空间向量及其运算

1、第44课时空间向量及其运算编者：刘智娟审核：陈彩余班级第一部分预习案学号一、学习目标姓名和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积.二、知识回顾空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量.相等向量：方向且模的向量.共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量.共面向量：的向量.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理共线向量定理对空间任意两个向量a,b(a丰0),b与a共线的充要条件是存在实数推论如图所示，点P在I上的充要条件是OP=OA+ta其中a叫直线I的方向向量，tr，在I上取AB=a,则可化为O)p=O

2、)A+tAB或O)p=(1t)O)A+tO)B.共面向量定理的向量表达式：p=xa+yb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP=xMlA+yMB或对空间任意一点0,有OP=O)M+xMlA+yMB或0)P=xOM+yOA+zOB，其中x+y+z=.空间向量基本定理如果三个向量，e2，不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xe+ye2+ze3，把e，e2，e3叫做空间的一个基底.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O,作OA=a，OB=b，则/aob叫做向量a与b的夹角，记作a,b,其

3、范围是owa,b=寸，则称a与b互相垂直，记作a丄b两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b，则|a|b|cosa,b叫做向量a,b的数量积，记作ab，即ab=|a|b|cosa,b.空间向量数量积的运算律结合律：(za)b=Xab)；交换律：ab=ba；分配律：a(b+c)=ab+ac空间向量的坐标表示及应用数量积的坐标运算TOCo1-5hzF-9-P-设a=(ai,a2,a3),b=(bi,b2,b3)，贝Uab=共线与垂直的坐标表示设a=(ai,a2,a3),b=(bi,b,b3),F-F-则aIIb?a=?ai=入1,a2=入2,a3=入b(入R),a丄b?ab=0?aibj+a2b2

4、+a3b3=0(a,b均为非零向量).模、夹角和距离公式222设a=(ai,a2,a3),b=(bi,b,b3)，贝y|a|=.aa=ai+a2+a3,aibi+a2b2+a3b3ai+a；+a2.bf+b2+城设A(ai,bi,Ci),B(a2,b2,C2)，贝ydAB=|AB|=寸(a2aij+(b2b(+(C2C丫.三、基础训练F1i.已知向量a=(4,-2,4),b=(6,-3,2)，则(a+b)(ab)的值为下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+EBC+CD+DA=0;|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点0

5、与不共线的三点A、B、C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x、y、zR)，贝UP、A、B、C四点共面.其中不正确的所有命题的序号为同时垂直于a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的单位向量是2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),ac=4,|b|=12,贝Ub,c=在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是.(填序号)Om=2OA-Ob-OC；Om=1oa+job+-oc；532ima+MB+Me=0:om+0A+0B+Oc=0.四、我的疑惑第二部分探究案探究一空间向量的线性运算B问题1、三棱锥oABC中，M,N分别是OA,BC的中点，G是厶ABC的重心，用基向量OA,OB,

6、Oc表示mg,OG.B问题2、如图所示，ABCDAQiDi中，ABCD是平行四边形.若AE=?eC,ATf=2FD,若ab=b,ad=c,AA1=a，试用a,b,c表示ef.探究二共线定理、共面定理的应用问题3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD/平面EFGH;-1-设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点0,有0M=-(OA+OB+OC+OD).探究三空间向量的数量积的应用问题4、已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,1,5).(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；若|=3,且a分别与aB,AC垂直，求向量