有关二重积分计算及应用本科论文

1、.-. z.*：201021140309200222200*2*40*. 本科生毕业论文论文题目：二重积分的计算与应用研究甘泉院系：数理学院专业：数学与应用数学班级： 201003 指导教师：春潮2014年 5 月8日-. z.NO：2010211403092008200*2*40*200*2*40*Huanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic：Double Integral Calculation and Its Application Author： GANQuan College：College of Mathematics and P

2、hysicsSpecialty：Mathematics and Applied MathematicsClass： 201003Tutor：LIU ChunchaoMay 8th,2014-. z.重声明本人所呈交的毕业论文设计是本人在指导教师春潮的指导下独立研究并完成的除了文中特别加以标注引用的容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承当特此重声明！指导教师手写签名：论文作者手写签名：2014年5月8日-. z摘要二重积分在现实中有着广泛的应用，二重积分可用于求解空间立体体积和曲面面积。在物理力学中，二重积分也有着不可代替的作用。本文给

3、出二重积分的概念及根本性质，在此根底上总结了二重积分的七种比拟常见的计算方法与计算技巧：利用直接坐标系计算、利用变量特换法计算、利用极坐标系计算、利用函数的奇偶性和区域对称性计算、利用格林公式计算、利用轮换法计算、利用二重积分的几何意义计算，还研究了一些二重积分在物理力学、计算空间立体体积、计算曲面面积、计算曲线积分和曲面积分等方面的应用问题。关键词：二重积分；计算方法；计算技巧；应用-. zAbstractThe double integral is widely used in practice, the double integral can be used to solve the t

4、hree-dimensional volume and surface area. In mechanics, the double integral also has an irreplaceable role. This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven mon calculation method of double integral and calculation skills:using direct coordinate sy

5、stem to calculate, using variable replacement method to calculate, using the polar coordinate to calculate, using function and regional symmetry to calculate, using the parity of green formula to calculate, using the method of rotation to calculate, using the geometric meaning of double integral to

6、calculate, also studies on some practical problems about the double integral such as physical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral.Key words: double integral；putational methods；putational skills；app

7、lication -. z目录TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc18861 第1章绪论 PAGEREF _Toc18861 1 HYPERLINK l _Toc5103 1.1选题背景 PAGEREF _Toc5103 1 HYPERLINK l _Toc5236 1.2选题意义 PAGEREF _Toc5236 1 HYPERLINK l _Toc20151 1.3研究现状 PAGEREF _Toc20151 1 HYPERLINK l _Toc8046 1.4研究思路 PAGEREF _Toc8046 2 HYPERLINK l _Toc22008 第2章 二重积

8、分的根本计算方法 PAGEREF _Toc22008 3 HYPERLINK l _Toc699 2.1二重积分的定义与性质 PAGEREF _Toc699 3 HYPERLINK l _Toc27649 2.2利用直角坐标系计算二重积分 PAGEREF _Toc27649 4 HYPERLINK l _Toc10124 2.3利用变量替换法计算二重积分 PAGEREF _Toc10124 6 HYPERLINK l _Toc5218 2.4利用极坐标系计算二重积分7 HYPERLINK l _Toc17938 第3章 特殊二重积分的计算技巧 PAGEREF _Toc17938 10 HYPE

9、RLINK l _Toc7575 3.1利用函数奇偶性与区域对称性计算 PAGEREF _Toc7575 10 HYPERLINK l _Toc27990 3.2利用格林公式计算 PAGEREF _Toc27990 12 HYPERLINK l _Toc26790 3.3利用轮换法计算 PAGEREF _Toc26790 12 HYPERLINK l _Toc2937 3.4利用二重积分的几何意义计算 PAGEREF _Toc2937 13 HYPERLINK l _Toc15623 第4章 二重积分的应用 PAGEREF _Toc15623 14 HYPERLINK l _Toc25709

10、4.1计算曲面的面积 PAGEREF _Toc25709 14 HYPERLINK l _Toc23322 4.1.1曲面由显函数给出的情形 PAGEREF _Toc23322 14 HYPERLINK l _Toc11046 4.1.2曲面由参数方程给出的情形 PAGEREF _Toc11046 14 HYPERLINK l _Toc28344 4.2计算平面薄片的重心 PAGEREF _Toc28344 15 HYPERLINK l _Toc22799 4.3计算平面薄片的转动惯量 PAGEREF _Toc22799 16 HYPERLINK l _Toc19029 4.4计算平面薄片对质

11、点的引力 PAGEREF _Toc19029 17 HYPERLINK l _Toc14169 4.5计算空间立体体积 PAGEREF _Toc14169 17 HYPERLINK l _Toc16487 4.6计算曲线积分 PAGEREF _Toc16487 18 HYPERLINK l _Toc7974 4.7计算曲面积分 PAGEREF _Toc7974 18 HYPERLINK l _Toc18778 第5章 完毕语20 HYPERLINK l _Toc17830 致 21 HYPERLINK l _Toc25192 参考文献22.-. z.第1章绪论1.1选题背景二重积分是数学分析中

12、的重要容，它上承接着定积分，下引出三重积分和曲线积分、曲面积分.它在几何、物理、经济学等多个科学都有极其广泛的应用.函数的二重积分是数学分析中的重要容，它涉及到多个科学领域，并起着至关重要的作用.然而在计算函数二重积分的过程中，由于计算和函数比拟繁琐，因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限1.计算机的广泛应用，特别是MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为二重积分的开展和应用开辟了广阔的前景.然而计算函数二重积分往往比拟复杂和繁琐，因此，研究二重积分的计算不仅很有必要，而且不断寻找简便的算法仍然是二重积计算方面的重要课题2.对于二重积分的应用主要表达在求曲线积分，曲面积分，曲面面积和物理

13、学中的一些平面薄板的重心坐标，转动惯量以及对质点的引力等问题，利用二重积分可以巧妙解决这些问题，因此二重积分的计算与应用在物理学当中，尤其是在数学分析里是一门不可缺少的重要知识3.1.2选题意义二重积分的计算和应用研究在高等数学研究中具有重要意义，对于二重积分的研究不仅仅表达在理论上，与其相关的几何模型和物理模型也在被讨论研究.二重积分的研究虽然以前也有不少人研究过，但多数人只是理论上研究，在实际应用中的研究还比拟少，比方在求物体的重心，以及引力等，甚至经济学中方面相关深入的研究比拟狭窄4.在有些应用当中，我们会遇到一些二重积分根本运算问题，即在给定的被积函数和积分区域比拟特殊时，计算二重积分

14、，此时计算量就会很大.因此，不断寻找简便的算法便成为二重积分运算方面的重要课题.1.3研究现状采用层进式教学法可以由浅入深的让学生轻松掌握这种积分的算法.是高等数学的重点，也是难点，计算较为繁琐，有的二重积分需要一定的技巧才能求出，二重积分的计算方法主要是在极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二次积分，进而要利用两次定积分计算此二重积分，但是*些二重积分化为二次积分后计算仍相当困难，这时，我们就要采用特殊的算法计算5.文献1介绍了二重积分的开展及其相关应用；215主要介绍了二重积分的一些计算方法和相关性质定理；1626主要介绍了一些二重积分在力学方面的一些应用.兆顺探究了直角坐标系下二重积分的

15、计算；毅探究了利用变量替换与极坐标系下二重积分的计算；娟探究了利用函数的奇偶性和积分区域的对称性简化二重积分的计算；赫探究了利用格林公式来计算二重积分，本文在此根底上还探究了一下利用轮换法，格林公式，二重积分的几何意义来计算一些特殊的二重积分913.1.4研究思路通过查看图书与学校电子阅览室里的有关二重积分计算的资料，最终分析决定主要研究以下几个方面：1二重积分的根本计算方法；2二重积分的特殊计算方法； 3二重积分的应用. 根据被积函数和积分区域的不同特征熟练采用不同的计算方法求二重积分.上述介绍的几种方法不一定全是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用.总之，在二重积分计算过程中

16、要充分运用被积函数和积分区域的特征寻求最正确计算方法，这对于知识的在联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高.本课题最终将到达的目标：根据被积函数和积分区域的特点选择简便的计算方法；利用二重积分的一些性质来解决实际问题.第2章 二重积分的根本计算方法2.1二重积分的定义与性质设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，假设对任给的正数，总存在*个正数，使对于的任何分割，当它的细度0)处的单位质量的引力解：由对称性，引力必在轴方向上，因此 故(其中是引力常数.4.5计算空间立体体积由二重积分的几何意义知，当时，表示以平面上的区域为底，以为

17、顶的曲顶柱体的体积，因此利用二重积分计算空间立体体积的关键在于找曲顶柱体的底与顶.例19 求两个底面半径一样的直交圆柱所围立体的体积.解：设圆柱底面半径为，两个圆柱方程为与.利用对称性，只求出在第一卦限局部的体积，然后再乘以即得所求的体积.第一卦限的立体是以为曲顶，以四分之一圆域为底的曲顶柱体，所以，于是.4.6计算曲线积分 对平面闭曲线上的对坐标曲线的积分，当比拟简单时，常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算.例20 计算曲线积分，其中是沿圆周，逆时针方向. 解：利用格林公式计算此积分，记所围的区域为，则有.4.7计算曲面积分第一型曲面积分可化为二重积分来计算：定理7 设有光滑曲面，为上的连

18、续函数，则.例21 计算第一型曲面积分，其中为平面在第一卦限里的局部.解：，则，.第二型曲面积分也可化为二重积分来计算：定理8 设是定义在光滑曲面上的连续函数，以的上侧为正侧这时的法线方向与轴正向成锐角，则有 .类似地，当在光滑曲面上连续时，有，这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧.当在光滑曲面上连续时，有，这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧.例22 计算第二型曲面积分，其中是由平面和所围的四面体外表并取外侧为正向.解：由对称性知，原式.-. z第5章完毕语本次的毕业论文是对大学四年学习的一个总结.在历时将近半年的时间里，在查找资料，准备开题和论文设计过程中，遇到了许

19、许多多的问题，在遇到问题，分析问题和解决问题的过程中，论文也慢慢地成型，虽然在*些细节上还是比拟粗糙，但总体上还是到达了根本的研究要求，根本可以解决一些常见的二重积分的计算这一问题，为二重积分的计算提供一个参照.当然，在具体求解一个二重积分的计算时，根据被积函数和积分区域的特点采用不同的计算方法是求二重积分的关键.上述介绍的几种方法不一定全是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用.总之，在二重积分的求解过程中要充分运用条件选择最正确计算方法，这对于沟通积分各局部容之间的联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高.-. z致在这里首先要感我

20、的指导教师春潮.在毕业论文的完成过程中，教师在百忙之中查阅和修改本论文，给予了很多悉心的指导，对论文的修改给予了很多细致的建议，给予了很多完善论文的启发.教师这种严谨治学的态度，让我肃然起敬，同时深厚的理论水平也让我受益匪浅.在指出论文中存在的问题和提供建立性修改意见的同时，也不忘鼓励我发扬长处，不忘指导我将所学知识充分运用，要不断更新自己的知识体系，这些让我很受欣慰和鼓舞，在这里，学生真诚地对教师表示深深的感谢与意.通过这一阶段的学习和研究，终于解决一些问题，其中消耗了很多精力和时间，但本次论文是大学对即将走进社会的我们的一次知识和能力的综合考验，这将是鼓励我去创造的一个起点，会永远鼓励着我

21、前进.最后，还是要再次衷心地感这些日子以来给予我帮助的所有教师，朋友和同学们，你们！-. z参考文献1 林曙，黎诣远微积分M：高等教育，20052 华东师大学数学系数学分析(下)M：高等教育，20013 玉琏，傅沛仁数学分析讲义M：高等教育，20014 郭运瑞高等数学M：西南交通大学，20105 甄海燕二重积分的计算方法J商业职业技术学院，2012，12(5)：86886 振来数学分析同步辅导及习题精粹(下) M*：*科学技术，20097 费定晖，周学圣吉米多维奇数学分析习题集题解(6)M：科学技术， 20038 德新高等数学学习与解题指导M：大学，20099 兆顺谈二重积分的计算J教育学院学报，2007，16(2)：71010 毅简化二重积分的方法J技术师学院学报，2011，17(10)：596111 娟利用对称性、奇偶性计算二重积分J*职业院校联合学报，2012，14(6)： 687012 赫几种特殊类型二重积