静定结构位移计算

1、1第5章 静定结构位移计算 2主要内容5-3 力的虚设方法 5-2 支座移动产生的位移计算5-1 概述5-4 制造误差产生的位移计算 5-5 温度作用时的计算 5-7 图乘法 5-6 荷载作用下的位移计算 5-8 线性变形体系的互等定理3a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础；c）建筑起拱。 -t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差不产生内力和变形,产生刚体移动a）荷载作用；2、产生位移的主要原因：1、计算位移目的：举例l5-1 概述 4位移是几何量，自然可用几何法来求，但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。5-1 概述 3）计算所

2、采用的理论虚功原理 虚功力在由其它原因产生的位移上所做的功。 其中： 虚功 虚功原理刚体虚功原理变形体虚功原理Fp1Fp2121122AB125如屋架在竖向荷载(自重）作用下，下弦各结点产生虚线所示位移。将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。建筑起拱返回5-1 概述 65-1 概述 刚体虚功原理： 所有外力所做的虚功等于零，即： 虚功原理 虚力原理 虚位移原理 虚力原理位移是真的，力是虚设的。用虚设力的 办法来求真实的位移。 虚位移原理力是真的，位移是虚设的。用虚设位 移的办法来求真实的力。 变形体虚功原理：所有外力做的虚功=所有内力

3、做的虚功，即： 7PXP 1 虚功原理的应用1）虚设位移求未知力（虚位移原理）2）虚设力求位移（虚力原理）abACBFPFX1)、需设位移求静定结构的未知力X =1，P=b/a5-1 概述 8虚设位移求未知力（虚位移原理）1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可以随意虚设，如设X=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平衡问题。 作出机构可能发生的刚体虚位移图； 应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤：1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度的机构， 使原来的约束力X变成主动力。2）沿X方向虚设单位虚

4、位移。利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。3）建立虚功方程，求未知力。5-1 概述 9a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAX=11.50.75FYCqqaqa20.75/a+qa0.75qa20.75/aq3a1.5/20FYC=2.25qa虚功方程为: FYC15-1 概述 求：FYC10a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAqaqa2FQCFQC 5/a+qa0.25qa20.25/aq(12a/2+0.5 a/2 )0FQC=1.25qa 虚功方程为: FQC15-1 概述 求：F右QC112)、应用虚功原理求静定结构的位移 b acFP=1建立虚功方

5、程：FP+RAc=0（）1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以 随意虚设，如设P=1。故称单位荷载法。3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。5-1 概述 125-1 概述 很显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理 。 显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形体的虚力原理计算。 支座移动产生的位移刚体位移 制造误差产生的位移刚体位移 荷载作用产生的位移变形体位移温度改变产生的位移变形体位移4）静定结构位移的类型135-2 支座移动产生的位移计算 支

6、座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。 例：图示简支梁B支座往下位移了 ，求由此产生的A点转角 。 真实的位移状态 虚设的力状态解：运用刚体的虚功原理，虚设的力状态上的所有外力在真实的位移状态上所做的虚功应该等于零，有： 得：LM=1AB14可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下： 其中： 由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 c 真实的支座位移 例：图示三铰刚架A支座往下位移了b，B支座往右位移 了a，求C点的竖向位移 , 和C点的相对转角 。 真实的位移状态 abL/2L/2LABC5-2 支座移动产生的位移计算 （1）求C点的竖向位移 在C点作用一个竖向单位力，求出:15虚设的

7、力状态（2）求C点的相对转角 在C点作用一对力矩，求出 和 。 Fp=1ABC5-2 支座移动产生的位移计算 ABCM=1虚设的力状态真实的位移状态 LL/2L/2bABCa165-2 支座移动产生的位移计算 abl/2l/2h1 11h1h00相对转角的概念：求C点的相对转角,结构变形图ABC虚设的力状态M=1175-3 力的虚设方法 力的大小 一般虚设单位力 。力的位置 作用在所求位移的点及方向上。 力的方向 随意假设，若求出的位移是正的，说 明 位移与假设的方向一致。若是负的，说 明与假设的方向相反 。力的性质 求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；求二点的相对水平或竖向位移加一对相反

8、的单位集中力；求二点相对转角要加一对单位力矩。 18Fp=1求C点竖向位移求B点水平位移Fp=1求C点转角位移M=1Fp=1求A、B两点相对竖向位移Fp=1Fp=1Fp=15-3 力的虚设方法 CBCAB求A、B两点相对水平位移AB19M=1求C点相对转角位移求CD杆相对转角位移Fp=1/LFp=1/L5-3 力的虚设方法 CCDP=1P=1l1/l1/l求AB两点的相对位移求AB两点连线的转角ABAB205-4 制造误差产生的位移计算 制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。 例：图示桁架AC杆比要求的短了2cm,求由此产生的C 点水平位移 。真实的位移状态虚设的力状态-2cmbaABCF

9、p=1CBA解：在C点作用一水平单位力，方向朝左，求出AC杆的内力，令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚功方程有 ：21利用虚功方程有：得：例：图示悬臂梁C点由于制造误差有一转角 ，求由 此引起的B点竖向位移 。 解：虚设一力状态：在B点加一竖向单位力，求出C点的弯矩，并把C点的抗弯连系去掉，用弯矩 表示。baBCA5-4 制造误差产生的位移计算 Mc=aFp=1BCA杆件制作时缩短了，要按原来设计的位置安装，则必须“拉伸”杆件;虚设单位力时该杆件的内力如果为拉，则变形趋势一样，做正功，否则做负功!22利用虚功方程有： 得： 由制造误差引起的位移计算公式如下： 其中： 正负号规定：虚内力与变形

10、方向一致为正，方向相反为负。 制造产生的轴向变形、弯曲变 形和剪切变形。5-4 制造误差产生的位移计算 虚设单位力作用下产生的轴力、 剪力和弯矩。 23例：图示桁架DC杆短了2cm，FE杆长了3cm，求C点的竖向位移。 解：在C点作用一竖向单位力，求出DC杆、FE杆的轴力： 运用虚功原理有： Fp=1+3-24m34=12mABEDFCABEDFC5-4 制造误差产生的位移计算 245-5 温度作用时的计算 温度作用产生的位移采用变形体的虚力原理计算 。 推导计算公式： 图示简支梁上下温度不一样 ， 求由此起的A点转角 。 取出一微段，研究一下温度所引起的变形。 微段发生的转角为： dt2t1

11、t2 dsABLds+t2+t1h1hh2+t0t0dst1ds25微段发生的轴向变形为： 杆件轴线处的温度变化值 其中： 杆件上下边缘的温度差值温度变化不会产生剪切变形。真实的位移状态 运用变形体的虚功原理，所有外力所做的虚功等于内力所做的虚功： 虚设的力状态 t2t1LAB5-5 温度作用时的计算 LM=1AB26有：若是结构，则公式为： 若温度沿杆长变化相同，且截面高度不变，则上式写成：其中： 由虚设单位力产生的轴力图面积5-5 温度作用时的计算 由虚设单位力产生的弯矩图面积27正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的变形方向一致时，取正号，反之取负号。 例：图示三铰刚架，室内温度

12、 比原来升高了300，室外 温度没有变化，求C点的 竖向位移 ，杆件的截 面为矩形，高度h为常数， 材料的膨胀系数为 。5-5 温度作用时的计算 10m5m5mABC+300002m28解：（1）在C点作用一竖向单位力画出 和 图。 （2）运用公式求 0.2008Fp=12.082.082.082.08Fp=10.50.38FN图ABCABC5-5 温度作用时的计算 M1图29例:求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa0+10+10CP=1P=11aFN5-5 温度作用时的计算 解：（1）在C点作用一竖向单位力画出弯矩和轴力图。 （2）运用公式求 30荷载作用下的位

13、移计算采用的是变形体的虚力原理。 推导结构位移计算的一般公式： 图示悬臂梁微段 发生了 轴向变形 剪切变形 弯曲变形 ，求B点的竖向位移。 把微段的变形浓缩至D点： 1）积分法 dd5-6 荷载作用下的位移计算 ABCDdsDCddddDCB31虚设一力状态 ：B点的竖向位移为： 若整根梁上都有变形，则B点的竖向变形为： 由材料力学可知 ：对结构则有： ABFP=15-6 荷载作用下的位移计算 325-6 荷载作用下的位移计算 其中: 荷载作用下结构产生的弯矩 剪力、轴力 单位力作用下结构产生的弯矩 剪力、轴力 33 求解荷载作用下的位移计算步骤 ： （1）写出结构在荷载作用下每根杆件的弯矩、

14、剪力、 轴力的方程； （2）写出结构在虚设单位力作用下每根杆件的弯矩、 剪力、轴力的方程； （3）代入公式计算。 5-6 荷载作用下的位移计算 34例：求图示简支梁中点C的竖向位移 。解：（1）取虚力状态如图： （2）写出 弯矩、剪力方程：当时（3）计算 Fp=1C/CABL/2L/22/L/L/2L/25-6 荷载作用下的位移计算 q kNm虚设单位荷载： 实际荷载： 矩形截面：k1.235（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响 弯曲变形： 剪切变形： 两者的比值： 若高跨比为： 则：5-6 荷载作用下的位移计算 结论： 在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度的话，一般可以不考虑剪切变形

15、及轴向变形的影响。36例：计算图示刚架C点的水平位移 和C点的转角 ，各杆的EI为常数。 解：（1）求 写出杆件的 方程 BC杆： BA杆： 5-6 荷载作用下的位移计算 LACBLEIEIqACFP=1BC37（2）求 BC杆： BA杆： 5-6 荷载作用下的位移计算 ACBM=1写出杆件的 方程 38由支座移动引起的位移计算公式： 其中： 由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 c 真实的支座位移 由制造误差引起的位移计算公式其中： 制造产生的轴向变形、弯曲变 形和剪切变形。虚设单位力作用下产生的轴力、 剪力和弯矩。 39其中： 由虚设单位力产生的轴力图面积 由虚设单位力产生的弯矩图面积由

16、温度变化引起的位移计算公式： 40各种静定结构位移的计算公式如下: （1）梁、刚架 只考虑弯曲变形 （2）桁架 只有轴向变形 （3）组合结构受弯构件只考虑弯曲变形 5-6 荷载作用下的位移计算 41（4）三铰拱 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形, 拉杆只有轴向变形 。曲杆的积分计算可用数值计算代替: 其中:都取段上中点的值。 5-6 荷载作用下的位移计算 42例：求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移 ， 已知EI为常数。 解：取虚力状态如下所示： 为求 取kB隔离体如下： pBOkFQkNkMkd5-6 荷载作用下的位移计算 dsORABFpkORABF =1p435-7 图乘法 受弯构件的位

17、移计算公式: 若EI是常数就可提到积分号的外面,上式就变为: 若和中有一个是直线图,如图所示:代入上式有: 是常数,可提到积分号的外面x0yoC形心xy0ddxABM 图AMP图BxM445-7 图乘法 x0yoC形心ddxxy0ABM 图AMP图BxM是图对Y轴的面积矩,可写成: 其中: -是图的面积 -是图的形心到Y轴的距离 有: 令: 得：-是图形心位置所对应的图中的竖标 45图乘法应用的前提： 杆件的EI是常数； 杆件是直杆；的图形至少有一个是直线图形。 两个直线图形的图乘公式： 5-7 图乘法 各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。abdcl/3

18、l/3l/312y1y246S = 9/6（262+243+63+42） =111326495-7 图乘法 2364（3）9（ 2）32649(1)47labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS+=b)非标准抛物线乘直线形5-7 图乘法 （4）236948上述图乘公式的适用所有直线图形的情况，例： 5-7 图乘法 49l/2l/2habh(l+b)/3(l+a)/3顶点hl/43l/43l/85l/8h顶点2l/53l/5l/54l/55-7 图乘法 h2l/3l/3l几种图形的面积及形心50复杂图形的处理：+=+=5-7 图乘法 51EI=3.6465 104Nm22

19、00378P=10.8MPq=625N/m2.2m0.8mABC1y13y32y2求C点竖向位移。5-7 图乘法 52qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPP=111l1y12y23y3B23=ly3221=yly12832323=qllqlw42212321=qllqlww8321232432414222=+=EIqllqllqllqlEI()1332211+=DMyyyEIwww求B点水平位移。5-7 图乘法 5396kN2kN/m2kN/m 6m3m3mAB求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163)()=EI-756+3322318-+EI643636311+

20、-2639632(+-+-=DEI61833631826362661EI=常数9999995-7 图乘法 54例：求A点的转角和C点的 竖向位移。 解：（1）求A点的转角（2）求C点的竖向位移CAB20kN10kN/m6m6m6Fp=1MC图1M=1MA图5-7 图乘法 30045MP图55例：求图示三铰刚架C点的 相对转角。解：荷载作用下的弯矩图和虚设力作用下的弯矩图如图所示。B20kN/m5-7 图乘法 ACED8m6m2mAEDBAEDB12012040403/43/41MC图Mp图M=1565-7 图乘法 3/43/41AEDB1201204040Mp图AEDBMC图M=1575-8

21、线性变形体系的互等定理 本节介绍线性变形体系的四个互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。 1) 功的互等定理 设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。(a) 第一状态 FP1121121(b) 第二状态 FP21 2122258 这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：(1)先加FP1后加FP2，外力的总功(2)先加FP2后加FP1，外力的总功(a) 第一状态FP1121121(b) 第二状态FP21 212225-8 线性变形体系的互等定理 外力所作总功与加载次序无关， 即

22、：W1 = W2 由1、2可得：59功的互等定理: 即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。5-8 线性变形体系的互等定理602) 位移互等定理在功的互等定理中，令：FP1 =FP2 =1由功的互等定理式（a）则有：即：(a) 第一状态 FP111221(b) 第二状态 FP211 2125-8 线性变形体系的互等定理位移互等定理:第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。在位移互等定理中： 单位力广义力（单位力偶、单位集中力）； 位 移广义位移（线位移、角位移）。61反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。 左图分别表示二种状态，即支座1发生单位位移11时，