2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习-第八章 立体几何

1、第 页共56页2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习第八草立体几何第一讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积夯基出考点练透2021浙江岛考莱几何体的三视图如图8-1-1所示（单位:cm）,则该几何体的体积（单位:cn?）是 （| B. 3 C. D. 3V22020全国卷III :f里如图8-1-2为菜几何体的三视图，则该几何体的表面积是阁 8-1-26+4V2B. 4+4V26+2V3 D. 4+2V32022武汉市部分学校质检某圆柱体的底面直径和岛均与莱球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体 TOC o 1-5 h z 表面积的比值为（）5 | 4 D.| 2 C.- 3 B.2

2、A.2022山东省部分重点中学综合考试己知圆锥的侧面积为8 n ,且圆锥的侧而展开图恰好为半圆，则该圆 锥外接球的表面积为（9n C D.3232018全国卷I 理某圆柱的商为2,底面周长为16,其三视图如图8-1-3所示.圆柱表面上的点在正视 图上的对应点为A,圆柱表面上的点/V在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从:1/到的路径中，最短 路径的长度为()2Vl7 B. 2V5 C. 3 D. 2图 8-1-32022西安复习检测在正方体ABCD-Aaa内部有两个球G和汉，已知球0与正方体的三个面相切，球(h 与正方体的六个面相切，且球a与球a也相切.设球a, a的半径分别为r r2,

3、则i()r2V3-V2 B. 2-V32021河南重点中学5月仿真三星堆遗址位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.考古学家从三星堆遗址中发掘出了玉琮(c6ng).玉琮(图8-1-4(1)是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图8-1-4(2)所示，圆筒内径长2 cm,外径长3 cm，筒萵4 cm，中部为棱长是3 cm TOC o 1-5 h z 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为()图 8-1-4(27-)cm3B. (24+-) cm344C. (36-) cm D. (18+-) cm32021重庆5月三诊设某空心球

4、是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球) 得到的，己知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上，且所有面 均与内球相切，则()该正方体的棱长为2该正方体的体对角线长为3+V3空心球的内球半径为力-1空心球的外球表面积为(6+6V3) H2022广州市模拟若圆台的上、下底面半径分别为2,4,萵为2,则该圆台的侧面积为 .2022长春市质量监测某公园供游人休息的石凳如图8-1-5所示，它可以看作是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为40 cm,则石凳所对应几何体的表面积为cm2.2019天津商考理已知四棱锥的底面

5、是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周 经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .2021东北三省四市联考直三棱柱中，所有棱长为1，ZT为棱沒6；的中点，则平面也截三棱柱 ABC-MQ所得截面图形的面积为 .提能力考法实战2022郑州一模已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为7，在该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为()| B. 1 C. V3 D.2如图8-1-6所示，在长方体ABCD-AGIX中，AA=2t尸是上的动点，则下列选项正确的是M的最小值为gZW的最小值为的最小值为I). APPCx

6、的最小值为图 8-1-62021武汉5月质检桌面上有3个半径为2 021的大球两两相外切，在其下方空隙中放入一个小球，该球 与桌面和上述三个大球均相切，则该小球的半径为（）.2 021D 2 02143C.D.2 02122021全国卷乙以图8-1-7为正视图，在图8-1-7中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某 个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.til图 8-1-72020新岛考卷I 已知直四棱柱ABCD-AGD.的棱长均为2, .以及为球心，为半径的球面与侧面BCC必的交线长为 .2022陕西百校联考欲将一底面半径为75,体积为3 n的圆锥

7、体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图8-1-8所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为 .2022广东六校联考己知三棱锥产的顶点戶在底面的射影0为Ji%?的垂心，若S讀.SSpBC、且三棱锥产/f况的外接球半径为4,则的最大值为 .2021鄂东南5月联考科技热点如图8-1-9（1）是一款以侦察为主的尤人机,它配备了两台火箭发动机, 动力强劲，最大飞行速度超过3马赫.如图8-1-9（2）所示，空间中同时出现了 A，B，C，D四个R标（目标和无人机的大小忽略不计），其中AB=Ab嗣 km, 6373 km,故3 km,且目标A, 所在平面与C、Z?所在平面满足二面角A-BD-C

8、的大小为n，若无人机可以同时侦测到这四个目标，则其最小侦测半径为 km.图 8-1-9國创新预测2021南昌5月模拟如图8-1-10是一个底面半径和岛都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中 水的体积K是水面高度*的函数，记为片/Cr），若正数私6满足於垆1，则的最小值为 （）- B.-C.- D.-126432022四川模拟现为菜球状巧克力设计圆锥体样式的包装盒,要求包装盒与巧克力球相切，若该巧克力 球的半径为3,则其包装盒的体积的最小值为 .第二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系夯基出考点练透2022苏州市调研已知瓜为两条不同的直线，a,，r为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）若

9、 m a, n/ a，则 m n若a丄汐，尸丄卢，且a门y=mt则丄若 me a, nd a, m n/ ，则 a / P若 ml. a、nff 铃、a 丄卢，则 mA_n2022泉州市质量监测己知/!及7与/仍所在的平面互相垂直，AO=25t AB=AD=20t及则直线必与直线优所成角的余弦值为（）2021重庆市第三次调考下列结论中错误的是空间中两两相交于不同点的三条直线确定一个平面正三棱锥的对棱互相垂直垂直于同一条直线的两个平面互相平行1).空间一点与两条界面直线都相交的直线，有且仅有一条2017全国卷I 在下列四个正方体中，及沒为正方体的两个顶点,A Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中

10、，直线与平面,WW不平行的是2021江苏常州7月联考在空间中，到定线段作的两个端点P，0距离相等的点的轨迹是(线段松的中点以线段作为直径的圆线段/幻的中垂线线段/汐的中垂而2021江苏苏北四市联考已知长方体ABCD-MC中，炉4，B=2, E,尸分别为棱AB, 的中点，平而I截该长方体所得的截面图形为 边形.提能力考法实战2022安徽名校联考如图8-2-1,在直三棱柱ABC-MQ中，AB=AC=1, M=4f ABAC, 为側的中点，点N在棱O, 6妒3，则异面直线及#与a/所成角的正切值为(1 B.孪 Ci D.孪图 8-2-12022山西模拟如图8-2-2所示，在空间四边形ABC晚点E，分

11、别是边AB，似的中点，点F、G分别是边BC，上的点，且完=芸=$则下列说法正确的是Co Cu 3E，F，G，H四点共面；研与餅异面；与仍的交点似可能在直线/16上，也可能不在直线6?上;研与仍的交点似一定在直线/16上. B. C. D.2022甘肃九校联考在刘徽对我国古代数学名著九章算术所作注解中有“斜解立方，得两堑堵”.如图8-2-3,在正方体ABCD-AIX中“斜解”得到_堑堵ABBDCG,万为的中点，则异面直线做与從所成的角为（）2021安徽四校联考在棱长为1的正方体ABCD-AGI中，点E, A分别是棱 d 氏C、的中点，戶是上底面A、S、M内一点，若平面BDEF，则线段长度的取值范

12、围是（）,V2 B.手孕c 手争 D与函数综合多选题己知正方体ABCD-AM的棱长为1,动点P在正方体表面上运动，若I PA二X、点P的轨迹长度为/CO，则下列结论正确的有（）C.AV2）=V2nD.A 苧畔如图8-2-4,已知正方体ABCDA、B、C、IX的棱长为2,点M,:V分别是棱BC，C、D的中点，点戶在平面A、B、C、认内，点0在线段/LV上，若PM=yS,则作长度的最小值为. 第三讲直线、平面平行的判定及性质夯基出考点练透2022贵阳市模拟如图8-3-1 （1），在梯形 麗）中，AB/CD, CD-2AB, E，尸分別为AD，的中点，以为折痕把AJ/F折起，使点P不落在平面/汉7内

13、（如图8-3-1），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是图 8-3-167W平面/1仰;平面 既/平向BEF.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3如图8-3-2,在三棱锥J-及7?中，A梹CD=a，Mt N，P，0分别在棱AC, BC，BD, /fZK不包含端点）上，AB,均平行于 平面酮，则四边形淤W的周长是（）A. 4a B. 2aC.1）.周长与截面的位置有关2021大庆铁人中学5月三模关于空间两条直线a, b和平面a，下列命题正确的是（）A.若 a/b, be a，则 a/ a若 a/ a, /xz a，则 a/ b若 a丄 a,/丄 a，则 a/b若 a/ a,b/ a，则 a/

14、b2022青岛市质检多选题在三棱柱ABC-ACx中，E，F，G,斤分别为线段AAh ACh C、Bh側的中点，则下列说法正确的是（）EtF,GtH四点共面平面平面ABG直线/L4与份异面直线及7与平面/LW平行下列三个命题在“（）”处都缺少同一个条件，补上这个条件可使这三个命题均为真命题（其中1，m为两 条不同的直线，a，为两个不同的平面），则此条件是 .Z II m jm c a m | a 1/ a I | m 1/ o f丄m ml a 1/ o.().2022北京模拟如图8-3-3所示，在边长为2的正方体ABCD祕CDs中，点.1/是该正方体表面及其内部的 一动点，且側/#平面A认C，

15、则动点#的轨迹所形成区域的面积是 .如图8-3-4所示，四棱锥P-ABCD的底面/腳是直角梯形,BC/AD，ABVAD, AB=BCAD,州丄底面ABCD,过 況的平面交份于MJ/与汐不重合)，交州于況求证:醐BC.若W丄私求的值.VPA BCD图8-3-4如图8-3-5,己知四棱柱ABCD-AGa的所有棱长均为2, f为/的中点，尸为做的中点.求证:diF/y 平面 BCE.若及7丄平面ABB、Ah 0=4,求四棱柱ABCD-MGa的表面积.图 8-3-52022江西五校联考如图8-3-6,四棱锥V，C晚底面是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为V5的等腰三角形，ZT为的中点.在侧棱况

16、上找一点A:使份平面 _；并证明你的结论；在(1)的条件下求三棱锥ZF况y/的体积.图 8-3-6提能力考法实战2022甘肃九校联考如图8-3-7,四棱锥P-ABCD的底面必是菱形，及60 ，作丄底面ABCD, E，尸分别是AD, (7?的中点,为即上一点，且尸料肌证明：平面权淤若PA=AB,三棱锥护從？的体积为#，求PD.角度创题如图8-3-8所示,是圆0的直径，点戶在圆0所在平面上的射影恰是圆0上的点C,且=2從;点是PA的中点，卯与劭交于点E，点戶是上的一个动点.求异面直线及7和乃1所成角的大小：若平面ABC,求g的值：若点尸为凡的中点，且PCAB=2,求三棱锥产從F的体积.第四讲直线、

17、平面垂直的判定及性质夯基础考点练透2017全国卷III在正方体ABCD-ACxlX中，厶为棱仍的中点，则（）A. AxEVDCx B. A.ELBDC. AxELBCy D. AxELAC2022 州市一调在空间中，a,是两个不同的平面，/，/7是两条不同的直线，下列说法错误的是（若 ml. a tm/ n, nc P,则 a 丄卢若 a/ P, mV a n 丄冷，则 m n若 a /a ,na 冷，则 mn若 a 丄冷，xz a，a n P=n, mln,则 ml. P数学文化九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图8-4-1所示的四棱 锥FABCD中，/汐丄平面Am

18、 底面/1及7?是正方形，且PkCD，点E、F分别为凡;州的中点，则图中的鳖臑有（A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 1）. 5 个图 8-4-12021浙江高考如图8-4-2,已知正方体ABCD-AC, M, .V分别是 械0沒的中点，则直线与直线没沒垂直，直线淤V平面ABCD直线与直线凡?平行，直线J/V丄平面BD祕直线凡2?与直线没沒相交，直线淤V77平面ABCD直线与直线 似异面，直线縱1平面BMR图 8-4-2多选题如图8-4-3 (1),在矩形与菱形A腳中，2於4, Z/!敝120，礼N分别是份;M的中点.现沿将菱形/f份T7折起，连接ED, EC，构成三棱柱AFD-BEC,

19、如图8-4-3 (2)所示.若側丄份;记平面/WZVn平面 ADF=1.则()图 8-4-3A.平面/!优)9丄平面ABEF义.醐/1直线份与平面4從所成的角为60 四面体況做的外接球的表面积为148 Ji2019北京卨考理已知是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：/丄/;m/ a ；7丄 a.以其中的两个论断作为条件，余下的个论断作为结论，写出个正确的命题: .2022豫北名校联考己知三棱锥S-ABC, SA二S臣SC，/!及7是边长为4的正三角形，点E, A分别是SC，BC 的中点，厶是W上的一点，且EFLSD,若 贼、则DB= .2020江苏高考如图8-4-4,在三棱柱ABCAQ中

20、，ABAC,茂6*丄平面ABC, Et尸分别是AC,汉6的中点.求L.EF/平面做6；.求证:平曲K丄平面職.图 8-4-42022广州调研如图8-4-5,在直三棱柱ABC-AM 中， , /!供2, BC=CCt=4, 是M的中点.求四棱锥B-ACl)的体积.(2求证:丄平面從汉图 8-4-5提能力考法实战2022贵阳市模拟如图8-4-6,长方体ABCDMC、a中，AB=A吋，AA=2,尸是上底面内的一点，经过点戶且在上底面内的一条直线/满足/丄凡：(1)作出直线1，并说明作法(不必说明理由);当戶是A.C.的中点时，求三棱锥FBCD的体积./PDB图 8-4-6如图8-4-7,已知菱形/腳

21、的边长为2, Z/60 o，点F是平面必外一点，四边形A腳中，EA交仞于点 M, HM，勝2,373-1, DB=6. FA1CD.求证:川丄平面?!及7Z求四面体的表面积.数学探索如图8-4-8,在四棱锥S-ASCD中，已知底面似为矩形，AMP为等腰直角三角形，SA=SD=2y2, Al2,厂是汉的中点.（1）若在线段卻上存在点E，使得平面分77平而例7的有且只有，側丄平W OT7的有且只有朋夕平面汾石的有且只有，做丄平面份Z；的有且只有平面汾石的有且只有，朋丄平面处Z；的有且只有平面份(；的有且只有，做丄平面处Z；的有且只有2018全国卷II 理在长方体ABCD-MCxIX中，AB=BC=

22、y仞=75,则异面直线AIX与做所成角的余弦值为()A-I ? C4 是边长为2的正方形，AAh BG，CC，做均与底面J腳垂直，且AA/3,点I)，5分别为况和 的中点.(1)棱上是否存在点吏得平面M丄平面4從?若存在，写出PA的长并证明你的结论:若不存在，请说明 理由.求二面角A-BE-D的余弦值.2021重庆市第三次调考正方体ABCD-AMDs的棱长为2,点戶在棱CC上，点石在棱似上.若A、E=CF(如图8-5-7(1),求证:汉F，久四点共面.若为的中点，过B，E，尸三点的平面记为a,平面与棱做相交于点识如图8-5-7 (2),平面a将正图 8-5-72021蓉城名校联考如图8-5-8

23、(1),/1Z?是腳中汉边上的高，且AB=2AD=2AC,将腳沿劝翻折，使 得平面ACDX.平面ABD,如图8-5-8 (2)所示.求证:AB1CD.(2)在图8-5-8 (2)中，万是即上一点，连接犯以当必与底面4仇所成角的正切值为吋，求直线淤与平面所成角的正弦值.图 8-5-8國创新预测与函数综合如图8-5-9,三棱锥PA8C中，州丄平面ABC、ABVBC.平面a经过棱/T的中点E，与棱PB，AC分别交于点A P，且优W平面a、PA平面a.证明丄平面a.若做点在直线汾上，求平面拗6与平面份6所成锐二面角的余弦值的最大值.图 8-5-92021福州市5月质检开放题如图8-5-10,在三棱柱A

24、BC-AG中，ABA.AC,平面ABCV平面ABM,平面J况丄平面ACCAx.(1)证明：A4,丄平Iti ABC.在勝於1，沉;与平面淤从所成的角为30 ，异面直线616与所成角的余弦值为$这三个条件中任选两个，求二面角A、U 的余弦值.答案第八章立体几何第一讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积夯基础考点练透A解法一 由三视图可知，该儿何体是一个成面为等腰梯形的貞四棱柱，其中底面等腰梯形的底边长分别为介2V2,高为该四棱柱的卨为1,所以该儿何体的体积（V2+2V2） XX1=|.故选A.解法二 由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形（腰长为2）的直三棱柱截去一个底面为等腰直 角

25、三角形（腰长为1）的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积IXX1-1X12X1.故选A.C由三视图知该几何体为图D 8-1-1所示的三棱锥卜ABC,其中州丄平面ABC, ABAC, AB=A（AP2,所以 PBPOBCTi、故其表面积 5（|X2X2）X3+|X （2V2）2Xsin 60 =6+23.图 D 8-1-1C设圆柱体的底面半径为/PVAB于 P，则 0F=0P=ry AO = V3,所以 APAa-aP=y-Y，又AP=Aaay3rn,因此 G/5+1 ）71=75-1，解得 n=2-芯，所以2-75,故选 B.r2图 D 8-1-5A由题意知，圆筒的体积为n X(|)z-l2X

26、4=5n (cm3),中部(正方体的一部分)的体积为3X3X3-n X(|)2X3=27-jt (cm3),所以组合体的体积 问n +27- n = (27-) (cm3).(拆分组合体，里面可看作1个高为4的空 心圆柱，外面可看作1个正方体挖去一个圆柱)故选A.B设内球、外球的半径分別为r，疋则止方体的棱长为2r,体对角线长为2尺可得R=3r.又由题意可知 =1,由解得1，所以该正方体的棱长为V5+1，体对角线长为3+V3,故A, C错误，B正kR-r = 1,22确.外球的表面积朵4 nn ()2=(12+6V3) n，故D错误.故选B.12 n己知圆台的上底面半径2=2,下底面半径AM,

27、髙/=2,得母线长7=J(r)2+?=2V2,则该圆台的 侧面积货 n 1(痛=艾 X2V2X (2+4)=12V2 Ji.10.4 800+1 600V3由题意，该石凳可以看作是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，且该正三棱锥的 底面是边长为20V2 cm的正三角形，所以该石凳所对应几何体的表面积为6X (20V2)2+8XX (202)2=(4 800+1 600V3) (cm2).j由题意可得，四棱锥底面对角线的长为2,则圆柱底面的半径为易知四棱锥的高为751=2,故圆柱 的高为1,所以圆柱的体积为n X (i)2Xl-i.由于ZT为棱B、C、的中点，取AxQ的中点F,连接EF, AF

28、t则EF/AB、且EF=AB,敝AF，因此四边形ABEF 为所求截面图形，且四边形为等腰梯形，(根据“特征点”确定平行关系，进而确定截面图形的形状易知 ERAB=t AP=BB= 112 + (|)2 = y,则等腰梯形的尚为?)2II21 I 4所以等腰梯形J份F的面积为$=即所求截面图形的面积为#.416160提能力考法实战13. D因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为V，则圆柱底面圆的直径为V5.由正四面体在圆柱内可以任意 转动得，正四面体一定在圆柱的内切球内.如图D 8-1-6所示，棱的H:四面体A可还原成棱长蝉： 的正方体ABCD-AC.因为正方体外接球的直径是正方体的体对角线，所以棱

29、长为a的正四面体的外接球的直径等于=今a、所以今ad 所以a彡2,所以a的最大值为2.14.1）如图D 8-1-7,连接A、D，BD、则淤的最小值，即AM沒的边扁沒上的高.（把/的最小值转化为点P到直线 45的距离）在AZH沒中，易知AB=A4S,敝41、则边做上的高为.设边 从上的高为h,由等面积法得V2x = ixV5XA,解得错误.图 D 8-1-7如图D 8-1-7,连接ACh BC、，得A4從;，以所在直线为轴，将/!：优;旋转到平面A職上，设点6的新位置为C，如图D 8-1-8,连接AC则 W即AhPC、的最小值.在八扃及/中，易知A脚C=芯，AC=收 则cosZBA、C=，sin

30、Z财6*=.又 cosZ/I/li, sinZ.AABt 从而在/L4ir中，cosZAAC，=cqs （Z.AABZ.BA6） =-又 M=2, AC=收所以AC=J4 + 2-2x2xx （一芸）=（利用余弦定理求得此的长度.即Ah PC的最小值 C错误，D正确.故选D.b设三个半径r=2 021的大球的球心分别为a，a, a,与桌面的三个切点分别为a, b, c,易知a, a, a, a, b, r这六点可构成一个逬三棱柱，如图i）8-1-9所示，且三棱柱ABc-ao：a是一个底面边长为w、高为斤的正三棱柱，则小球球心0在底而J况上的射影必为/!及7的中心H.连接OH, AH, Oa,过

31、点0作OD AH艾 M于点D，易得四边形/!腳为矩形，所以OD-AH.设小球 0 的半径为 r,则 0HAD=r, OxDaA-DA=R-r.因为/为底面三角形的中心，所以 AIOD-R,又 oa=/r, a)l=o/f+aif,所以(r)2=(2+(-7)z,整理得把斿2 021代入，得即小球的半径为$，故选B.或 根据“长对正、高平齐、宽相等”及题图中数据，可知侧视图只能为题图或，俯视图只 能为题图或.当俯视图为题图时，右侧棱在左侧看不到，所以为虚线，此时题图为侧视图：当俯视图 为题图时，左侧棱在左侧可看到，所以为实线，此时题图为侧视图.故填或.-如图D 8-1-10,连接易知为正三角形，

32、所以B=GDx=2.分别取B、C，BB、CQ的中点G, H,连接職D、G、賦则易得勝餅/22 + I2 = V5,且认垆/1由题意知G, Z/分别是BB、，CG与球面的交点.在侧面BCCB、内任取一点P,使Mfy/2,连接賦易知MVMP,则渺抓+ MP2 = J(V3)2 + (V2)2 = V5,连接 易得MG-MH=42y故呵知以.!/为圆心，VI为半径的圆弧67/为球面与侧面BCGR的交线.由Z沒袱M5 0知件90 ，所以57)的长为!X2 n Xy2 = 41-42图 D 8-1-10X/f3 Ji，所作出截面图如图1) 8-1-11所示，设球体的半枰为r,圆锥的卨为h,由题意可知以

33、的，綱C參2必,从而可得AJ优;八/!/均为等边三角形，当圆0为/!從的内切圆时，易得z-1,所以0Kl.易知FH=Dyf3it所以- V5r, 73-3r,则圆柱体和球体的体积之和K/)=9 n戶(It) 4 n?=-n7+9n?(020,单调递增，当芸21时，W0,心，)单 调递减，所以当 3时，r(r)有最大值，最大值为图 D 8-1-1132如图D 8-1-12,连接A0,并延长交從于I),连接PD, P0. .顶点戶在底面的射影0为/!及7的垂心，:. ADYBC,丄平面 ABC, :.POVBC,又 Al)C P，AD, POa 平面 ADP. :.BCL 平面 ADP, :.BC

34、A.PA, BCVPD.同理可得 AC 丄/ABLPC.由 S.SSpBC,得 A/). OD=Pff,又:.LPODL鵬、.供Z/W90 ，.仰丄 W 乂PAiBC，BCCp)=D, Pl)，BCa 平面 PBC, .州丄平面 PBC, .州丄尸6；州丄做又 PBYAC、且 PAAC=At PA, /1O=平面PAC，:.PBL平面PACt :.PBVPC, :.PA, PB,两两垂直.三棱锥户/IZT的外接球为以PA, PB,为棱的长方体的外接球，又三棱锥户/!优的外接球半径为4, :.PPPC :pac(PA PBPCPBPA .PC) _(州2+祕+/)=32, :讚的最大值为 32,

35、当且仅当 PA=PB=PCi等号成立.图 D 8-1-124Y3当无人机位于四面体/LOT外接球球心时，取到最小侦测半径，大小为外接球半径.取松7中点E，连 接AE,因为ZU做为等边三角形，边长为6 kin,所以AB=ABsin 60 o =33 (km)，取/!做的外心F,则厂在AE 上，(km).因为km, BG=3 kin, BD km,所以所以 BCLCD,所以万为如7的外心.过五作烈/丄平面BCD，过尸作丄平面ABD，腸F炉0,因此0为四面体J及7?外接球的球心. (寻找A/4做和Ara的外心，分别过外心作所在平面的垂线，两垂战的交点即外接球球心)因为二面角A-BD-C的大小为，所以

36、Zn- =去，所以EF=OE- cosj,即y3=OE-专，3 Z ooL所以 0巨2 km,所以 OA=OOOOED2 + 0E2 = Vl3(km).A因为圆锥形容器的成面半径和卨都是1,水面岛度为所以容器中水的体积/U)nZ因为ab=,所以垆l-a(OCXl)，Aa)+/U)=|n 3+|n (l-a)3=jna3+|n (l-3a+3a2-)= jt 2- n n ,(将权变量问题转化为单变量问题，注意恨制条 件)易知函数尸(OCX1)的图象开口向上，且对称轴方程为所以当_时，Aa)+/U)取得最小值，最小值为$ n +1 n =-1.故选A.231272 nr设圆锥体包装盒的底面半径

37、为r,高为h.如图1) 8-1-13,作出巧克力与包装盒截面示意图，其中，0取等号.(基本不等式的应用，注意芩号成立的条件)图 D 8-1-13第二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系0夯基础考点练透B对于选项A，若m/ a, n/ a,则w与/7平行、相交或异面，因此A不正确:对于选项B，若a丄戶，y丄芦，且a D r=m,则历丄冷，因此B正确:对于选项C,若扣a，/7C a, m/, n/ P,则a与卢平行或相交，因此C不正确;对于选项D，若m.L o,n/a丄，则与/7平行、相交或异面，因此D不正确.综上，选B.D 由题意,可得 A技+Bdl=Adc，ACAC,所以 ABBC, ADV

38、CD.如图 D 8-2-1 所示，过 i?作 BO VAC 交 JC 于 点0、连接OD,易得ODLAC.因为平面J优丄平面ACD，平面平面ACD=AC, OBa平面ABC,所以做丄平面ACD,又ODa平面AC/),所以OB1OD,所以OB, OD, /k；两两垂直，故以0为坐标原点，OD, OC,必所在直线分别为 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz.因为 /IC=25,BC=C1 所以易得 0臣0讲2, /RM6, 00=9,所以鐵-16, 0)，供0, 0,12)，6*(0,9, 0), /?(12, 0,0),故而=(12, 16, 0)，BC= (0, 9, -12)，故 co

39、sAD,= 12x0:(_12) = H.(也可将葯.表示为_ -励(沉-励进行计算)AD BC20X1525故选D.3.1)对于A,空间中两两相交于不同点的三条直线确定一个平面，故A正确;对于B，如图D 8-2-2,在正三棱 锥ABCD中，取6)9的中点Et连接AE，從易得AECl),BEVCD,因为AECBB=Ef所以仍丄平面ABE, 乂 ABc平面A朋，所以CD LAB,同理可证得BC1. AD, BDLAC，故B正确;对于C，如果两个平面垂直于同一条直线，则由线面垂直的性质知这两个平面互相平行， 故C正确;对于D，当点在两条异面直线其中一条上时，过这一点与两条异面直线都相交的直线有无数

40、条，故I) 不正确.综上所述，选I).A对于选项B,如图D 8-2-3所示，C，Z7为正方体的两个顶点，连接CD,因为AB/CD，私0分别是所在棱的中点，所以MQ/所以AB/MQ, 乂 J历平面 _、拗=平面職所以必#平面酬.同理可证选项C, D中均有/!从7平面，WW.图 D 8-2-3图 D 8-2-4对于选项A,作出正方体的底面的对角线，记对角线的交点为扒如图D 8-2-4所示），连接M则OQ/AB,因为 做与平面船口有交点，所以与平面淤沁有交点，即与平面不平行，故选A.D取线段作的中点A,过点A作平面a，使丄平面a，则平面a垂直于线段PQ，且平分线段PQ，平面a 称为线段作的中垂面.设

41、任意点旅平面a，连接m斯，n则刷垂直平分线段n所以，购.反之，到定线段作的两个端点P, 0距离相等的点都在平面a上.故选D.五 对平面进行延展，延长ar交DA的延长线于G连接 奶交于汉延长 仍交做的延长线于K,连接KC，交IXQ于点A；连接朋，FN,则五边形穴即为平面做截该长方体所得的截面图形.（根掘特征点”. 由平行关系确定截面形状）0提能力考法实战D解法一 如图D 8-2-5,在上取点I），使得AAl）,连接CD，Ml），易知砂脱，_/CN,所以四边形 ADCN是平行四边形，所以 DC，则ZZO为异面直线 W与/所成的角或其补角.（易忽略/娜也可能是异 面直线4,/V与氓所成角的补角易得

42、_1艰.f/V2T4 = V6,可判断出是锐角，就是异面直线/LV与a/所成的角.设规的中点为连接 DE,则 DELMC, DE=,所以 sinZOTA ZDCJf,所以 tanZMAtan-=夸，故选 D.A C,图 D 8-2-5解法二 以A为坐标原点，AB, AC, M所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图D 8-2-6所示的空间直角坐标 系，图 D 8-2-6则 Ml, 0, 2)，MO, 1,3), Ax(0, 0, 4), f(0, 1,0),则巧=(0,1,-1), CM=(1,-1,2),所以 cos=jj= =设异面直线爪V与所成的角为0,则cos=cos I = I I

43、=y.(易忽略异面直线所成角的范围)tan 0=,所以异面直线与6所成角的正切值为#，故选D.B依题意，可得份/7做FG/BD,版FG肌所以E，F，G，H四点共面，所以正确，错误;因为F(pBl),所以四边形份沿V是梯形，份与似必相交，设交点为紙因为点在研上，故点私在平面ACB 上，同理，点在平面4仍上，所以点J/在平面/!仍与平面/!6汐的交线上，又是这两个平面的交线，所以点,1/ 定在直线AC.t所以正确，错误.故选B.图 1) 8-2-7A如图1) 8-2-7,易知在堑堵膿-DCC冲，歸DC、，则ZGEB或其补角为直线做与做所成的角.连接 BC、BD，由正方体的性质可知，BC、=敝C、D

44、,所以肌为等边三角形，又厶为的中点，所以BELCD，即Z CEB，故异面直线AR与份所成的角为+B如图D 8-2-8所示，分别取棱AA M的中点M，N，连接MN，祕，:M，N, E，尸均为所在棱的中点，:觀Bl EF/:.MN/EF,又私W平面 BDEF、ER 平面 BDEF,:.麵I平面 BDEF.连接 NF, AN, AM,则 NF/ 紙 NAxBh又A、B、 AB、AAB, :.NF/AB,脚AB，:.四边形 奶视为平行四边形，则AN/FB,而AVJ平面 BDEF, 平面BDEF, :.AN/平面BDEF.又0 5 .平面/!拗77平面BDEF.又尸是上底面 MCIA内一点， 且 /!戶

45、/7 平面 BDEF，.点 P 在线段餅上.在 RtAJ/l.J/ 中，AAAi + A2 = y,同理，在 RtAi/V中，得则/IWV为等腰三角形.当戶在擴的中点时，小，为J(f)2-(孕)2 =今，当戸与似或，V電合吋，/!尸最大，为f /.线段J厂长度的取值范围是#，.故选B.Bl) 7动点戶在正方体表面上运动，PA =x, /.点戶的轨迹是以J为球心，州为半径的球的球面与正方体的表面的交线.图 D 8-2-9当0/2.(1)因为点尸在圆0所在平面上的射影恰是圆口上的点C,于是丄平面ABC.W为BC平而ABC,所以BC1PC.又BCAC,且PCCAOC,所以及7丄平面PAC,又PA平面

46、PAC,所以8C1PA，于是异面直线ZT和州所成角的大小为90 .(2)连接況因为份7平面ABC, EFa平面POC,平面ABCC平面POOOC，術认EF OC.在中，点P是PA的中点，点0是似的中点，所以厶为片於的重心，从而&3在Ara?中，因为EF/OC,所以 = -3 rC cU所以g的值为3.(3)在A/W中，由(2)知方为/_的重心，所以= 又点/为/T的中点，所以筠=4,于是|rCAPEF PEXPF 2 11=-X -=舰 POXPC 3 2 3所 VP BEF _ VB.pEF _ S&PEF _ 1VPBOC VBPOC SPOC 3在直角胤中，AB-2, AC=2BCt 可

47、得 所以 SSabc= x BCX从而所以所以三棱锥fBEF的体积为45第四讲直线、平面垂直的判定及性质夯基础考点练透C连接B、C，M.由正方体的性质得及屆丄亂，B、CH 又所以從;丄平面織CD，乂 AEa平 面级CD，所以ABCh故选C.C由zd_ a、m/f n、得/?丄a，又/xz，所以a丄，A正确；由a / , m丄a，得m 又/?丄，所以n, B正确：若a /，/c a, nc，则zz?，/?可能平行或异面，C错误：由面面垂直的性质定理知D正确.故选C.C 因为即丄底面 ABCD, DC, BC, Bt 底面 ABCD，所以 PDVDC，PDVBC, PDLBD，由四边形J及7?为正

48、方形，得BCLCD,因为 PDC DC=D，PD, P6t 平面 PCD，所以优丄平面PCD,所以BCA.PC,所以四面体是一个鳖臑.因为DEc平面PCD,所以BCLDE. 因为PD-CD,点五是尸6的中点，所以DEYPC,又PCnBC-C, PC, BC平面PBC,所以您丄平面PBC,所以DELBE,可知四面体紐的四个面都是直角三角形，即四面体D9是-个鳖臑.M理可得，四面体和四面体柯朋也是鳖臑.故选C.A解法一连接A认，则易得点在A1X上，且似丄因为必丄平面AAM,所以仙1械乂 ABD M=/1f AB,AlXa平面Am，所以丄平面Am,所以/LP与BIX异面且垂直.在观中，由中位线定理可

49、得醐AB，因为 私W平面ABCD, Alic平面ABCD,所以淤V7平面ABCD.易知直线与平面腿W不垂直，所以.秘V与平面BBM) 不垂直.所以选项A正确.故选A.解法二 以点P为坐标原点，DA,优；做所在直线分别为x轴，/轴口轴建立空间直角坐标系.设A浜2,则 Ax (2, 0, 2)，M0, 0, 0)，以(0, 0, 2), M2, 2, 0),所以 Ml, 0,1)，A(l, 1，1),所以AD=(2, 0, -2),5= (2, 2, -2),MW=(0, 1, 0)，所以;瓦=-4+0+4=0,所以 Ad)VM. 乂由题图易知直线 AP与做是异面直线，所以4P与做异面且垂直.因为

50、平面的一个法向量为rr(0, 0，1)，丽.n-0,所 以拗77平面ABCD.设直线泌:与平面做所成的角为0，因为平面B_ 的一个法向量为a=(-l, 1, 0),所以sin =|cos MN, a 1=- = - = 所以直线.秘V与平面做仏9不垂直.故选A.AB A项，因为ADV AB, ADVBF,所以似丄平面ABEF, 乂 /!ZAz平面ABCD，所以平面/I及7?丄平面ABEF,选项A正确.B项，在菱形腿中，因为为份的中点,所以#为淤的中点，因为A为M的中点，所以 醐EC.在三棱柱AFDBEC中，易知平面狐77平面M)F，ECc平面BEC,所以汉7平面ADF. 乂 ECc平面AEC,

51、 平面AECC平面ADF=1.所以EC 1. 乂 醐汉;所以醐1，选项B正确.C项,AELBF, ADA.BF, ADQ AE=A,所以 狀丄平面ADH，故AFEM为直线尿与平面/於所成的角.(抓住直线与平而所成角的定义因为Z/1120 ，所以Z/60 ，故戶Z地决30 ，即直线研与平面/!從所成的角为30 ，选项C不 正确.1)项，屬中，/1庐24炉2/1你in(iZ/L?0=2X4Xsin 60 =4/3.由正弦定理可得/從的外接圆半径x = |x -=4.由A项分析可知1，側丄平面ABEF，所以四面体隱D的外接球半径i sinZ/lSE i sinl20R= Jr2 + (|?1D)2

52、= V42 + l2 = Vl7.(利用球的半径R、截面囲的半径r及球心到截面的距离d三者之间的关系 求解)故四面体似朋的外接球的表面积54 n =4 Ji X 17-68 n，故选项D不正确.综上，选AB.若/丄历，/丄a，则历/ a.(答案不唯一)若Y丄a，_L/n,则m a,显然冷正确；若lA.ni, m a、则 1/ a或/与a相交，故=不正确:若7丄a、m a，则/垂直a内所有直线，在a内必存在与平行的 直线，所以可推出/丄故=正确.V7 :SA=SH=SCi 及?为正三角形，.三棱锥S-ABC为正三棱锥，:.SBLAC.(正三棱惟的对棱相互垂直)在及7中，研为中位线，则EF/SB.

53、 .USD, :.SBA-SD,又 SDCA(D, :.SB平面 SAC,又 SAc 平面 SAC, :.SBSA.在等腰直角三角形义沒中，S/)=SA=A/i=2V2, :.EFSB=2.由EF/SB,知汾丄平面义6；由做=平面义；知EFLDE.在直角三角形腳中，DE=yDF2-EF2 =32-(榔 =V7.因为戶分别是AC,BC的中点，所以 _AB、.又例平面A玖C、，ABc平面A玖C、，所以份/7平面ARC.因为茂C丄平面ABC, ABc平面ABC,所以8、C1AR又 AB1AC，BxC平面 ARC, ACc 平面 ABC，8、CnAC=C，所以/L?丄平面做6：因为ABc平面八亂所以平

54、面JC丄平面ABB、.(1)因为三棱柱ABC-MA是直三棱柱，所以侧面丄底面AM.在底面姚C中,过S、作垂足为E，则汉丄平面ACCM由已知得 AAOy/22 + 42-2/5,由等面积法可得=諼=竽。姗M綱=IX)X 275675,所以 =1X675X8.由已知可得眺2孔又服=4,所以断，则ByDYBl).因为 CI=AA+ (2V5) 2=24, +=42+42=32,所以 BCff=Bxd,则 BDVCD.又CDC BD=D，所以汉汐丄平面BCD.提能力考法实战(1)如图D 8-4-1，连接和,在上底面内过点尸作TO的垂线，即直线1.图 D 8-4-1图 D 8-4-2(2)解法一 如图D

55、 8-4-2,连接AC, BD,祕，设交仰于点H,因为在长方体 ABCD-AGIX 中，J/1/tl,所以 CHVBD, CH.因为做丄底面ABC!），Cl底面ABCD,所以烟丄以又朋n 1）_，BD,做c平面BBM,所以67丄平面BBM 即67是三棱锥C-PBxD的高，所以 VP.BlCD = Vc-pb.d =|x|xTX2XT = ?即三棱锥P-RCD的体积为解法二如图D 8-4-3,连接眼，AC,说），设/交做于点H,连接賊则 _PB、D电PB、所以四边形Pim是平行四边形，所以M/PD. 又mz平面m沒仞平面PCI）,所以汉从7平面PCD，连接PH，则 BrPCD=-因为在长方体AB

56、CD-AGIX中，做丄底面ABCD,所以易得点尸到底面70的距离等于DD、，又 Vp-BD = BrPCD= Vi-itat, Snc/r X AD, Wi-/L4i-2,所以p-BiCD=DD X X2=,即三棱锥卜議的体积为6在中，由余弦定理，得cosZZZ4y = 所以ZZ24/F6O ,又Af=2,所以AJZ袱是边长为2的等边三角形，所以 MA=MDMF=2,所以 丄/fZ?,又 没丄CD, ADC CD=Dt （两直线相交不能省略所以M丄平而ABCD.由知，没丄平面ABCD, J/为咫的中点，过点J/作fNLAD交必于点N,则MN/FA,所以船丄平面ABCD. 连接CN,则MNCN.

57、在.船r中,MN=CN=43, =+C=6,所以；I/OV6.在ZUO中，边脱上的高的长为 一 ()2 =又 zu/a超!，所以 &wF5FX2X2Xsin 60 =V5.所以四面体拗6)9的表面积+w+5o+.)f=2V3 + V15.(1)点厶为的中点.理由如下：因为四边形ABCD是矩形，所以/L?丄/L9.又E、F分别是AD,优的中点，所以EF/AB,所以ADLEF.又Al为等腰直角三角形，SA=SD,所以SE上AD.因为SEHE/E,所以及9丄平面SEF.又ADc平面ABCD,所以平面I丄平面ABCD.图 D 8-4-4(2)如图D 8-4-4,过点5作S0LFE,交/的延长线于点0.

58、由知平面 1 丄平面ABCD,平面SEFC平面ABCD=EF,所以5ZZL平面ABCD.因为AMP为等腰直角三角形，S舡SD=2收所以A賊SE=2,又EF=AB-所以2X5为等腰三角形.因为Z5730 o ,故Z5120 , Z5Zi60 ，故 03=1, 573.连接AF, DF、设尸到平面59的距离为d,由Vs-FAD 可得i XX SOX SFAD,易知 55=|X2V2X2V2=4, /f|x2X4=4,所以 d=S0=yf3.即点A到平面的距离为第五讲 空间向量及其应用0夯基础考点练透A 如图D 8-5-1所示，(根据題意正确作出示意图是解答本題的关键)J戶为比萨斜塔的中轴线，0为赤

59、道所在平面上一点,AC/ 01)，B为0A延长线上一点，则由题意可知，AAOl)44 tZBA/4 ,所以o -4 -40 ,即中轴线与赤道所在平面所成的角约为40 .图 I) 8-5-1A对于题图，连接BI),因为； Ft G均为所在棱的中点，所以BD/GE. Dl)、EF，乂脚平面EFG, GE平面 EFG,朋平面EFG, EFc平面EFGy从而可得彻平面EFG.M/平面EFG,又BDODDfD,所以平面胭平面 EFGy又c平面_，所以朋#平面EFG.对于题图，连接m设正方体的棱长为1,因为E，F、6均为所在棱的中点，所以而；GE=(DD；-DB) (全万石)=|(万瓦DA-DB DX)=

60、|(lxV2Xcos 45 -Wx Xcos60 o )=0,即 BIA 上 EG.连後 DC、 则両. (DC)=(DDl DC-DB DCi)=|(1 XXcos 45 -x V2Xcos 60 )=0,即朋丄灰又EGQ EFE,所以做丄平面EFG.对于题图，设正方体的棱长为1,连接DB, DG，因为E, F, (7均为所在棱的中点，所以 .瓦=(珂-励(DG -DE) =(DDl-DB) (DC+DD-DA)=DD2 -DB -DC+DB = |-V2X 1 Xy+ | x V2X 1X=0,即朋丄况.连接 J/；贝BOl-EF=(DDl-DB) (AF -AECDD-DB) . (DD