1.3.1函数的单调性和最大小值

1、-函数的单调性一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1问：随x的增大，y的值有什么变化？x1-11y-1-11.3.1函数的单调性和最大小值变式1：若二次函数在区间(-,1上单调递增，求a的取值范围。变式2：若二次函数的递增区间是（-,1，则a的取值情况是三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论2.直接利用初等函数的单调区间。 探

2、究：P30 画出反比例函数 的图象这个函数的定义域是什么？它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论思考3：反比例函数 的单调性，单调区间： 思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间D内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？探究：P30 画出反比例函数 的图象这个函数的定义域是什么？它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论思考3：反比例函数 的单调性，单调区间： 3证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配

3、方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）画出下列函数的图象，观察其变化规律：1f (x) = x 从左至右图象上升还是下降_?在区间 _ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 _ 2f (x) = -2x+1 从左至右图象上升还是下降 _?在区间 _ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 _ 上升（-，+）增大下降（-，+）减小3f (x) = x2在区间 _ 上，f (x)的值随着x的增大而 _ 在区间 _ 上，f (x)的值随着x的增大而 _ (-,0减小（0，+）增大 y246810O-2x841216202462101418

4、22D对区间D内 x1，x2 ，当x1x2时， 有f(x1)f(x2)图象在区间D逐渐上升？OxIy区间D内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间D内 x1，x2 ，当x1x2时， 有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升对区间D内 x1，x2 ，当x1x2时， 有f(x1)f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)O设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.如果对于区间D上的任意当x1x2时，都有 f(x1 ) f(x2 )，定义MN任意两个自变量的值x1,x2， D 称为 f (x)的单

5、调增区间. 那么就说 f (x)在区间D上是单调增函数，区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升D 那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2， 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，D称为f(x)的单调 区间.增当x1x2时，都有 f (x1

6、) f(x2 )，当x1x2时，都有f(x1 ) f(x2 )，单调区间注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；函数的单调性是相对某个区间来说，不能直接说某函数是增函数或减函数。下列说法是否正确？请画图说明理由。（1）如果对于区间（0，+）上的任意x有f(x)f(0),则函数在区间（0，+）上单调递增。（2）对于区间（a,b）上的某3个自变量的值 x1,x2,x3,当 时， 有 则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。1.3.1函数的单调性和最大小值（二）典型例题例1 如图6是定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)

7、的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. O书写单调区间时，注意区间端点的写法。对于某一个点来说，因为它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，所以在写单调区间时，能够包括端点，也能够不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。练习：判断函数 的单调区间。xy21o单调递增区间：单调递减区间：证明：（取值）（作差）（下结论）（定号）补例1.3.1函数的单调性和最大小值3证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2

8、)； 变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）证明：f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）（3x12）（ 3x22） 3（x1x2）由x1x2，得 x1x20设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则例2 物理学中的玻意定律 (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V 减小时,压强 P 将增大.试用函数的单调性证明之.探究：P30 画出反比例函数 的图象这个函数的定义域是什么？它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论思考3：反比例函数 的单调性，单调区间： 证明：设x1

9、，x2（0，+），且x1x2，则111Ox y1f（x）在定义域上是减函数吗？减函数取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）例3 讨论函数 在(-2,2)内的单调性.变式1：若二次函数在区间(-,1上单调递增，求a的取值范围。变式2：若二次函数的递增区间是（-,1，则a的取值情况是 是定义在R上的单调函数，且 的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式 （2）求适合 的 的取值范围 是定义在（-1，1）上的单调增函数， 解不等式 练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间D内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)-g(x)为减函数。三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要