!师：对啊!这是定性上的，定量上有不同吗?生：离心率e不同，椭圆离心率e的范围是0<e<1,双曲线离心率e的范围是e>1。师：对了，e可看成是它们的相同点，又是不同点!(打开几何画板)动十动师：现在我慢慢拖动，大家认真观察图象。师：但你们有没观察到e=1时的图象?生：抛物线!【学情预设】学生认真观察图象的变化，认知e=1的图象就是抛物线。【设计意图】不仅回顾了椭圆与双曲线的相关内容，而且为如何画抛物线奠定坚实基础。师：这抛物线是怎么画出来的啊!(课堂顿时一片寂静)师：那这条抛物线与什么有关?呢?(课堂又一片寂静)(出示预先准备的圆锥曲线教具)C直尺F师：很好!师：如果这样，就只能找到一个点。师：说得很好!这里F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线。【学情预设】学生间合作交流，完成对抛物线定义的归纳。【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力。1.以K为原点，定直线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时得方程为：y²=2px-p²(p>0)y²=2px+p²(p>0)师：我们就把它叫做抛物线的标准方程，注意这里标准的规范是顶点在原点，图象关于x轴对称。【活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建立直角坐标系的方案，一段时间后，各组交流，对可行的方案进行验证。【设计意图】通过有启发性的活动设计和层层深入的问题设置，使学生在分析、探究、反思和归纳中，不断获得解决问题的方法。教学资料师：观察很准确!这说明了什么?发现?(打开计算机里的表格，学生迅速完成表格内容!)教学资料师：你们完成的过程有没什么发现?生：从y²=2px(p>0)的形式上，方程的一次项决定焦点的位置。生：还有一次项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为和准线方程为师：还有吗?生：抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物线只要一个自由量p,而确定椭圆和双曲线则需要两个自由量。师：观察很敏锐，分析很透彻，很好!【学情预设】通过老师的层层引导，学生自主完成计算机中的表格的内容，认清抛物线和二次函数图象的联系，认清抛物线标准方程的各种形式。【设计意图】引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决实际应用问题奠定理论基础。四.指导应用，鼓励创新师：接下来我们运用上述所学到的知识来解决一些问题，如：已知抛物线的标准方程是y²=-12x,现在请你们说出它的焦点坐标和准线方程。生：方程是关于x的一次项，系数是负的，所以焦点在x轴上，开口向左，所以焦点坐标是(-3,0),准线方程是x=3。教学资料再看一道：已知抛物线方程是y=12x²,请说出它的焦点坐标和准线方程。师：是这样吗?生：二次项系数不为1,所以要先化成标准方程!应该先变成再求。师：太好了!所以解题时不要张冠李戴!结果算出来了吗?众生：焦点坐标【设计意图】巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式。强调解决抛物线方程问题时要先转化为标准方程。师：现在我们回到姚明的这副图，有一次姚明投篮时，测得投篮的轨迹是抛物线，请看右边画的图形，抛物线最高点离底面距离为4m,篮框高为3m,篮框中心离最高点的水平距离为2m,怎么求投中时抛物线的方程?(生思考)师：这是一道实际生活问题!我们如何将这个问题转化成数学问题呢?生：建立直角坐标系!师：那怎么建立啊?生：这里应该以点o为坐标原点，0A所在直线为y轴建立坐标系，这样抛物线就在x师：很好!接着我们还可以算出