新高考数学模拟卷分类汇编四期专题15《函数与导数》解答题(解析版)

1、专题15 函数与导数解答题1（2021河北衡水中学高三月考）已知：（1）若在上单调递增，求实数m的取值范围；（2）若，试分析，的根的个数.【答案】（1）（2）无实根【解析】（1）由于在上递增得：在上恒成立，即在上恒成立令，则，故在上递减，于是，故；（2），故在上递增，又，故唯一，使得在上递减，在上递增.故且故，令，则故在上递减当时，由递减知，故，即，从而有在上恒成立.故时，无实根.2（2021河北唐山市第十中学高三期中）若（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若，且有两个极值点，证明【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）当时，令，或，当时，函数在上单调递增，在上单调递减在上单调递

2、增；当时，故函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减在单调递增；（2）证明：当时，函数有两个极值点，方程有两个根，且，解得，由题意得，令，则，在上单调递减，3（2021福建宁德一中高三期中）已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）证明：当时，.【答案】（1）当时，；当时，；当时，.（2）见详解【解析】（1）由，得，令，得，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增.当，即时，函数在上单调递减，因此；当时，函数在上单调递增，因此；当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，因此.综上所述，当时，；当时，；当时，.（2）证明：设，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故恒成立.要

3、证，只需证，因为，所以，故只需证（因时，左边小于右边，所以可以带等号），即.令，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故.因此当时，.4（2021福建省龙岩第一中学高三月考）设函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）若有两个零点，求的取值范围，并证明：.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增（2）证明见解析【解析】（1）由，可得，.当时，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在单调递减，在单调递增；（2）证明：（2）因为函数有两个零点，由（1）得，此时的递增区间为，递减区间为，有极小值. 所以，可得.所以. 由（1）可得的极小值点为，则不妨设.设， 可得，

4、所以在上单调递增，所以，即，则，所以当时，且.因为当时，单调递增，所以，即.设，则，则，即.所以，所以.设，则，所以在上单调递减，所以，所以，即综上，.5（2021福建省福州外国语学校高三月考）已知函数，aR（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的方程（2）若曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）当时，曲线y=f（x）在点(0，f(0)处的切线的方程为.（2）由得，当时，函数在R上单调递增，此时，所以当时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；当时，令得，单调递增，单调递减，当时，函数有极大值，若曲线y=f（x）与

5、x轴有且只有一个交点，则，解得，综上所述，当或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点.6（2021福建三明一中高三月考）已知函数，其中为奇函数，为偶函数（1）求与的解析式；（2）当时，有解，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为， 所以，又因为为奇函数，为偶函数，所以，所以， 联立得，解得（2）有解，即有解，令，设，则，因为，且在上为单调递增函数，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故实数的取值范围为7（2021辽宁实验中学高三期中）已知函数.（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.若恒

6、成立，求的取值范围.若仅有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）选择时，；选择时，【解析】（1）定义域为，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，单调递减，当时，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）选择若恒成立，若恒成立，即，整理为，即设函数，则上式为：因为恒成立，所以单调递增，所以所以，令，.，当时，当时，故在处取得极大值，故1，解得：故当时，恒成立.选择若仅有两个零点，即有两个根，整理为，即设函数，则上式为：因为恒成立，所以单调递增，所以=所以只需有两个根，令，.，当时，当时，故在处取得极大值，要想有两个根，只需

7、，解得：，所以的取值范围为8（2021山东德州一中高三期中）已知函数是奇函数.（1）若，求的取值范围；（2）若的解集为，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）是奇函数，则，即，即，则，得，解得：或，当时，此时无意义，不符合题意；当时，是奇函数，符合题意；所以，若，则，即，解得：，所以时，的取值范围为.（2）由于，解得：，所以的定义域为，若，即，得，变形得，即，则可得方程的两根分别为和，由题可知的解集为，即方程的两个根为和，所以得，解得：，所以.9（2021山东师范大学附中高三月考）设函数，其中为实数.（1）若在处的切线方程为，求实数的值；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证

8、明你的结论.【答案】（1）（2）2，答案见解析【解析】（1）由题，因为切线方程为，即切线斜率为，.（2）由题在上恒成立，在上恒成立，由得，令，则的零点个数等价于和的交点个数，则，当时，递增，当时，递减，时，最大值为，又时，；时，据此作出的大致图象，由图知：当或时，的零点有1个；当时，的零点有2个.10（2021山东师范大学附中高三月考）已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若是以为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以所以，可得.由得.因为，所以，解得：.由可得：，所以的取值范围为（2）当时，有，当时，因此.11（2021湖北石首市第一中学高三

9、月考）已知函数且.（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）求满足f（x）的实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）当时x的取值范围是；当时x的取值范围是【解析】（1）根据题意，则有，解可得，则函数的定义域为，又由，则是奇函数；（2）由得当时，解得；当时，解得；当时x的取值范围是；当时x的取值范围是12（2021湖北武汉二中高三期中）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数的零点个数.【答案】（1）答案见解析（2）两个【解析】（1）函数的定义域为，当时，当且仅当时，在单调递增；当时，或，在，单调递增，在单调递减；当时，或，在，单调递增，在单调递减；综上所述：当时，在单调递增；

10、当时，在，单调递增，在单调递减；当时，在，单调递增，在单调递减；（2），设，所以在单调递增，当时，当时，在单调递减，在单调递增，设， ，在单调递减，在成立，在单调递减，在单调递增， ，取，设，取，设， ，在定义域内有两个零点.13（2021湖南长郡中学高三月考）已知函数，（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，在上恒成立即在上恒成立令，则，所以在上单调递增于是，所以（2）当时，设公切线在上的切点为，则切线方程为：设公切线在上的切点为，则切线方程为：，又，令又在上单调递减，而，满足，

11、即，在区间上单调递增，在区间上单调递减，14（2021湖南永州一中高三月考）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有三个极值点、.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：为定值.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】（1）当时，该函数的定义域为，且，当时，此时，当时，此时，所以，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）（i）因为，该函数的定义域为，则，令，则函数在上有三个零点、.，且.当时，对任意的，此时函数在上单调递增，又因为，此时函数有且只要一个零点，不合乎题意；当时，设，则.若，即当时，对任意的，且不恒为零.此时函数在上单调

12、递减，又因为，此时函数有且只有一个零点，不合乎题意；若，即当时，令，可得，当或时，当时，此时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.因为，所以，当时，当时，此时，函数在、上各有一个零点，又因为，故函数有三个零点，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是；（ii）由（i）可知，当时，则，因为，则，因为，从而，因为函数在上有且只有一个零点，则，故，因此，.15（2021广东深圳福田中学高三月考）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）由已知定义域为，当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，

13、在上单调递增.所以时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，不满足对任意的恒成立.所以综上所述：.16（2021广东肇庆一中模拟）已知函数.（1）若成立，求的值；（2）若有两个不同的零点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由得：，即；令，则；当时，在上单调递减，又时，不合题意；当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，有唯

14、一解：；综上所述：.（2）由题意得：，则，由（1）知：，若有两个零点，则；则当时，不妨设，要证，只需证，即证；，即证；，即证，即证，令，则，只需证，即，令，则，当时，在上单调递增，在上单调递增，即，原不等式得证.17（2021江苏海安高级中学高三月考）已知函数，（1）若在处取极值，求k的值；（2）若有两个零点，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，函数，可得，因为在处取极值，可得，解得，由时，可得当时，单调递增；当时，单调递减，因此在处取极大值，满足题意（2）由题意，函数有两个零点，即，所以，可得要证，即证，即证，即证，不妨设，记，则，即证，即证，令，可得，因此在上单调递增，所以，即结论成立18（2021重庆八中高三月考）已知.（1）当时，求证：函数在上单调递增；（2）若只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）当时，所以在上单调递增，