现代控制理论 大连海事大学

1、第九章线性系统的状态(zhungti)空间分析与综合共三百七十四页绪论9.1 线性系统的状态空间描述(mio sh)9.2 线性系统的可控性与可观测性9.3 线性定常系统的线性变换9.4 线性定常系统的反馈结构与状态观测器9.5 李雅普诺夫稳定性分析Outline共三百七十四页 绪论(xln)控制理论发展(fzhn)概况控制论：1948年 美国数学家维纳控制论19401950 经典控制理论 单机自动化19601970 现代控制理论 机组自动化19701980 大系统理论 控制管理综合19801990 智能控制理论 智能自动化199021c 集成控制理论 网络控制自动化共三百七十四页1788年，

2、英国Wate利用反馈原理发明蒸汽机用的离心调速机。1875年，1895年，英国Routh和德国Hurwitz先后提出判别系统稳定性的代数方法。1892年，俄国李雅普诺夫在论运动稳定性的一般问题中建立了动力学系统的一般稳定性理论。1932年，Nyquist提出了根据频率响应判断(pndun)系统稳定性的准则。1945年，美国Bode在网络分析和反馈放大器设计中提出频率响应分析法Bode图。共三百七十四页1948年，美国(mi u)Wiener在控制论关于在动物和机器中控制和通信的科学中系统地论述了控制理论的一般原理和方法。 标志控制学科的诞生 控制论：研究动物（包括人类）和机器内部控制和通信的一

3、般规律的学科。1954年，钱学森的工程控制论在美国出版。 奠定了工程控制论的基础共三百七十四页（1）经典控制理论 a.特点研究对象：单输入、单输出线性定常系统。解决方法：频率法、根轨迹法、传递函数。非线性系统：相平面法和描述函数分析(fnx)。数学工具：拉氏变换、常微分方程。 b.局限性难以应用于时变系统、多变量系统。难以揭示系统更为深刻的特性。共三百七十四页(2)现代控制理论 随着计算机技术、航空航天技术的迅速发展而发展起来的。 a.特点研究(ynji)对象：多输入、多输出系统，线性、定常或时变、离散系统。解决方法：状态空间法（时域方法）。数学工具：线性代数、微分方程。 b.主要标志1965

4、年，R.Bellman提出了寻求最优控制的动态规划方法。共三百七十四页1958年，R.E.Kalman采用状态空间法分析系统，提出能控性、能观性、Kalman滤波概念1961年，庞特里亚金证明了最优控制中的极大值原理。（3）大系统理论(lln) 是指规模庞大、结构复杂、变量众多的信息与控制系统，如生产过程、交通运输、生物工程、社会经济和空间技术等复杂系统。共三百七十四页复杂系统的特点：（1）动力学模型的不确定性（2）测量信息的粗糙性和不完整性（3）动态行为或扰动(rodng)的随机性（4）离散层次和连续层次的混杂性（5）系统动力学的高度复杂性（6）状态变量的高维性和分布性（7）各系统间的强耦合

5、性共三百七十四页大系统结构分为三类： 多级（递阶）控制(kngzh) 多层控制（按任务） 多段控制（如导弹轨迹控制）公司(n s)工厂车间决策、协调、计划、组织、管理计算机实现生产调度，过程控制的最优化调节装置协调控制级递阶控制级局部控制级共三百七十四页（4）智能控制 是具有某些仿人智能的工程控制与信息处理系统，如智能机器人。 利用知识进行学习(xux)、推理与联想，对环境干扰与不确定因素具有鲁棒性。 主要内容： 模糊控制 神经网络控制 专家控制、遗传算法共三百七十四页(5) 控制理论发展趋势企业：资源共享、因特网、信息集成 信息技术+控制技术 集成控制技术网络控制技术 计算机集成制造(zhz

6、o)CIMS：（工厂自动化） Computer Integrated Manufacturing System应用：生物控制、经济控制、社会控制等共三百七十四页 现代控制理论的主要特点研究对象：线性系统、非线性系统、时变系统、多变量系统、连续与离散系统数学上：状态(zhungti)空间法方法上：研究系统输入/输出特性和内部性能内容上：线性系统理论、系统辨识、最优控制、自适应控制等共三百七十四页现代控制理论基本内容控制理论必须回答的三个问题：（1）系统能否被控制？可控性有多大？（2）如何(rh)克服系统结构的不确定性及干扰带来 的影响？（3）如何实现满足要求的控制策略？共三百七十四页（1）线性系

7、统理论 研究线性系统在输入作用下状态运动过程规律，揭示系统的结构性质、动态行为之间的关系。主要内容(nirng)： 状态空间描述、能控性、能观性和稳定性、状态反馈、状态观测器设计等。共三百七十四页（2）最优控制在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能指标最佳的控制规律。主要方法：变分法、极大值原理、动态规划等极大值原理 现代控制理论的核心即：使系统(xtng)的性能指标达到最优（最小或最大）某一性能指标最优：如时间最短或燃料消耗最小等。共三百七十四页（3）自适应控制 在控制系统(xtng)中，控制器能自动适应内外部参数、外部环境变化，自动调整控制作用，使系统(xtng)达到一定意义下的最优。

8、 a. 模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control) b. 自校正自适应控制 （Self-Turning Adaptive Control) 共三百七十四页（4）系统辨识 建立系统动态模型的方法： 根据系统的输入输出的试验数据，从一类给定的模型中确定一个被研究系统本质特征等价(dngji)的模型，并确定其模型的结构和参数。（5）最佳滤波理论（最佳估计器） 当系统中存在随机干扰和环境噪声时，其综合必须应用概率和统计方法进行。即：已知系统数学模型，通过输入输出数据的测量，利用统计方法对系统状态估计。Kalman滤波器共三百七十四页9.1 线性系统的状态(z

9、hungti)空间描述共三百七十四页1 线性系统的数学描述系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述 传递函数 系统的内部(nib)描述 状态空间描述1）.输入、输出描述共三百七十四页System共三百七十四页2）.松弛(sn ch)性:若系统的输出 由输入 唯一确定,则称系统在 是松弛的。 算子，在 不存储能量： 瞬时系统 无记忆系统共三百七十四页对 时刻松弛的系统：对初始(ch sh)松弛的系统：3）.因果性:若系统在t时刻的输出仅取决于在t时刻之前输入，而与t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。 对具有因果性的松弛系统：共三百七十四页4）.线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入 及任意

10、常数 ,均有(可加性), (齐次性),则该系统称为线性的，否则为非线性。5）.定常性（时不变性）:(1)定义: -位移(wiy)算子共三百七十四页共三百七十四页(2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数 , 均有则称系统是定常的。2 状态空间(kngjin)的基本概念1).状态:表征系统运动的信息和行为。2).状态变量：完全表征系统运动状态的最小 一组变量。3).状态向量：共三百七十四页4).状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间.5).状态方程： 6).输出方程(fngchng)：7).状态空间表达式(动态方程)：A，B，C，D 共三百七十四页线性时变(sh bin)系统线

11、性定常系统(xtng)线性定常离散系统共三百七十四页8). 线性系统结构图共三百七十四页State trajectory共三百七十四页3.状态空间表达式的建立例：求图示机械系统的状态空间表达式外力(wil) 位移 牛顿(ni dn)力学定律令-弹性系数阻尼系数共三百七十四页动态(dngti)方程如下共三百七十四页状态(zhungti)空间表达式为： 共三百七十四页解：以 作为中间变量(binling)，列写该回路的微分方程 1） 选 例： 求图示RLC回路的状态(zhungti)空间表达式共三百七十四页 为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵向量(xingling)的形式为： 共三百七十四页

12、令 为状态(zhungti)向量则：共三百七十四页2）设状态变量3）设状态变量共三百七十四页共三百七十四页可见，系统(xtng)的状态空间不具有唯一性。选取不同的状态变量就会有不同的状态空间表达式，但都描述了同一系统。描述同一系统的不同状态空间表达式存在线性变换关系。例如：设共三百七十四页4 线性定常连续(linx)系统的状态空间表达式微分方程、传递函数、结构图求 A，B，C，Da. 由系统微分方程建立状态空间表达式1）系统输入量中不含导数项共三百七十四页选取：状态(zhungti)空间表达式：共三百七十四页共三百七十四页共三百七十四页u0bnx&S1nxS11-nx2xS11xy1-na2-

13、na1a0a共三百七十四页例： 设 求（A，B，C，D）解：选 共三百七十四页 状态(zhungti)空间表达式为共三百七十四页2）系统输入量中含有导数项 如果单输入单输出系统的微分方程(wi fn fn chn)为： 一般输入量中导数项的次数小于或等于系统 的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导 数项，可以选择如下的一组状态变量。 设 ，选取：共三百七十四页 共三百七十四页 共三百七十四页共三百七十四页将 代入 得：共三百七十四页共三百七十四页共三百七十四页 选择(xunz) ，使得上式中u的各阶导数项的系数都等于0，即可解得：共三百七十四页 令上式中u的系数为 ，则： 最后(zuhu)可

14、得系统的状态方程： 共三百七十四页 可写成向量(xingling)-矩阵的形式： 即：共三百七十四页共三百七十四页当 时，可令 得到所需要(xyo)的结果。也可按教材P408所示选取变量，取得可观测标准型。共三百七十四页 状态变量结构图nx&unx1nh-S1S1nh1-nx2x&1hS1S11x0hy1-na2-na1a0a共三百七十四页例： 试写出它的状态(zhungti)空间表达式。 解： 则：共三百七十四页 状态(zhungti)空间表达式为共三百七十四页 共三百七十四页 b.传递函数化为状态空间表达式设单输入(shr)/输出系统的传递函数： 共三百七十四页 严格(yng)真分式传函

15、前馈系数上式中的系数用长除法得到：共三百七十四页（1） 串联(chunlin)分解的形式共三百七十四页 选取(xunq)状态变量共三百七十四页则状态方程为：共三百七十四页输出(shch)方程为：写成向量-矩阵形式为：共三百七十四页共三百七十四页这样(zhyng)的A阵又称友矩阵，若状态方程中的A，b具有这种形式，则称为可控标准型。当 时，A，b不变。系统A，b，C，D称为G（s）的可控标准形实现。共三百七十四页unx&nx1-nx2x&1xS1S1S11-na2-na1a0anb共三百七十四页当 时，若按教材(jioci)P408式（9-26）选取变量，则系统的A，b，c矩阵为具有A,c形式(

16、xngsh)为可观测标准型。友矩阵的转置共三百七十四页可控标准型与可观测(gunc)标准型的对偶关系：C-ControllableO-ObservableT-Transpose共三百七十四页例：试求的可控标准(biozhn)形。 解：该系统传递函数：共三百七十四页 串联(chunlin)分解并引入中间变量令共三百七十四页则：可控标准型状态变量图共三百七十四页可观(kgun)标准形可观测(gunc)标准型状态变量图共三百七十四页 并联分解（对角标准形）把传递函数展开成部分分式求取状态(zhungti)空间表达式 只含单实极点， 设 可分解为：其中 为系统的单实极点则：共三百七十四页 其中(qzh

17、ng)： 为极点 的留数共三百七十四页 a. 选取状态变量:将上式整理，并进行(jnxng)拉氏变换，可得状态方程再将 代入 ：展开：共三百七十四页 共三百七十四页 共三百七十四页 特点(tdin)： 传函极点 全1 对应极点的留数 b. 选取状态变量:共三百七十四页共三百七十四页共三百七十四页 状态变量图（并联结构(jigu)） 对角标准形 (a)共三百七十四页 对角(du jio)标准形 (b)共三百七十四页3. 含重实极点 为了简单起见，设g(s)只有(zhyu)r重极点，则传递函数的部分式展开式为：共三百七十四页 其中(qzhng)共三百七十四页选取(xunq)状态变量的拉氏变换为：共

18、三百七十四页共三百七十四页 共三百七十四页共三百七十四页 共三百七十四页化为状态变量的一阶微分方程(wi fn fn chn)，则有共三百七十四页.共三百七十四页输入(shr)方程共三百七十四页约当块共三百七十四页共三百七十四页状态变量图共三百七十四页例：设系统传递函数为：试求其状态空间表达式。解：分母 三重(sn zhn)极点用部分分式为：共三百七十四页 2s共三百七十四页状态(zhungti)空间表达式共三百七十四页5. 线性定常连续(linx)系统状态方程的解a.齐次状态方程的解 幂级数法 设 的解是 的向量幂级数式子中， 都是 维向量，则共三百七十四页且 ，故其中(qzhng)：共三百

19、七十四页 矩阵指数函数(zh sh hn sh)，简称矩阵指数。状态转移矩阵，记为： 拉普拉斯变换法：共三百七十四页b.状态转移(zhuny)矩阵的特性 且有共三百七十四页 共三百七十四页若 为 的状态转移(zhuny)矩阵，则引入非奇异矩阵 后的状态转移(zhuny)矩阵为共三百七十四页即A为对角阵，且具有互异(h y)元素共三百七十四页例：已知求解：共三百七十四页 共三百七十四页拉氏变换(binhun)法例：已知求解：共三百七十四页 共三百七十四页c. 非齐次状态方程 的解 积分法设 有积分(jfn)可得共三百七十四页同理，选 为初始(ch sh)时刻， 拉氏变换共三百七十四页利用(lyn

20、g)拉氏变换卷积定理 则共三百七十四页6.传递函数矩阵 定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关系(gun x) 传递函数矩阵（简称传递矩阵） 表达式：设动态方程令初始条件为零，求拉氏变换式：共三百七十四页则系统传递(chund)矩阵表达式为：其展开式共三百七十四页（3）开环与闭环传递函数偏差(pinch)向量至反馈向量之间的传递矩阵 为开环传递矩阵共三百七十四页闭环传递(chund)矩阵偏差传递(chund)矩阵共三百七十四页（4）解耦系统(xtng)的传递矩阵耦合系统(xtng)耦合控制解耦系统解耦控制对角矩阵维数相同共三百七十四页条件(tiojin)：

21、不得为零，即解耦系统的对角化传递矩阵必须非奇异的。解耦方法(fngf)：1）用串联补偿器 实现解耦闭环传递矩阵共三百七十四页以 左乘上式两端，经整理得为所期望的对角(du jio)阵，在 为对角(du jio)阵的条件下：2）用前馈补偿器 实现解耦原系统的闭环传递(chund)矩阵共三百七十四页闭环传递(chund)矩阵为所期望(qwng)的对角阵例：见教材P424 例9-11（自学）（4）传递函数矩阵的实现（自学）给定一传递函数矩阵 ，若有系统(A,B,C,D)能使成立，则称系统(A,B,C,D)是 的一个实现。共三百七十四页7. 离散系统状态空间(kngjin)表达式的建立及其解（1）由差

22、分方程(fngchng)建立动态方程(fngchng)初始条件为零时脉冲传递函数共三百七十四页串联分解，引入中间变量 则有设则共三百七十四页利用z反变换(binhun)关系共三百七十四页简记(jin j)友矩阵可控标准型共三百七十四页定常多输入(shr)多输出离散系统共三百七十四页（2）定常连续动态方程(fngchng)的离散化令于是(ysh)其解化为记共三百七十四页令离散(lsn)化系统其中(qzhng)（3）定常离散动态方程的解递推法z变换法（参阅有关书籍）共三百七十四页离散化状态方程的解，又称离散化转态转移(zhuny)方程共三百七十四页离散化系统(xtng)状态转移矩阵共三百七十四页研

23、究系统的目的:更好地了解系统和控制系统.含义1: 控制作用: 对状态变量的支配 能控性. 系统输出能否(nn fu)反映状态变量 能观性.含义2: 能控性:能否找到使任意初态 确定终态 能观性:能否由输出量的测量值 各状态 9-2 线性系统的可控性和可观测(gunc)性共三百七十四页多变系统两个基本问题:在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移(zhuny)到要求的状态?在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态?简单地说:如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控(状态能控). 如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完

24、全反映,则称系统是状态能观测的.共三百七十四页例1: 给定系统的状态空间描述:解:展开 表明:状态变量 , 都可通过选择输入u而由始点 终点完全能控. 输出y只能(zh nn)反映状态变量 ,所以 不能观测. 共三百七十四页例2:取 和 作为状态变量,u输入(shr), y= -输出.(1)当状态(zhungti)可控，可观测(2)当u只能控制，不可控，不可观测u(t)CR3LiLucR1R2R4共三百七十四页1线性系统能控性和能观性的概念(ginin)含义：能控性：u(t) x(t) 状态方程能观性：y(t) x(t) 输出(shch)方程共三百七十四页定义：设若存在一分段连续控制向量u(t

25、)，能在内将系统从任意(rny)状态 转移到任意终态，则该系统完全能控说明：任意初态 (状态空间中任一点),零终态 能控零初态任意终态能达共三百七十四页2. 定理(dngl)1共三百七十四页例：判断(pndun)能控性共三百七十四页解：rank =23,不能控共三百七十四页对于：行数列数的情况下求秩时： rank =rank定理2：若，若为对角型，则状态(zhungti)完全能控的充要条件为：中没有任意一行的元素全为零共三百七十四页共三百七十四页例：线性系统的状态方程为其中(qzhng)：试判断该系统的能控性共三百七十四页解：如果rank =2, 则必须(bx)要求共三百七十四页定理3：设，若

26、为约当型，则状态(zhungti)完全能控的充要条件是：对应的每一个约当块的最后一行相应的阵中所有的行元素不全为零共三百七十四页例：设系统的状态方程为其中(qzhng)：试判断系统的能控性共三百七十四页解：而b1是任意(rny)值，且rank =2则该系统能控共三百七十四页5.当特征值为 , ， ， 且 ，则可以经过(jnggu) 将A化为约当型. 如下: 共三百七十四页共三百七十四页且共三百七十四页由 的最后一行(yxng)组成的矩阵：共三百七十四页例：设，已知共三百七十四页共三百七十四页行线性无关(wgun)不全为零能控共三百七十四页线性变换后系统(xtng)的能控性不变设令则：其中：共三

27、百七十四页系统(xtng)的能控性不变共三百七十四页定理4：设如果系统能控，则则必存在(cnzi)一个非奇异变换可将状态方程化为能控标准型：共三百七十四页其中(qzhng)：共三百七十四页且：共三百七十四页证明(zhngmng)：(由 推得 )共三百七十四页共三百七十四页共三百七十四页共三百七十四页例：求能控标准型共三百七十四页解： rank Sc=2 能控共三百七十四页则共三百七十四页2线性离散系统的能控性定义(dngy)：设线性定常离散系统的状态方程: 其中共三百七十四页若存在控制向量序列(xli)能在有限时间内，将系统 第从k步的X(k)转移到至第n步的x(n)=0，则称系统在第k步上是

28、能控的如果每个k系统的所有状态能控，则称系统为完全能控共三百七十四页定理(dngl)：设则系统完全能控的充要条件： rankSc=n其中： 共三百七十四页证明(zhngmng)：(以单输入为例)设假设：共三百七十四页这里(zhl)x(0)是任意的共三百七十四页为满秩矩阵(j zhn)可求出u(0),u(1), u(n-1)共三百七十四页例： 判断(pndun)系统的能控性共三百七十四页解：该系统(xtng)能控共三百七十四页例：判断能控性能否(nn fu)存在 对任意x(0) x(1)=0？共三百七十四页解：rank Sc=3因此该系统能控所以(suy)一定可使任意x(0) x(3)=0共三百

29、七十四页共三百七十四页但不能对任意(rny)x(0) x(1)=0共三百七十四页4 线性定常系统(xtng)的输出能控性 在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须(bx)研究系统的输出是否能控.设: 定义:在 上,任意解出u(t),输出能控共三百七十四页定理：系统输出(shch)完全能控的充要条件：共三百七十四页例：判断系统(xtng)是否输出能控解：rankCB CAB D=rank1 -2 0=1=q 输出能控rankSc=rankb Ab=10，则称 V(x) 在 域内是正半定的。共三百七十四页 二次型：判定二次型正定性(dng xng)的赛尔维斯特(Syl

30、vester) 准则：P又称为正定(zhn dn)矩阵。 二次型V(x)为正定的充要条件是：矩阵P的所有主子行列式为正，即： 若P是奇异矩阵，并且它的所有主子行列式为非负的，那么 是正半定的对称矩阵，共三百七十四页当P的各顺序主子(zh zi)行列式负、正相间时，即则V(x)负定，称P为负定矩阵(j zhn)。若主子行列式含有等于零的情况，则V(x)为正半定或负半定。不属于以上情况的V(x)不定。共三百七十四页例 证明下面(xi mian)的二次型是正定的:运用(ynyng)Sylvester准则:解: 二次型 可改写为:是正定的.共三百七十四页稳定性定理： 设系统状态方程： 其平衡状态满足

31、，假定状态空间原点作为(zuwi)平衡状态( )，并设在原点邻域存在 对 x 的连续的一阶偏导数。共三百七十四页定理(dngl)1：若(1) 正定； (2) 负定； 则原点是渐进稳定的。 说明： 负定 能量随时间连续单调衰减。定理2：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态不恒为零，则原点是渐进稳定的。共三百七十四页说明：不存在 ， 经历能量等于(dngy)恒定，但不维持在该状态。 定理3：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。 共三百七十四页说明： 系统维持等能量水平运动(yndng)，使 维持在非零状态而不运行至原

32、点。定理4：若(1) 正定； (2) 正定 则原点是不稳定的。说明： 正定 能量函数随时间增大， 在 处发散。共三百七十四页 线性系统不稳定 非线性系统不一定推论1：当 正定(zhn dn)， 正半定，且 在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。推论2： 正定， 正半定，若 ， ，则原点是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。原点不稳定(wndng)共三百七十四页几点说明： 选取不唯一，但没有通用办法， 选取不当，会导致 不定的结果。这仅仅是充分条件。 -单调衰减(shui jin)(实际上是衰减(shui jin)振荡)共三百七十四页李氏第二法的步骤：构造一个 二次型；求 ，并代入状态方程；判断(p

33、ndun) 的定号性；判断非零情况下， 是否为零。渐进(jinjn)稳定李氏稳定不稳定共三百七十四页令 若 成立 李氏意义(yy)下稳定 若仅 成立 渐进稳定 共三百七十四页例：已知非线性系统(xtng)的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：令原点是唯一(wi y)平衡点共三百七十四页 设则负定原点是渐进(jinjn)稳定的；只有一个平衡状态，该系统是大范围渐进(jinjn)稳定；由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进稳定。定理1共三百七十四页几何(j h)意义：等能量轨迹(整个(zhngg)平面)共三百七十四页例：试判断下列(xili)线性系统平衡状态的稳定性。令即原点是平衡(pnghng)状态。解：选当共三百七十四页则：其它(qt)非零状态负半定令只有(zhyu)全零解非零状态时原点 是渐进稳定，且是大范围一致渐进稳定。定理2设共三百七十四页例：试判断