三角形培优训练题集锦

1、三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思

2、维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。1、已

3、知，如图ABC中,AB=5AC=3求中线AD的取值范围.2、如图，ABC中,E、F分别在ABAC上，DEIDF,D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3、如图，ABC中,4、以ABC的两边BD=DC=ACE是DC的中点，求证:AB、AC为腰分别向外作等腰一RtAE和等腰RtACE，5、6、7、如图，已知在厶ABC内,BAC600,C400,P,Q分别在BCCA上，并且APABQ分别是BAC,ABC的角平分线。求证：BQ+AQ二AB+BP8、如图，在四边形ABCD中,BCBA,AD=CDBD平分ABC,B证：AC18009、如图在ABC中,ABAC/1=/2,P为AD上任意一点，求证;AB-A

4、CC求QPB-PCBADCAE90,连接deMN分别是BCDE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.如图当ABC为直角三角形时，探究：AM!DE勺位置关系和数量关系；将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0Pa.12、已知：ABCWAADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BCDA=DE联结EQ取EC的中点M联结BMWDM(1)如图1,如果点DE分别在边ACAB上,那么BMDM的数量关系与位置关系是；B将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.13、如图，已知在厶ABC中，/B=60,ABC的角平线AD,CE相交于点Q求证：OE=

5、OD14、如图，ABC中,AD平分/BACDGLBC且平分BCDEIAB于E,DFLAC于F.(1)说明BE二CF的理由；(2)如果AB=a,AC中，求AE、BE的长.15、如图，QP是/MQ的平分线，请你利用该图形画一对以QP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：如图，在ABC中，/ACB是直角，/B=60,ADCE分别是/BAC/BCA勺平分线，ADCE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；如图，在ABC中，如果/ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。16、

6、正方形ABCQ,E为BC上的一点,CD上的一点，BE+DF=EF求/EAF的度D17、PACD为等腰RABC斜边AB的中点，图)MLDN,DM,Dr分别交BCCA于点E,F。BEA0DC1200,(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF(2)若AB=2求四边形DECF的面积。18、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且F以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M交AC于点N,连接MN求AMNN的周长。19、已知四边形ABCD中，ABAD,BCCD,ABBC,ZABC120o,ZMBN60o,/MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.当

7、/MBN绕B点旋转到AECF时(如图1),易证AECFEF.当/MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.20、已知PA=?,PB=4,以AB为方形A(1)如图斜/APB=45时,求AB及PD的长;D两点落在直线AB的两侧.立/APB的大小.(2)当/APB变化,且其它条件不变时，求PD的最大值，及21、在等(图人吐的两边ABA图所2在直线上分别有两点MN,D为VABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC探究：当MN分别在直线ABAC上移动时，BMNGMN之

8、间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.图1图2图3(I)如图1,当点MN边ABAC上，且DM二DI时，BMNCMN之间的数量关系是；此时Q;L(II)如图2,点MN边ABAC上，且当DMDN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III)如图3,当MN分别在边ABCA的延长线上时，若AN=x，则Q=(用x、L表示).BN平分/CBE求证：MD=MN24、如图2-7-3,ABC中，/ABC=ZC,/BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD二AC当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：厶ADQACEBDE=AD+BE当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求

9、证：DE=AD-BE当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DEADBE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。28、已知：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A,且60o角的顶点E在BC上滑动，(点E不与B、C重合)，斜边和/ACM勺平分线CF交于点F如图(1)当点E在BC边中点位置时猜想AE与EF满足的数量关系是。连结点E与AE边得中点N,猜想EE和CF满足的数量关系是请证明你的上述猜想如图(2)当点E在EC边得任意位置时：此时AE和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？29、已知AC平分/MANZMAN=120p(1)在图(1)中，若ZABC

10、ZADC=90o求证：AB+AD二A。（2）在图（2）中，若/MAN=120p/ABC吃ADC=180p贝卩（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？30、如图1,在厶ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM丄直线a于点M,CN丄直线a于点N，连接PM、PN.（1）延长MP交CN于点E（如图2）,求证：BPMCPE:求证：PMPN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变.此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由;（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请

11、直接判断PMPN还成立吗？不必说明理由.(2),将如图1,31、(1)汨正方形ABCD的边CD在正方形DEFG系，并证明你的DEFG绕点D按顺与GC有怎样的位a,连接AE,GC.转，使点E落在BC边上，如图2,连接AE和GC尔认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理题图2由.题图1题图332、已知等边厶ABC和点P,设点P到厶ABC三边ABAGBC的距离分别为h、h2、h3,ABC的高为h“若点P在一边BC上（如图1）,此时h3=0,可得结论m+hz+d=h”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在厶ABC内（如图2）、点P在厶ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论

12、是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立,h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证33、在RtP34、如图，製O是线段%D的中点,F分别以ABO和DO为边在线ABCE是角平分线,咼AD相交于F,作FG/BC交ABFrE谊的同侧作等边三角形0A厨口等边三角形OCD连结AC和BD相交于点E,连结BC.(2)若厶OAB固定不动,OAO反OCD勺形状和大OOCD不能重A叠)，求/AB小不变，将厶(1)求/AEB的大小;OCD绕着点DECD,连结BE、AD，若BCAC、AEB的大小.35、如图，图1等腰ABC与等腰DEC共点于C，且BCAECDC.求证：BEAD；若将等腰DEC绕点C旋转至图

13、2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？(请你用图2加以证明)36、如图1,RtABC中，ABAC，点D、E是线段AC上两动点，且ADEC,APBD于P，交BC于点Q，直线BD交直线QE于F.判断DEF的形状，并说明理由.如图2,若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，判断DEF的形状，并说明理由37、如图1,在等腰直角ABC中，ACB90,O为AB的中点，P为AB上一动点，D在BC上，且满足PCPD,DEAB于E.求证：PODE如图2,点D在BC的延长线上，其他条件不变，中的结论是否成立？在图3中画出当点P在BA延长线上的情况，并给出相应的证明；还有什么样的情况？在图

14、4中画出图形，给出证明.38、已知，如下图，/BAC=ZBCA,BD=CD,CE=AB,求证：AE=2AD39、如图，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D,使得厶CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMr是等边三角形。40、如图，在ABC中，点DE在边BC上，/CA&ZB,E是CD的中点，且AD平分/BAE（1）当/BA（=90时，求证：BD=ACAC于当/BAO90时，是否还有BD=AC成立?若成立，请说明理由；若不能，也说明理由。41、已知：如图，ABC中，ABC45,CDE,(1)(2)(3)求证：BFAC；与CD相交于点F,H

15、是BC边的中点，连结DH与BE相交于点AG.求证：CE1bf；CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.42、如图（1）,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转.（1）如图（2）,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM,FN的长度，猜想BM,FN满足的数量关系，并证明你的猜想;（2）若三角尺GEF旋转到如图（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还AB43

16、、,ACDF,A点Q为的边BC上（线DQ交一图3重合),且BACEDF180,成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（1）猜想BPD与FDB的关系，并加以证明;图1图2（2）当def绕点D旋转，其他条件不变，中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）44、如左图，RtABC中，C90，ACBC,个直角三角板的直角顶点放在AB的中点O处，绕O点旋转，两直角边分别交AC于E，交BC于F.（1）求证：OEOF，CEBF（2）如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交AC延长线于E，交BC延长线于F.中的结论是否正确？说明理由

17、.45、如图，线段AB，点P在AB的下方，若PAPB，在的AB上方作AAAP，且AAAP，作BBPB，且BBPB，连接AB，取AB的中点O,连接AOB，试判断AOB的形状并证明。若PA与PB不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。46、如图1,等腰直角AOB与等腰直角COD有公共顶点O，点C、O、B在同一条直线上，判断AC与BD的关系并加以证明.腰直角B不在的关系如图2,等腰直角AOB与等COD有公共顶点O，点C、O、同一条直线上.判断AC与BD并加以证明.47、如图，AOB与COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD.AC与BD交于点P.判断AC与BD的数量关系并加以证明.分

18、EBC交想HE与猜想CPB与AOB的关系并加以证明.48、如图，在ABC中，BE是AC边上的中线,AC于F，APBF于P，分别交BE、BC于H、CG的数量关系并证明.49、如图1,锐角ABC中，ABAC,CD/AB,P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ，使得APQBAC.猜想线段AP与PQ的数量关系并证明；如图2,若将“锐角ABC”改为“钝角ABC”，其他条件不变，中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若血不正代厂A确，请你说明理由/、厶CD/AB，P为边BC上一点,50、如图，ABC中，ABAC，(3)将厶ADE绕点A逆时针旋转任意角度件不变，线段MDMB的关系，并加以证明

19、后，其他条CD上一点，且满足PQPA请你在图中找出满足条件/J的点Q，并探究APQ与BAC的关系.J51、如图所示，D在AC上,ABCADE是等腰直角三角形，M是EC中点。(1)探究：线段MDMB勺关系，并加以证明；e(2)把厶ADE绕点A逆时针旋转135,其他条件变，画出相应的图形，上述结论是否成立?52、如图(1),已知正方形ABC在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN勺上方作正方形AEFG(1)连接GD求证：ADQAABE说明理由;(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCDC(2)连接FC观察并猜测/FCN勺度数,为矩形ABCDAE=a,BG=b（a、

20、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C）,以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时，/FCN勺大小是否总保持变53、在厶ABC中，/B=60,ADCE分别是/BAC/BCA的平分线，ADCE相交于点F,请你判别并写出FE与FD之间的数量关系；并证明你的结论.54、如图，四边形ABC兎正方形，G是BC上任意一点（点G与BC不重合），AELDG于E,CF/AE交DG于F.请你经过观察、猜测线段FCAEEF之间是否存在一定的数量关系？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由.D分别向ABAC引垂线，垂55、如图，在KBC中,AB=ACD

21、是BC上任意一点，过足分别为E、F点.过C点作AB边上的高CG请问DEDFCG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明.56、已知线段AC上有一动点B,分别以ABBC为边向线段的同一侧作等边三角形ABDHABCE连接AECD（如图），若MN分别为AECD的中点.EA=90.（1）求证：AM二C；（2）求/MBN勺大小；3DAC求证：AM、BM57、已知在MBC中，BC=2AB/B=2ZC,求证：/58、如图，AD是AABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证：AC=BF。59、如图，已知AABCAD是BC边上的中线，分别以AB边、边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2A

22、D60、如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD+BC,M是CD的中点,分别平分/DAB和/CBA。的中连接度数。61、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC和AB点，DE与CF交与M点，连接AM求证：AM=AD62、(1)如图，B、C、E三点共线，且ABC与ADCE是等边三角形，BD、AE分别交AC、DC于M、N点，且AE、BD交于P点，求/APB的如果(1)题中的B、C、E三点不共线，其他条件不变，如上右图所示，求/APB的度数。如果(1)题中AABC与ADCE都是等腰直角三角形时，其他条件不变，如下图所示，求/APB的度数。如果AACB与ADCE都是以a为顶角度数的等腰三角形

23、时，其他条件不变，如上右图所示，求直线AE与直线BD夹角的度数。63、在厶ABC中,ABAC点D是直线BCt点(不与B、C重合)，以AD边在AD的右.侧.作厶ADE使ADAEDAEBAC连接CE如图1,当点D在线段BCt,如果BAC90贝SBCE度；设BAC,BCE.如图2,当点D在线段BC上移动，贝S,之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，贝U,之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.64、正方形ABCD的边长为6,点0是对角线AC、点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CF丄BE,接OF，求OF的长.65、(1)如图，在边长为2的菱形ABCD中，是AD边的中点，N是A

24、B边上的一动点，将厶AMN直线翻折得到AMN，连接AC,求AC长度的(2)如图，在四边形ABCD中，AD=4,CD=3,BD的交点，垂足为F,连/A=60M沿MN所在最小值。备用图备用图/ABC=/ACB=/ADC=45，求BD的长.66、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1,AABO和厶CD%为等腰直角三角形，AOBCOD90.若BOC的面积为1，试求以ADBCOC+ODJ长度为三边长的三角形的面积./V、a图2明是这样思考的：要解决这/题，首先应想办法移动这些计算其面积即可.他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到EcB的线段，构造一个三角形，再使得OE=CO连接BE可证

25、OBE3AOAD从而得到的BCE即是以ADBCOC+OD的长度为三边长的三角形(如图2).请你回答：图2中厶BCE的面积等于.ECHI迹)；长度为问题:G外作正方形FFHID的长请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列如图3,已知ABC分别以ABACBC为边向dABDEAGFCBCH,连接EGFHID.(1)在图3中利用图形变换画出并指明以EG度为三边长的一个三角形(保留画图痕(2)若厶ABC的面积为1,则以EGFHID的三边长的三角形的面积等于.67、已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中,CHLAB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,AC边上一点E满足/EDA/A,直线DE交直线CH于

26、点F.求证：BF/AQ若AC边的中点为M求证：DF2EM；当AB=BC时(如图2),在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论.68、在厶ABC中，BABC,BAC,M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ。若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；在图2中，点P不与点B,M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小(用含的代数式表示)，并加以证明；对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线B

27、M交于点D，且PQQD，请直接写出的范围。且CE=CD,69、已知：如图，ABC中AB=ACCDLABfB求证：/BAC=/DCBDM丄BC,垂足为M。求证：M是BE的中点。70、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点,71、已知：如图，ABC为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD连接CEDE求证：CE=DE.72、如图，ABC为等边三角形，且四边形ADFE的面积和厶BFC的面积相等，求/DFB的度数。FE由.PC=3C73、已知如图，在厶ABC中,/ACB=90,ADLAB,且AD二ABDCAFLACBEAF交于点F。求证：CF是/ACB勺角平分

28、线。74、如图，在ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高,BC的中点，DMEF于M.求证：FMEM.75、如图，点C在线段AB上,AD/EB,AC二BEAD=BC分/DCE试探索CF与DE的位置关系，并说明理PB=276、(1)已知：P为正方形ABC内一点，且PA=1,(2)已知：P为等边ABC内一点，且PA=3PB=4PC=5求/APB勺度数。求/APB勺度数。三角形BE百BD=CE,/数.点，以BCEBF,且/EBF=90，连结AF。(1)求证：AF=CE且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，求厶BEQ(3)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点,周长的最小值。如图，已

29、知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、若厶ABE是等边三角形，求的值。77、如图，ABC中，AB=AC,D、E、F分别为AB,BC,CA上的点，DEF=/B(1)求证：BDECEF;(2)若/A=40,求/EDF的度78、如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形内一为斜边作直角三角形BCE又以BE为直角边作等腰直角D(2)(3)求证：AF/EB若AB=53,匹厘，求点E到BC的距离53CE379、(1)已知：如图，在AOB和厶COD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=/COD=60C求证：AC=BD;/APB=60度;(2)如图，在AOB和厶COD中，若OA=O

30、B,OC=OD,/AOB=/COD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为_；ZAPB的大小为_;(3)如图，在AOB和厶COD中，若OA=k?OB,OC=k?OD(k1),ZAOB=ZCOD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为;ZAPB的大小为_O80、如图，正方形ABCD勺边CD在正方形ECGF的边CE上，BC、G三点在一条直线上，且边长分别为2和3,在BG上截取G12,连结ARPF.观察猜想AP与PF之间的大小关系，并说图中是否存在通过旋转、平移、反射等变相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过存在，请说明理由.EF明理由换能够互程；若不(3)若把这个图形沿着PAPF剪成三块，请你把它们拼成

31、一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积81、如图，ABCWAADE都是等边三角形，连结BDCE交点记为点F.(1)BD与CE相等吗？请说明理由.(2)你能求出BD与CE的夹角ZBFC的度数吗?(3)若将已知条件改为：四边形ABCDf四边形AEF宙是点记为点M(如图).请直接写出线段BE和DG之间的关系？82、正方形四边条边都相等，四个角都是90。.如图,上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以EBAE为边DAAD幻f连结BEDG交FBCD在直线MN的E直线MN的上方作正方形AEFG(1)如图1,当点E在线段BC上(不与点BC重合)时:判断ADGWABE是否全等，并

32、说明理由;过点F作FHLMN垂足为点H,观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系,说明理由；(2)如图2,当点E在射线CN上(不与点C重合)时：判断ADGWAABE是否全等，不需说明理由；过点F作FH丄MN垂足为点H,已知GD=4,求厶CFH的面积.GG83、如图所示，在亠十-ABC中，ADBC于点D,B2C证:ABBDAAD=D84、如图矩形ABCD中折叠，当点85、BP86、BFADE的长ECHNDB2AB=7，点E为DC上一个动点D落在/ABC的角平分线上时，求沿AE已知:bD1、CC是aBc的高，点P在B、的延长线上AC,点Q在Ce上，CQ如图，在矩形ABCD中，FD.AB，求证：APAQ；APAQ.E为CB延长线上一点且ACCE,F为AE的中点.求证:87、(1)如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，/EAF=45延长CD到点G,使DG=BE,连结EF,AG.求证：EF=FG.(2)如图，等腰直角三角形ABC中