现代控制理论：第4章 稳定性与李雅普诺夫方法

1、第4章稳定性与李雅普诺夫方法现 代 控 制 理 论 本章结构第4章 稳定性与李雅普诺夫方法4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.2 李雅普诺夫第一法4.3 李雅普诺夫第二法4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用绪论4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义1 提出什么是稳定性？我们已经学习了那些稳定性判据,如何应用？ 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力;电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。稳定性的定义为：当系统受到外

2、界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题。对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据。在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,未研究

3、系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫稳定性定理。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义实际上 ,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：外部稳定性：

4、是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。经典控制理论讨论的确有界输入有界输出稳定即为外部稳定性 。内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性,即系统的内部状态稳定性。本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题

5、”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。百余年来,李雅普诺夫理论得到极大发展,在数学、力学、控制理论、机械工程等领域得到广泛应用。李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。由于不用解方程

6、就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且也能用来研究时变系统、非线性系统、离散时间系统、离散事件动态系统、逻辑动力学系统等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法

7、,并得到了进一步研究和发展。本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫第一法和第二法的理论及应用。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义本章需解决的问题:动态系统的状态稳定性理论-李雅普诺夫稳定性基本概念: 平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、不稳定性基本方法:李雅普诺夫第一法、李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法在线性定常系统的应用-李雅普诺夫方程的求解重点喔！重点与难点！4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义2 李雅普诺夫意义下稳定性定义 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。对于线性定常系

8、统，由于通常只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义2 李雅普诺夫意义下稳定性定义（1）平衡状态由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u = 0。此时设系统的状态方程为初始状态为x(t0) = x0。对于上述系统，若对所有的t，状态x满足 ，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点4.1

9、李雅普诺夫关于稳定性的定义（1）平衡状态4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义（1）平衡状态对于非线性系统，方程f ( xe,t) = 0的解可能有多个，即可能有多个平衡状态。如因此该系统有三个平衡状态4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义（2）范数的定义2 李雅普诺夫意义下稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用x表示，则向量（x xe）范数可写成通常又将x xe称为x与 xe的距离。当向量（x xe）的范数限定在某一范围之内时，则记为 x xe 0几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半径的一个球域，记为S( )。4.1

10、 李雅普诺夫关于稳定性的定义（3）李雅普诺夫意义下稳定性定义2 李雅普诺夫意义下稳定性定义第一种：稳定和一致稳定第二种：渐近稳定第三种：大范围渐近稳定第四种：不稳定4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义第一种：稳定和一致稳定定义: 对于系统 ，若对任意给定的实数 0，都对应存在另一个实数(, t0)0，使得一切满足x0 xe ( , t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足 x xe （t t0） 则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义第一种：稳定和一致稳定S( )x2x1S( )xxex04.1 李雅普诺夫关于

11、稳定性的定义第二种：渐近稳定定义: 对于系统 ，若对任意给定的实数 0，都对应存在另一个实数(, t0)0，使得一切满足x0 xe ( , t0)的任意初始状态x0所对应的解x，对于任意小量 0，总有 则称系统的平衡状态xe渐近稳定的。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义第二种：渐近稳定S( )x2x1S( )xxex0经典理论中的稳定就是这里所说的渐近稳定4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义第三种：大范围渐近稳定定义: 如果系统 对对整个状态空间中的任意初始状态x0的每一个解，当t，都收敛到xe，称系统的平衡状态xe大范围渐近稳定。 显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于xe，因此这

12、类系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的必要条件。对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范围渐近稳定的。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义第四种：不稳定定义: 对于系统 ，若对某个给定的实数 0和任意实数(, t0)0，不论这两个实数有多么小，在球域S( )内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将超超出球域，则称平衡状态是不稳定的。S( )x2x1S(

13、 )xex04.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 本章结构第4章 稳定性与李雅普诺夫方法4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.2 李雅普诺夫第一法4.3 李雅普诺夫第二法4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用绪论4.2 李雅普诺夫第一法1 基本原理 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。2 线性系统的稳定判据定理4.2-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实部，即 Re(i) 0。这样就可以根据

14、的定号性来判断系统的稳定性。显然，若v(x) 0，并且 0。若随系统的运动，能量在连续地减小，则 。当能量最终耗尽，此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以是渐近稳定的。几何意义x1x20c1c2x04.3 李雅普诺夫第二法 该定理给出地是渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理条件的v(x)，则系统一定是渐近稳定的。但如果找不到这样的v(x)，并不意味着系统是不稳定的。 该定理本身并没有指明v(x)的建立方法。一般情况下，v(x)不是唯一的。许多情况下，李雅普诺夫函数可以取为二次型函数，即v(x) = xTPx的形式，其中P阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但在一般情况下，v(x

15、)不一定都是这种简单的二次型的形式。 该定理对于线性系统、非线性系统、时变系统及定常系统都是适用的，是一个最基本的稳定性判别定理。4.3 李雅普诺夫第二法例4.3-2 设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性解：平衡点方程得解得唯一的平衡点为x1 = 0，x2 = 0，即xe = 0，为坐标原点4.3 李雅普诺夫第二法选取李氏函数为二次型函数，即 v(x) = x12 + x22显然v(x)是正定的。v(x)的一阶全导数为因此 是负定的。又当x时，有v(x) ，故由定理5-4，平衡点xe = 0是大范围渐近稳定的。 4.3 李雅普诺夫第二法（2）渐近稳定的判别定理二设系统的状态方程为其平衡状

16、态为xe = 0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件 v(x，t)是正定的， 是负半定的， 在x0时不恒等于零，则在平衡点xe = 0处是渐近稳定的。4.3 李雅普诺夫第二法 以二维状态空间，并且以v(x) = x12 + x22为例加以说明。 恒等于零，即v(x) = x12 + x22 C，表示系统的能量是个常数，不会再减小。另外又表示系统的状态x距原点的距离也是一个常数，不会再减小而趋向原点。显然，此时系统一定不是渐近稳定的。非线性系统中的极限环便属于这种情况。 不恒等于零，即只在某个时刻暂时为零，而其他时刻均为负值。这表示能量的衰减不会终止。另一方面也表

17、示状态x到原点的距离的平方也不会停留在某一定值v(x) = x12 + x22 = C上，其他时刻这个距离的变化率均为负值。因此状态x必然要趋向原点，所以系统一定是渐近稳定的。4.3 李雅普诺夫第二法例4.3-3 设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性解：v(x) = x12 + x22 0当 0时，x2 = 0， x1 = 0。 所以，当x1=任意值，x2 = 0时， =0，但不会恒等于零（只出现在某个时刻）。按照定理，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当x时，v(x)，故xe=0也是大范围渐近稳定的。4.3 李雅普诺夫第二法（3）稳定的判别定理一设系统的状态方程为其平衡状态为xe = 0

18、，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件 v(x，t)是正定的， 是负半定的， 在x0时不存在某一x值使 恒为零，则系统在平衡点xe = 0处是稳定的。4.3 李雅普诺夫第二法例4.3-4 设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即v(x) = x12 + x22 0可见， 在任意的x值上均保持为零。因此，系统在xe = 0处是稳定的，但不是渐近稳定的。4.3 李雅普诺夫第二法（4）不稳定的判别定理一设系统的状态方程为其平衡状态为xe = 0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且

19、满足条件 v(x，t)是正定的， 是正定的，则系统在平衡点处是不稳定的。4.3 李雅普诺夫第二法例4.3-5 设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即v(x) = x12 + x22 0系统在xe = 0处是不稳定的。4.3 李雅普诺夫第二法（5）不稳定的判别定理二设系统的状态方程为其平衡状态为xe = 0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件 v(x，t)是正定的， 是正半定的， 在x0时不恒等于零则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。4.3 李雅普诺夫第二法例4.3-6 设系统的状态方程为试确定

20、其平衡状态的稳定性解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即v(x) = x12 + x22 0当 0时，x2 = 0， x1 = 0。系统在xe = 0处是不稳定的。 本章结构第4章 稳定性与李雅普诺夫方法4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.2 李雅普诺夫第一法4.3 李雅普诺夫第二法4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用绪论4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用1 线性定常连续系统渐近稳定判据线性定常系统式中，x是n维状态矢量，A是nn常数阵，且是非奇异的。在平衡状态xe = 0处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，