新高考数学模拟卷分类汇编一期专题08《数列》（解析版）

1、专题08 数列1（2021辽宁实验中学高三模拟）设等差数列 SKIPIF 1 0 的公差为 SKIPIF 1 0 ，前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的充分条件是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 【答案】CD【分析】由 SKIPIF 1 0 ，因此等差数列从第2项开始均为正，所以 SKIPIF 1 0 ，再保证 SKIPIF 1 0 即可【解析】因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF

2、1 0 ，因此只要能得出数列从 SKIPIF 1 0 开始均为正的条件都符合题意，必然有 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，因此CD可得AB不可得出结论 SKIPIF 1 0 故选：CD2（2021湖北武汉市高三模拟）已知数列 SKIPIF 1 0 的前n项和为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则（ ）A SKIPIF 1 0 是等差数列B SKIPIF 1 0 不是等差数列C若 SKIPIF 1 0 是递增数列，则a的取值范围是 SKIPIF 1 0 D若 SKIPIF 1 0 是递增数列，则a的取值范围是 SKIPIF 1 0 【答案】BD【分析】利用等

3、差数列的前n项和为一元二次函数且没有常数项，可判断 SKIPIF 1 0 不是等差数列; 利用 SKIPIF 1 0 是递增数列 SKIPIF 1 0 对于 SKIPIF 1 0 恒成立，可解出 SKIPIF 1 0 的取值范围.【解析】对于AB:等差数列的前n项和为 SKIPIF 1 0 对应的函数为 SKIPIF 1 0 为一元二次函数且没有常数项,因为 SKIPIF 1 0 ，有常数项.所以 SKIPIF 1 0 不是等差数列.故B正确.对于CD: 因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .若 SKIPIF 1 0 是递增数列，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

4、 0 则 SKIPIF 1 0 .故D正确.故选：BD.3（2021山东济南市高三二模）已知数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则下列说法正确的是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 是等比数列C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】ABC【分析】由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可求出 SKIPIF 1 0 判断A，由 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 相比即可判断B，由等比数列通项公式即可判断C，D.【解析】因为 SKIPIF 1 0 ， SKI

5、PIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，综上可知，ABC正确，D错误.故选：ABC4（2021江苏盐城市高三三模）设数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则下列说法中正确的有（ ）A存在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKI

6、PIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 是等差数列B存在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 是等比数列C对任意 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 都有 SKIPIF 1 0 一定是等差数列或等比数列D存在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 既不是等差数列也不是等比数列【答案】ABD【分析】由等差数列的通项公式和求和公式代入判断A,由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，作差可判断BCD.【解析】对于A

7、：因为 SKIPIF 1 0 为等差数列，设公差为d，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， 即 SKIPIF 1 0 对任意正整数n都成立 所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 是等差数列对于B：由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 两式作差可得 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是等比数列，B正确；对于CD：当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0

8、 时， SKIPIF 1 0 是以 SKIPIF 1 0 为首项，2为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 既不是等差数列也不是等比数列.C不正确，D正确.故选：ABD5（2021辽宁沈阳市高三三模）已知无穷等差数列 SKIPIF 1 0 的公差 SKIPIF 1 0 为其前 SKIPIF 1 0 项和，且 SKIPIF 1 0 是数列 SKIPIF 1 0 中的三项，则下列关于数列 SKIPIF 1 0 的选项中，正确的有（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C数列 SKIPIF 1 0 为单调递增数列D

9、SKIPIF 1 0 一定是数列 SKIPIF 1 0 中的项【答案】AD【分析】确定公差 SKIPIF 1 0 的可能值，可举例说明ABC是否正确根据通项公式判断D【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 是6和18的公约数 SKIPIF 1 0 或6A正确；若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ，B错；若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，显然有 SKIPIF 1 0 ，C错；因SKIPIF 1 0 （ S

10、KIPIF 1 0 ），所以D正确故选：AD6（2021湖南长沙市高三模拟）一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，24层为八角鼓腹锥顶状，56层呈葫芦状，712层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，108则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（ ）一百零八塔全景A第5行，呈葫芦状B第6行，呈葫芦状C第7行，呈宝瓶状D第8行，呈宝瓶状【答案】C【分析】根据题意算出佛塔依山势自上而

11、下前6行的总数，然后确定编号为26的佛塔所在层数和塔体形状即可.【解析】因为 SKIPIF 1 0 ，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状故选：C7（2021辽宁高三模拟）已知等差数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】D【分析】根据前 SKIPIF 1 0 项和的性质，结合等差数列的性质、等差数列的前 SKIPIF 1 0 项和公式进行求解即可.【解析】由 SKIPIF 1 0

12、 ，得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故选：D8（2021湖南衡阳市高三二模）在等差数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，则此等差数列的前9项之和为（ ）A5B27C45D90【答案】C【分析】根据已知求得 SKIPIF 1 0 ，由此求得 SKIPIF 1 0 .【解析】依题意 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .故选：C9（2021山东泰安市高三模拟）已知等差数列 SKIPIF 1 0 的前n项和为 SKIPIF 1

13、0 ，公差为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 取最小值时，n的值为（ ）A7B8C9D10【答案】B【分析】利用裂项相消法可求得 SKIPIF 1 0 ，进而可求出 SKIPIF 1 0 ，根据 SKIPIF 1 0 的单调性可求出最小值.【解析】 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （舍去），即 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，数列单调递减，当 SKIPIF 1 0 时，数列单调递增，当 SKIPIF

14、1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，故当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取最小值故选：B10（2021河北唐山市高三三模）若数列 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）证明： SKIPIF 1 0 ；（2）求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）根据题设的交叉递推关系可得 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ，故可证明 SKIPIF 1

15、 0 .（2）利用（1）的结果可得 SKIPIF 1 0 ，从而可得数列 SKIPIF 1 0 是首项为2，公比也为2的等比数列，故可求 SKIPIF 1 0 的通项公式，从而可求 SKIPIF 1 0 的通项公式.【解析】（1） SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ，(nN*)， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，也满足 SKIPIF 1 0 ，对任意的nN*，都有 SKIPIF 1 0 （2）将 SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 ，

16、得 SKIPIF 1 0 ，进而 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，数列 SKIPIF 1 0 是首项为2，公比也为2的等比数列， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 11（2021湖北武汉市高三三模）已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）求 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）设 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF

17、 1 0 .【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【分析】（1）先由题中条件，求出 SKIPIF 1 0 ；再由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，两式作差整理，得到 SKIPIF 1 0 是等差数列，求出公差，进而可得通项公式；（2）由（1）得到 SKIPIF 1 0 ，再由裂项相消的方法，即可求出结果.【解析】（1）当 SKIPIF 1 0 时，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 .又 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 .由 SKIPIF 1 0 ，可知 SKIPIF 1 0

18、，两式相减，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 是首项为1，公差为3的等差数列，所以 SKIPIF 1 0 .（2）因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .12（2021江苏南京市高三三模）已知等差数列 SKIPIF 1 0 满足： SKIPIF 1 0 成等差数列，且 SKIPIF 1 0 成等比数列.（1）求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）在任意相邻两项 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 之间插入 SKIP

19、IF 1 0 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列 SKIPIF 1 0 .记 SKIPIF 1 0 为数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和，求满足 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 的最大值.【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2）211【分析】（1）根据等差等比数列的定义求得等差数列 SKIPIF 1 0 的公差和首项，写出通项公式；（2）在任意相邻两项 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 之间插入 SKIPIF 1 0 个2，则 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 之间的2的总和为 SKIPIF 1 0 ，可以计算当

20、 SKIPIF 1 0 恰取到 SKIPIF 1 0 后的第 SKIPIF 1 0 个项时的 SKIPIF 1 0 ，求得 SKIPIF 1 0 对应的最大n值即可.【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 0 的公差为d，由题知， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 .（2）在任意相邻两项 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 之间插入 SKIPIF 1 0 个2，则 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 之间的2的总和为 SKIPIF 1 0 ，又由（1）易知等差数列是单增数列，故数列 SKIPI

21、F 1 0 的前n项和是单增的，则求满足 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 的最大值即找到使 SKIPIF 1 0 接近500的n值即可.当 SKIPIF 1 0 恰取到 SKIPIF 1 0 后的第 SKIPIF 1 0 个项时， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，易知 SKIPIF 1 0 单增，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，则当 SKIPIF 1 0 时，去掉50个2即可得到 SKIPIF 1 0 的

22、SKIPIF 1 0 的最大值，即 SKIPIF 1 0 .13（2021山东临沂市高三二模）已知正项数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，数列 SKIPIF 1 0 为等比数列，满足 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求证：数列 SKIPIF 1 0 为等差数列；（2）若从数列 SKIPIF 1 0 中去掉数列 SKIPIF 1 0 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）由递推公

23、式，将 SKIPIF 1 0 换成 SKIPIF 1 0 ，与原式作差，化简，求出 SKIPIF 1 0 ，结合等差数列的定义可证明.（2）先求出 SKIPIF 1 0 的通项公式，求出数列 SKIPIF 1 0 的前100项中，与 SKIPIF 1 0 重合的项，然后再求和即可.【解析】（1）证明： SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1

24、 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 适合上式，所以数列 SKIPIF 1 0 是首项为2，公差为2的等差数列（2）由（1）可知 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 的公比为 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKI

25、PIF 1 0 SKIPIF 1 0 14（2021山东济宁市高三二模）已知数列 SKIPIF 1 0 是正项等比数列，满足 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的等差中项， SKIPIF 1 0 （1）求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】（1）设等比数列 SKIPIF 1 0 的公比为 SKIPIF 1 0 ，根据已知条件求出

26、SKIPIF 1 0 的值，结合 SKIPIF 1 0 求出 SKIPIF 1 0 的值，进而可求得等比数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）解法一：求得 SKIPIF 1 0 ，分 SKIPIF 1 0 为偶数、奇数两种情况讨论，利用并项求和法可求得 SKIPIF 1 0 ；解法二：利用错位相减法可求得 SKIPIF 1 0 .【解析】（1）设等比数列 SKIPIF 1 0 的公比为 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的等差中项，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0

27、，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，因为数列 SKIPIF 1 0 是正项等比数列，所以 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ；（2）解法一：（分奇偶、并项求和）由（1）可知， SKIPIF 1 0 ，所以， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 为偶数， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 为奇数，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIP

28、IF 1 0 适合上式，综上得 SKIPIF 1 0 （或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ）；解法二：（错位相减法）由（1）可知， SKIPIF 1 0 ，所以， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 15（2021湖南长沙市高三模拟）已知等比数列 SKIPIF 1 0 的各项均为正数， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 成等差数列，且 SKIPIF 1 0 （1）求数列

29、 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）设 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ），求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 的最值【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2）答案不唯一，具体见解析【分析】（1）由已知条件可得出关于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的方程组，解出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的值，进而可得出数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）求得 SKIPIF 1 0 ，求出 SKIPIF 1 0 的表达式，分 SKIPIF 1 0 、 SKIP

30、IF 1 0 两种情况讨论，利用二次函数的基本性质可求得 SKIPIF 1 0 的最值.【解析】（1）设等比数列 SKIPIF 1 0 公比为 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 是首项为 SKIPIF 1 0 ，公差为 SKIPIF 1 0 的等差数列所以， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 没有最大值；当 SKIPIF 1 0 时， SKIP

31、IF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 没有最小值16（2021湖北武汉市高三模拟）等比数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 ；（2）设 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前n项和 SKIPIF 1 0 【答案】（1） SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）基本量代换，列方程求出公比q，求出通项公式；（2）先判断 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 ，这与 SKIPIF 1 0 矛盾，应舍去，从

32、而判断 SKIPIF 1 0 求出 SKIPIF 1 0 ，利用裂项相消法求和.【解析】（1）设 SKIPIF 1 0 公比为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 （2）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，这与 SKIPIF 1 0 矛盾 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

33、 0 17（2021江苏扬州市高三模拟）已知等差数列 SKIPIF 1 0 和等比数列 SKIPIF 1 0 满足： SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是等比数列 SKIPIF 1 0 的连续三项.（1）求数列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）设 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前10项和 SKIPIF 1 0 .【答案】（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【分析】（1）先设公差d，利用已知条件求出d，得到数列 SK

34、IPIF 1 0 的通项公式，再求 SKIPIF 1 0 ，写出 SKIPIF 1 0 的通项公式即可；（2）先代入公式，结合对数运算法则展开 SKIPIF 1 0 ，再进行分组求和，并项化简即可.【解析】（1）设 SKIPIF 1 0 公差为 SKIPIF 1 0 ，由题意知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 不为零，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，化简即 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，不符合题意，

35、故 SKIPIF 1 0 ，经检验 SKIPIF 1 0 符合题意， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 公比 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .18（2021浙江温州市高三模拟）已知正项数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，且点 SKIPIF 1 0 在函数 SKIPIF 1 0 的图像上（1）求

36、SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）设 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 【答案】（1） SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）通过因式分解可得 SKIPIF 1 0 ，由累乘法可得 SKIPIF 1 0 的通项公式，由等比数列的通项公式可得结果；（2）设 SKIPIF 1 0 ，题意即求数列 SKIPIF 1 0 的前n项和，利用错位相减法求和即可.【解析】（1）由已知，得 SKIPIF 1 0 ，因为数列 SKIPIF 1 0 是

37、正项数列，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，累乘得， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 也满足上式故 SKIPIF 1 0 的通项 SKIPIF 1 0 由己知，得 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 即为数列 SKIPIF 1 0 的前n项和，设为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 两式相减得： S

38、KIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .【点睛】关键点点睛：（1）根据递推式的特征利用累乘法求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）将数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和转化为 SKIPIF 1 0 的前n项和，利用错位相减法求和是解题的关键.19（2021天津高三三模）已知数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 成等比数列.（1）求 SKIPIF 1 0 的值和

39、SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）设 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 .【答案】（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 。【分析】（1）由递推关系，结合等比中项的性质可得 SKIPIF 1 0 ，根据已知条件求 SKIPIF 1 0 ，进而分别讨论n为奇数或偶数时的通项公式即可.（2）由（1）写出 SKIPIF 1 0 通项，将其奇偶项并项得 SKIPIF 1 0 ，最后应用错位相减法求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1

40、 0 .【解析】（1）由题设知： SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即可得 SKIPIF 1 0 ，当n为奇数时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，当n为偶数时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，综上， SKIPIF

41、1 0 .（2）由（1）知： SKIPIF 1 0 ，数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 .【点睛】关键点点睛：第二问，由于数列 SKIPIF 1 0 奇偶项的通项公式不同，由奇偶并项，将其转化为 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 数列的前n项和.20（2021辽宁沈阳市高三三模）已知等差数列 SKIPIF 1 0 和等比数列 SKIPIF 1 0 满足， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

42、 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）求 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）若数列 SKIPIF 1 0 中去掉数列 SKIPIF 1 0 的项后，余下的项按原来的顺序组成数列 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的值【答案】（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 0 的公差为 SKIPIF 1 0 ，等比数列 SKIPIF 1 0 的公比为 SKIPIF 1 0 ，根据已知条件可得出关于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF

43、1 0 的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）求出数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项，利用等差数列和等比数列的求和公式可求得 SKIPIF 1 0 的值.【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 0 的公差为 SKIPIF 1 0 ，等比数列 SKIPIF 1 0 的公比为 SKIPIF 1 0 ，由已知 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2）由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可得

44、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .21（2021浙江宁波市镇海中学高三模拟）已知数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）设 SKIPIF 1 0 ，求使不等式 SKIPIF 1 0 对一切 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1

45、0 均成立的最大整数 SKIPIF 1 0 【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）根据递推公式求出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的值，猜想出数列 SKIPIF 1 0 的通项公式，然后利用数学归纳法证明即可；（2）令 SKIPIF 1 0 ，分析可知 SKIPIF 1 0 对任意的 SKIPIF 1 0 恒成立，分析数列 SKIPIF 1 0 的单调性，求出数列 SKIPIF 1 0 的最小项的值，由此可得出整数 SKIPIF 1 0 的最大值.【解析】（1）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF

46、 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 .猜想：当 SKIPIF 1 0 ，下面利用数学归纳法证明： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .假设当 SKIPIF 1 0 时，猜想成立，即 SKIPIF 1 0 ，那么， SKIPIF 1 0 ，由数学归纳法可知，对任意的 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2）由（1）可得 SKIPIF 1 0 ，因为不等式 SKIPIF 1 0 对一切 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 恒成立，可得 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF

47、1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 0 为单调递增数列， SKIPIF 1 0 ，所以， SKIPIF 1 0 ，因此，整数 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 .22（2021湖北黄冈市黄冈中学高三三模）已知数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 .（1）求证：数列 SKIPIF 1 0 是常数数列；（2）令 SKIPIF 1 0 为数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和，求使得 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为 SKIPIF 1 0 .【

48、分析】（1）将递推关系式变形为 SKIPIF 1 0 即可证明；（2）先求出数列 SKIPIF 1 0 的通项公式，再分奇偶讨论求 SKIPIF 1 0 ，然后解不等式即可.【解析】（1）由 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 是常数数列；（2）由（1）知： SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 为偶数时， SKIPIF 1 0 ，显然 SKIPIF 1 0 无解；当 SKIPIF 1 0 为奇数时， SKIPI

49、F 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，结合 SKIPIF 1 0 为奇数得： SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 23（2021江苏南通市高三三模）已知数列 SKIPIF 1 0 的前n项和为 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 （1）求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前n项和 SKIPIF 1 0 【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）根据递推

50、关系可得当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，再与原式相减得到 SKIPIF 1 0 ，求得奇数项和偶数项的通项公式，再进行整合，即可得到答案；（2）利用裂项相消法进行求和；【解析】（1）由 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 显然 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的奇数项与偶数项各自成等差数列， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 24（2021江苏盐城市高三三模）请在 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0

51、 这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题（选择多个条件并分别证明的按前1个评分）.命题：已知数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，若 ，则当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立.【答案】选，证明见解析【分析】选，由 SKIPIF 1 0 两边同时取对数即可求解 SKIPIF 1 0 ，只需证明当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 利用作差法即可证明结果【解析】选.证明：由 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1

52、0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，只需证明 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 成立.综上所述，当 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 成立.注：选为假命题，不得分，选参照给分.25（2021辽宁高三模拟）已知数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 .（1）求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）设 SKIPIF 1 0 ，数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0

53、 项和为 SKIPIF 1 0 ，求证： SKIPIF 1 0 【答案】(1) SKIPIF 1 0 ；(2)证明见解析.【分析】(1)从给定的递推公式出发，即可探讨出数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；(2)先求出数列 SKIPIF 1 0 的通项，再求它的前n项和 SKIPIF 1 0 ，最后用裂项相消法求数列 SKIPIF 1 0 的前n项即可得解.【解析】数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，两式相除得 SKIPIF 1 0 ，n=1时，a1=4满足上式，所以数列 SKIPIF 1 0 的通项公式是 SKIP

54、IF 1 0 ；(2)由(1)知 SKIPIF 1 0 ，而有 SKIPIF 1 0 ，即数列 SKIPIF 1 0 是等差数列， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 成立.26（2021浙江省杭州第二中学高三模拟）在已知确定的 SKIPIF 1 0 内部进行以下操作：第1次取1个点 SKIPIF 1 0 ，连接 SKIPIF 1 0 得到 SKIPIF 1 0 个三角形；第2次在得到的 SKIPIF 1 0 个三角形中选2个，在其内部各取1个点分别为 SKIPIF 1 0 ，连接它们所在区域的三角形的

55、三个顶点把 SKIPIF 1 0 划分总共得到 SKIPIF 1 0 个不同的三角形；第3次在得到的 SKIPIF 1 0 个三角形中选3个，在其内部各取1个点分别为 SKIPIF 1 0 ，连接它们所在区域的三角形的三个顶点把 SKIPIF 1 0 划分总共得到 SKIPIF 1 0 个不同的三角形；，第 SKIPIF 1 0 次在得到的 SKIPIF 1 0 个三角形中选 SKIPIF 1 0 个，在其内部各取1个点分别为 SKIPIF 1 0 ，连接它们所在区域的三角形的三个顶点把 SKIPIF 1 0 划分总共得到 SKIPIF 1 0 个不同的三角形.（）求数列 SKIPIF 1 0

56、 的通项公式；（）构造数列 SKIPIF 1 0 ，求证： SKIPIF 1 0 .【答案】（） SKIPIF 1 0 ；（）证明见解析.【分析】（）根据图形归纳出递推关系，利用累加法求解通项公式；（）根据放缩法及裂项相消求和后即可求证不等式成立.【解析】（） SKIPIF 1 0 ，一个三角形内部取一个点，并连接三个顶点之后可以得到3个三角形，也就是在原来的基础上多了2个三角形, SKIPIF 1 0 累加可得 SKIPIF 1 0 （） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .27（2021山东泰安市高三模拟）已知等比

57、数列 SKIPIF 1 0 的前n项和为 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的公比q；（2）对于 SKIPIF 1 0 ，不等式 SKIPIF 1 0 恒成立，求实数t的最大值【答案】（1）2；（2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）由已知建立关系即可求出公比；（2）化简可得不等式等价于 SKIPIF 1 0 ，利用 SKIPIF 1 0 的单调性可求出 SKIPIF 1 0 最小值，即可得出.【解析】（1）由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPI

58、F 1 0 ，由题意得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （2）由（1）得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 递增，所以 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ，故实数 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 28（2021江苏南通市高三三模）已知函数 SK

59、IPIF 1 0 （1）证明：两函数图像有且只有一个公共点；（2）证明： SKIPIF 1 0 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）构造函数 SKIPIF 1 0 ，求导判断函数的单调性，证明函数只有一个零点；（2）由（1）得当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，利用上述不等式放缩，利用裂项相消求和即可得证.【解析】（1）令 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，注意到 SKIPIF

60、 1 0 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递减；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递增； SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时等号成立， SKIPIF 1 0 两函数图像有且只有一个公共点（2）由（1）知 SKIPIF 1 0 对任意的 SKIPIF 1 0 恒成立 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，得证.29（2021浙江高三模拟）已知数列 SKIPIF 1 0