泊松分布在排队论中的应用

1、学号:刽袒岬旋学院本科毕业论文（设计）泊松分布在排队论中的应用院系数学系专业统计学姓 名指导教师职 称 讲师等 级泊松分布在排队论中的应用日常生活中存在着大量有形和无形的排队和拥挤现象，小到如旅客购票排队，市内电 话占线银行服务系统，高速公路收费系统，大到国防武器作战效能.排队论的产生与发展 来自实际的需要，实际的需要也必将影响今后的发展已有的理论知识对日常生活中涉及排 队论知识的实际问题建立了经典的模型，在这个基础上，对采集的数据进行相关的的分析， 将分析的结呆和分析得出的数据回带到模型中，进行数学推演，得出数量指标的统计规律， 然后根据这些指标为涉及排队论服务系统的改进提供有价值的参考.本

2、文先从排队论的相 关基本知识入手，简单介绍排队论的内容，排队论的模型和模型需要用到的指标，从而引 出对泊松分布的介绍，股后再运用泊松分布的相关知识对实际周边生活的排队服务系统进 行拟合计算其指标.从而得出模型最后的结论.关键词：泊松分布 排队论 排队模型 模型结论合肥师范学院20枠届本科生毕业论文（设计）IIABSTRACTThere arc a lot of tangible and intangible queuing and congestion phenomena in our daily life, such as passenger ticket queue, local tele

3、phone online, banking service system, the hijiway toll system From a large perspective, it involves with the Defense Weapon Combat effectiveness. The emergence and development of queuing thcoryr come from the actual demand that will also affect the future development. The existing theoretical knowle

4、dge is helpful to establish typical models involved with queuing theory in daily life. Based on that, we can make analysis of the collected data, the result of the analysis can be taken into the model. Through mathematical deduction, the statistical regularity of the quantity index can be produced.

5、With those indexes, some valuable reference for the improvement related to the Queuing service system This paper starts with the basic knowledge related to the queuing theory, then makes a brief introduction of queuing thcoryr, queuing model and the required index, thus leads to a introduction of th

6、e Poisson distribution. Finally, the related knowledge of Poisson queue service system is applied to engage a fitting calculation of the indicators on the practical life. And the model conclusion can be obtained Keywords： Poisson distribution queuing thcor)r queuing modelthe model conclusion.合肥师范学院2

7、0糾届本科生毕业论文（设计）目录 TOC o 1-5 h z 摘 要I HYPERLINK l bookmark4 o Current Document ABSTRACTII HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 1引言4 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 2 排队论的基本理论4 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 2.1排队论简介4 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2.2判断月（务系统优劣的指标5 H

8、YPERLINK l bookmark16 o Current Document 3排队论模型中的相关分布6时间间隔的分布6 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 3.2服务时间的分布7 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 4具体模型7 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 4.1模型一： M/M/1/s/s（顾客源无限，系统容量不限）7模型二： M/M/l/N/s（系统容量有限）9 HYPERLINK l bookmark32 o Current Doc

9、ument 5具体实例分析10 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 6小结15in合肥师范学院20糾届本科生毕业论文（设计） 1引言泊松分布（poisson distribution）是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，由法 国数学家西英恩德尼泊松（simcon-Dcnis poisson）于1838年提出，近些年来，随着自 然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰显.在泊松随机变量概念的基础上，加以推 广便得到了泊松过程的概念.泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究.但泊松分布 的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位査.泊松过程可以

10、拟合现实生活中很大一部 分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K. 埃尔郎在解决自动电话问题吋开始形成发展的一个随机服务系统理论.通过对服务对象及 服务吋间的统计研究，得出数量指标（等待吋间，排队长度等）的统计规律，然后根据这 些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的 需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优.本文将妥介绍的现实中的排队服务问题， 此外，泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问 题的领域有着大量成功运用的实例.2排队论的基本理论由于排队可以归属为一种随机现象，因此在研究

11、有关排队现象的时候，主要采取概率 论的相关知识作为其主要的工具.泊松分布作为概率论中最常见的分布在有关排队论问题 中的应用非常广泛.我们把排队论所要研究的对象（要求服务的人或事物）称为顾客，把 为顾客服务的人或事物称作服务机构，将顾客排队等待的整个过程称作服务系统或排队系 统.由于顾客的到达时间和接受服务的时间到服务结束的时间一般说来都是随机的.所以 我们又称服务系统为随机服务系统山2.1排队论简介各种随机服务系统一般由三个部分组成，排队的一般过程就是顾客由顾客源出发，到 达服务机构（服务员或服务台）等待服务，接受服务，完成服务后离开的过程2】.一般可 以下三个构成部分：（1）输入系统； 各类

12、型的顾客以怎样的规律到达服务系统，主要是顾客到达吋间的间隔分布；（2）排队规则；顾客到达服务系统后以怎样的次序方式接受服务，即如果全部的服务台都有顾客正在接受 服务，则离开（损失制），或者是排队等待服务（等待制）.还有系统的有限性和无限性即 顾客源的有限或无限也是有差别的.（3）服务机构：相同的时刻有多少可以提供服务的设备可以为顾客提供服务，单个顾客的服务时间是多 少.2.2判断服务系统优劣的指标队长：服务系统总的顾客数，记其期望值为厶；排队长：服务系统中正在等待接收服务的顾客，记其期望值为；通常情况下厶或越 大，系统的服务质量越差，反之，则越好；逗留吋间：某一顾客在服务系统中总的停留吋间，记

13、其期望值为叱；等待吋间：指某一顾客在服务系统中排队过程所费总吋间；忙期：指从某一顾客到达空闲服务机构至该机构再次空闲的时间间隔长度，是服务质量 和強度的指标.用N（f）表示从初始吋刻（0时刻）到/吋刻（时间区间用（0,表示）到达服务台的顾客数，用化（G2）表示在时间区间GJ（Gzi）内共有个顾客到达服务台的概率，即：出 S2）=pn（/2）n（/J=“下面本文将通过泊松分布及泊松过程的有关定理探求代（f）的概率分布.首先引入泊松分布及泊松过程的有关定义和概念：定义2.1对于随机变量歹所有可能取值为0,1,2,3满足以下两个条件时；P（g = R）0.R= 0,1,2,3 （2） 务=1；则称这

14、个分布服从参数为久（20）泊松分布凶，记为X 兀（久）.泊松过程作为一种累计的随机事件发生次数的最基本的独立增量过程，排队问题中的计数过程/v（f）,ro需满足下面三个条件4:独立增量性：在没有重叠区间的时间间隔内到达服务系统的顾客数相互独立；平稳性：对充分小的A/,在吋间区间,/ + /）内有一个顾客到达的概率与f无关，而约 与成正比即：片（fj+ /） = /!/+ o（）（ 2为大于零的常数）普通性：对充分小的0 ,在吋间区间，,/ + /）内有2个或2个以上顾客到达的概率极小, 以至于可以忽略不计，即：工代（/,/ + /） = o（A/）/=2由上述条件（i）取20即从0吋刻算起，并

15、记为代0=代（0,/）；再由条件（ii） （iii）可得 在/,/+内无顾客到达的概率为：）（/,/ + /） = 1 - 久$ + 0（山）因为o, r + Ar） = o,r）+r,r + Ar）（即将o, / + ”拆分）由全概率公式有：代（/ + /）=代（汰-山）+ pn-i（少山 + o（X 1） 将 式两边同吋除以/（/（）可得：鶉必“）+%你心 （E（0）=0是初值条件）化（0） = 0当” =0吋可将式改写为：幣讹）.仇（0）=1其中儿（0）= 1的现实意义是/ = 0吋刻无人到达的概率为1对于初值问题，在分高出仇（/）的基础上，通过递推公式于是可得到:t 0, n= 0丄

16、23 它的数学期望为EN = At ,方差V4N（/） =加至此我们可以得出这样的结论：上面这种顾客到达的计数过程/V（r）是服从参数为力的 泊松分布.3排队论模型中的相关分布3.1时间间隔的分布当寻求某种服务的顾客流入服务系统的过程是一个参数为/I的泊松过程时，那么，两 个顾客相继到达的吋间间隔T服从参数为2的负指数分布国，并且两者是等价的.下面将 合肥师范学院20糾届本科生毕业论文(设计) 就此结论进行简单的证明. 设片(”为T的分布函数，那么：FT(t)=prt=1-巴(r)i -v+s)由分布函数求密度函数即对号(f)关于/求导，可得：V+S)由指数分布的性质可知其期望E(T)=丄，其

17、现实意义为，若来客的平均到达率为人，则他们 的平均到达吋间间隔为丄，二者的意义是互通的.A3.2服务时间的分布对于服务时间V的分布一般说来也服从负指数分布，推理过程与上面时间间隔的分布 类似，这里不再重述.下面只给出V的分布函数和它的密度函数.瑚)=1-严，M)*“其中为平均服务率，其现实意义是单位时间内能被服务完的来客数目.下面就泊松分布 在几种常见的排队论模型中的应用进行实例介绍.4具体模型4.1模型一： M/M/1/s/s (顾客源无限，系统容量不限)该模型的具体条件有：输入过程的顾客源是无限的，彼此间的到来独立不相关，到达 的顾客流服从泊松分布，并且到达的过程是平稳的.排队服从单队形规

18、则并且先到者优先 接受服务，对队伍长度没有限制，只有一个服务台，来客接受服务的时间相互独立且都服 从同一个负指数分布【】.下面就泊松分布的知识对该模型的相关指标进行计算.在顾客到达服从泊松分布(参数为2)且服务时间服从指数分布(参数为“)的前提, 可知在!/,/ + ”的时间区间内，有一个来客到达的概率为ASt + o(St),那么，它的对立事 件即没有一个来客到达的概率为1-久& +。($),同理，1个来客被服务完离开的概率为 “f + o(),其对立事件来客没有被服务完的概率为1-/込/ +。($),有两个或两个以上来 客到达或离开的概率为。(山).合肥师范学院20糾届本科生毕业论文（设计

19、） 再次运用全概率公式:化0 + &）=代X】一血 + 0（A/）X1 -如 + o（A/）+化（从山+。（4加血+ MB）+ 代+1 （di - 心 +。（山）X/血 +。（山）+ P-i+ o（4 ）X1 -/山 + 0（A/）+ 1）州-“严0Q由式可得化= 由概率的知识规定：化=1n=0于是,唸八占；匕= lpb=（l 一勿心心）式是系统状态为畀的概率，由此计算出的该模型的几个主要指标有:九顾客的平均数（扌非队长度的期望）：Ls= /-Ab.正在队列中等待的顾客数平均（队列长的期望）:A2（“ 一几）c.单个来客在服务系统中的停留吋间的平均值，即w服从参数为“*合肥师范学院20糾届本科

20、生毕业论文(设计) 的指数分布:d排队等待所费吋间的期望：巴=%针对运用泊松分布计算出的上排队论模型的各指标参数，下面将其运用到具体的生活 实例中4.2模型二：M /M/l/N/oo(系统容量有限)该模型与上一个比较，只是系统容量的不同，故上一模型的差分方程在当nvN时, 在此模型中仍适用，在这里只要考虑n = N的情况，仍然运用全概率公式得：/(/ + /) = PN(r)(i - /zAr + ?(Ar) -1 + PV_I (r)(zAr + o(Ar)(1 - /zAr+?(Ar) + o(Ar)求导可得:y v(0 =几 v_i (0 一(f)at得该模型的稳态条件下的差分方程为:P

21、= PP力+必_严(1 +刃样，=12,N -1)Pn= PPzN仍旧有工代=1,解方程组得: n=)(QH1)(7? N)由可得模型二的若干指标:九顾客的平均数(排队长度的期望):P(N + 1)严Tp _严(Db正在队列中等待的顾客数平均(队列长的期望):4=工(一1)化=匚-(1-&)/t=0C.单个来客在服务系统中的停留时间的平均值：此时，当系统人满(n = N)时，则到达率为0,故要求出有效的到达率正在被 服务的顾客的期望为：1-&=盒同n&=”(l_) = “l_ l_?+j=AP 匕务=2(1_弘)I 1-0 丿 1-P但是当系统容量无限吋有：厶=上一，W、=一 /-2“一兄di

22、*当服务系统容量为N吋，式仍旧成立.由此得：叱=亠=一&一& “(1 -d.排队等待所费吋间的期望：W厂叱.-丄针对运用泊松分布计算出的排队论模型二的各指标参数，下面将模型二的计莽指标再 次运用到具体的生活实例中，探究模型的实际应用功能.5具体实例分析例1到某一公共电话亭打电话的人可以认为是以泊松流到达，没人到达的时间的间 隔平均为10分钟，每次打电话从开始到结束的吋间为3分钟，求：该公共电话亭的平均排队的人数；每人等待吋间的期望值是多少；某人到达后必须排队等待的概率是多大？若电信公司在确定1人到达后至少等待的时间为3分钟的情况下，就会在相邻的地 方安装另一部电话机，试问，平均到达率上升到多少

23、吋电信公司会安装另一部电话？ 例题分析：由泊松分布的知识可知：平均服务率“ =-=0.33人/分钟平均到达率几= = 0.10人/分钟5 = “(“ _ 兄)=0.33(0.33 _ 0.10广 口 人;2 0.10220.102叫 _0.33(0.33_0.10)勺钟P = l-,=- = = 0.3;0“0.33(4)现在假设平均的到达率由0上升到入时，此时某人到达后至少需要等待3分钟, 这吋电信局需要在旁边安装另一部电话机.则，両為可解得入6.其中(4)的解对实际问题的指导意义，即每两个人到达的时间间隔为62时,0.16；安装另一部电话机可增加社会的经济效益.例2 针对合胆师范学院校园理

24、发店的案例分析：到达位于浴室旁边的校园理发店寻求理发服务的学生群可以认为是以泊松流到达，该 理发店内有六张座椅接待前来排队等待理发的学生，学生的大仗心理规则如下，当到达理 发店门口发现里面的6张座椅全都坐满吋，随即蔦去，到校外理发店寻求服务，经观察， 本校学生的平均到达率为3人/小吋，整个理发过称平均为15分钟/人.根据以上的观测信 息计算以下几个问题：某一学生已到达就能接受理发服务的概率；需要排队等待接受理发的学生人数的期望值；实际有效的的到达率为多少？某一学生在该理发店逗留的吋间的期望；求在可能到来的学生中有多少人不等待就选择离开？分析：由实际情况知该校园理发店的服务系统的嚴大顾客容量为N

25、 = 7,因为学生的到 来是一个泊松过程，由泊松分布的相关知识可得其参数为；平均到达率：2 = 3人/小时；平均服务率：“ =4人/小时.(1)该情况等价于校园理发店内没有顾客，故其概率为：合肥师范学院20枠届本科生毕业论文（设计）1-2仇= 0.2278；iQ4排队等待的期望值为:x =2.11,4,Lq=Ls一(1 一仇)=1.39.有效的到达率为：& = “（1 _ 乙）=4（1 一0.2778 ）=2.89 人/小时.(4)某个学生在该理发店内停留吋间的期望为：Ws= = =0.73 小时；入 2.89(5)这个问题等同于校园理发店巴有7个学生的概率,31-1-24/ 、82 Y7%；

26、以上的笫五个问题的现实意义就是本校理发店的损失率.例3针对某小区7月12月访客到达的数据（如表1所示）运用SPSS统计软件单样本IOS 检验方法检验，将得到的检验结果（见表2,3）结合前面分析的泊松分布的有关知识进行运 界，最终得出指导实际的参数指标.表1、某小区7月J2月的每日客流量合肥师范学院20枠届本科生毕业论文（设计） 7JJ8月9月10月11月12月19615023511917615021342201112632018031562518726021711241602681082461281415163248170207103221617122517312011314272182381

27、815573146864250220129510691132591363614620710852741017014223111116253127178138216121672271172311461501321119121121918712814235205205115218150151621891791422101311619523411519122414817239244120159225128182382791271791891341923223910123520412620230270113197175121212102721991581152352216521915019610122

28、92397224190197188148242312362012041871672522225316011711317126219254115117113902726922181149119211282701516691108216292382056220711097301642197018019010831135227204表2、单样本K-S检验One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test来客虽N183Most Extreme DifferencesMean172.37Absolute0.370Positive0.364Negjitive-0.370Kg( r()v-Smirn()v Z5.007Asymp. Sig. (2-tailcd)0.532由统计结呆得P = 0.5320.05故可认为该来客流量过程服从泊松分布，由描述性统计结果（表3）可知来客流量的均值为172,即2 = 172,结合前面分析的泊松分布在排队论模型中参数的知识计算得系统中来客的数学期望E（X）=184,方差（X）=6324，服务时间期望E