【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）专题01 一次函数 压轴题（十大题型）（解析版）

专题01一次函数压轴题（十大题型）目录：题型1：存在性问题题型2：取值范围问题题型3：最值问题题型4：旋转问题题型5：动点问题题型6：定值问题题型7：新定义题型题型8：两点间的距离与一次函数题型9：一次函数与反比例函数题型10：一次函数的实际应用题型1：存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．请解答：(1)的长为______，的长为______；(2)如图，点是线段上一点，连接，作交于点，连接，求点的坐标并判断的形状；(3)如备用图，若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4，2(2)，是等腰直角三角形；(3)直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或．【分析】（1）先求出，由全等三角形的性质可得；（2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标．【解析】（1）解：把代入得：，∴点，∴，把代入得：，∴点，∴，∵，∴，故答案为：4，2；（2）解：设直线对应的函数表达式为：，∵，∴，把代入得，解得，∴直线对应的函数表达式为，∴，∵，∴，又∵，∴，即，∵，即，∴，∴，∴，则是等腰直角三角形；分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，

∴，∵，∴，∴，∴点N的坐标为；（3）解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形．∵为直线上的点，∴，∴，①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，

∵，∴轴，，点M的纵坐标为2，，∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴Q点的纵坐标为3，把代入中得：，∴点；②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点．

则，∴N点的横坐标为1，则，∵是以E为直角顶点的等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴M点的纵坐标为1，∴Q点的纵坐标为1，把代入中得：，∴；综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．2．已知：如图，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图像相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，．(1)求直线的函数表达式和点的坐标；(2)点为线段上的一个动点，连接．①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标：②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线的函数表达式为：，点的坐标为．(2)①点的坐标为或；②存在点，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，点坐标为或．【分析】（1）根据题意，利用已知条件得到点，点坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式可求出点的坐标．（2）①过点作轴于点，先求出的面积，直线将的面积分为两部分，需要分两种情况：当点在线段上时，则有，由此建立方程求解，得到答案；当点在线段上时，设直线与轴交于点，此时有，由此建立方程求解，得到答案．②将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，需要分三种情况：当点落在轴负半轴上；当点落在轴上；当点落在轴正半轴上，画出图形，求出答案．【解析】（1）解：根据题意得：点、，，与关于轴对称，，，，，把点和点的坐标代入一次函数，，解得，直线的函数表达式为：，令，解得：，，点的坐标为．（2）①如图，过点作轴于点，连接，，，，，，、、，点是线段的中点，，当点在线段上时，则有，，，解得：，；当点在线段上时，设直线与轴交于点，如图，此时有，，，解得，，，直线的解析式为，令，解得：，，综上所述，若直线将的面积分为两部分，点的坐标为或．②存在，理由如下：将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，分三种情况：当点落在轴负半轴上处，如图，由折叠性质可知，，，由题意可知，，，则，，，，，，，，轴，点的纵坐标为，；当点落在轴上处，如图，过点作于点，作轴于点，过点作轴于点，由折叠性质得：平分，，，，即，解得：，；当点落在轴正半轴上处，如图，此时，点和点重合，和符合题意，舍去，综上所述，存在点，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，此时点坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点，三角形的面积，折叠的性质，熟悉分类讨论的思想，根据题意正确分类并作出图形是解答本题的关键．题型2：取值范围问题3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．(1)求点A的坐标；(2)若点C在第二象限，的面积是5；①求点C的坐标；②直接写出不等式组的解集；③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围．【答案】(1)(2)①；②；③或【分析】（1）把代入求出点A的坐标即可；（2）①先根据的面积是5，求出点C的纵坐标即可，再代入求出点C的横坐标即可；②根据函数图象，写出不等式组的解集即可；③根据平移特点，分两种情况，当沿x轴向右平移时，当沿x轴向左平移，求出m的值即可．【解析】（1）解：把代入得：，解得：，∴点A的坐标为；（2）解：①∵，，∴，∵，点C在第二象限，∴，∴，当时，，∴，∴；②由图象即可知：不等式组的解集为：；③连接，如图所示：把代入得：，∴点B的坐标为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，把代入得：，解得：，，当点在直线上时，点的横坐标为：，当点在点D上时，点的横坐标为：，∴当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时；当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时；综上分析可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象与不等式的解集，三角形面积问题，掌握以上知识点是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56.点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．(1)求点C的坐标及直线BC的表达式；(2)在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；(3)设点E的坐标为（0，）；①用表示点F的坐标；②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．【答案】(1)（8，0）；y=-x+8(2)（0，5）或（0，-3）(3)①（m-4，m-3）；②3≤m≤【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可；（2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可；（3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可；②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围．【解析】（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则x=-6，∴A（-6，0），∵点D为线段AB的中点，∴D（-3，4），∵△ABC的面积为56，∴×8×AC=56，∴AC=14，∴C（8，0），设直线BC的表达式为y=kx+b，∴，∴，∴y=-x+8；（2）设E（0，y），∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，∴DE=EF，∠DEF=90°，∵△DEF的面积为5，∴DE2=5，∴DE=，∴，∴y=3或y=5，∴E（0，3）或E（0，5）；（3）①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，∵∠GED+∠HEF=90°，∠GED+∠GDE=90°，∴∠GDE=∠HEF，∵DE=EF，∴△GDE≌△HEF（AAS），∴GE=HF，GD=EH，∴HF=3，DG=m-4=EH，∴F点纵坐标m-3，横纵标m-4，

∴F（m-4，m-3）；②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴，此时m-3=0，∴m=3；当F在直线BC上时，此时m-3=-（m-4）+8，∴m=；∴3≤m≤时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）．【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结合解题是关键．题型3：最值问题5．已知一次函数．(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；(2)如图1，当时，一次函数的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线：上一点，若，求Q点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，直线：交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）整理得，根据题意，得当，求解得函数图象必过定点；（2）确定解析式为，点A坐标为，点B坐标为；设点Q坐标为，分情况讨论：①当点Q位于AB右侧时，根据题意得，列方程解得，点Q坐标为；②当点Q位于AB左侧时，过点Q作轴，交于点Ｎ，点Ｎ的纵坐标为，，于是，解得，Q坐标为；（3）联立得，得，设，由，求得C的坐标为，点M在直线上，点C关于直线对称的点F的坐标为，连接，，则，，作轴，垂足为G，在中，，所以的最小值为．【解析】（1）解：整理得∵不论k取何值时，上式都成立∴当，即时，∴无论k为何值，函数图象必过定点；（2）当时，一次函数为，当时，；当时，，；∴点A坐标为；点B坐标为；∵点Q在直线：上，∴设点Q坐标为；①如图，当点Q位于AB右侧时，根据题意得．∴．解得．点Q坐标为；②如图，当点Q位于AB左侧时，此时，过点Q作轴，交于点Ｎ，则点Ｎ的纵坐标为，由，得，，∴．∴，解得，∴Q恰好位于x轴上，此时Q坐标为；综上所述：若，Q点的坐标为或；（3）由（2）可得直线AB：，联立得，解得．∴∵点C在x轴的负半轴，设则，∵，∴解得∴点C的坐标为∵动点M的坐标为．∴点M在直线上．∴点C关于直线对称的点F的坐标为，连接，，则，则为的最小值；作轴，垂足为G，在中，∴的最小值为．【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角形求解线段是解题的关键．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，过轴上动点作直线轴分别与直线、交于、两点．

(1)①请直接写出点，点，点的坐标：______，______，______．②若，求的值；(2)如图2，若为线段上动点，过点作直线交直线于点，求当为何值时，最大，并求这个最大值．【答案】(1)①、、；②或3；(2)当时，最大，最大值．【分析】（1）①令函数值等于0，可求与x轴交点坐标，联立函数解析式解方程组可得函数图像交点坐标；②设点，则点，则，即可求解；（2）设点，则点，求出点．进而用t表示出、长，根据t的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出的最大值．【解析】（1）解：①对于直线①，令，解得，故点，对于，同理可得：点，则，解得，故点的坐标为，故答案为：、、；②点在直线上，则设点，同理点，则，即：解得或3；（2）点在直线上，则设点，同理点，∵，∴，∴点F的纵坐标为，解得，∴，∴，∴，∵，，∴当时，最大，最大值．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2）要注意用点的坐标表示线段长．题型4：旋转问题7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴于点，交x轴交于点B，且，过点C作y轴的垂线，交直线于点D．(1)求点D的坐标；(2)点E是线段上一动点，直线与y轴交于点F．①若的面积为8，求点F的坐标；②如图2，当点F在y轴正半轴上时，将直线绕点B顺时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长．【答案】(1)(2)①的坐标为或；②；【分析】（1）先求解，可得，C的坐标与一次函数的解析式，再把代入一次函数的解析式即可得到D的坐标；（2）①如图，连接，分两种情况讨论：当在轴的正半轴时，当在轴的负半轴时，设，由的面积为8，利用三角形的面积列方程求解即可；②作轴，交轴于点，证、，再结合勾股定理即可求解．【解析】（1）解：∵一次函数的图象交y轴于点，交x轴交于点B，且，∴，，∴，，∴一次函数为：，∴，解得：，∴一次函数为：，当时，，∴；（2）①如图，连接，当在轴的正半轴时，设，∴，∵的面积为8，∴，即，∴；∴；当在轴的负半轴时，如图，设，同理可得：，∴，即，解得：，∴，经检验符合题意；综上：的坐标为或；②作轴，交轴于点，如图所示：，，∵轴，∴，，，，∵将直线绕点B顺时针旋转后的直线与线段交于点M，∴，，，，，，，，设，则，在中，，∴，解得：，∴．【点睛】本题属于一次函数与几何综合问题．考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，坐标与图形面积，旋转的性质，正确作出辅助线，掌握分类讨论的数学思想是解题关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线：经过点，与轴相交于点，与直线：相交于点，点的横坐标为，点为轴上一动点，横坐标为．

备用图(1)求直线的表达式；(2)过作轴的平行线，分别交直线，直线于点，，连接，①当时，求的长；②当时，请直接写出的值；(3)若点在射线上，连接，当时，请直接写出点的坐标．(4)在（3）的条件下，当时，将绕点顺时针方向旋转，得到，其中的对应点为，的对应点为，连接，直接写出的长．【答案】(1)(2)①的长为，②的值为或．(3)点的坐标为或．(4)【分析】（1）根据点在直线：的图像上，求出，再把点，点代入函数，得到答案．（2）①当时，得到点，的横坐标，分别代入函数，求出答案．②根据题意，设，，可以求出的长，根据绝对值的性质求出答案．（3）由，找到满足的点，然后根据两点的距离公式，等腰三角形的性质，得到点坐标，再利用对称的性质，求出点关于点的对称点的坐标．（4）由已知，在（3）的条件下，当时，点的坐标为，由此利用两点间的距离公式，勾股定理求出．【解析】（1）解：点在直线：的图像上，点的横坐标为，，则，直线：过点，点，，解得，直线的解析式为：．（2）①当时，即点的横坐标为，如图所示，

点，的横坐标均为，点在直线：的图像上，，即，点在直线：的图像上，，即，，的长为；②点在直线：的图像上，点在直线：的图像上，且，的横坐标相同，设，，，整理得：，或，或，的值为或．（3）由（1）知：直线：，直线：，，，如图，过点作于点，，点是点关于点的对称点，，

设点，，，，即，，解得：，点坐标为，又也满足条件，且，，即点的坐标为综上，点的坐标为或．（4）由已知，在（3）的条件下，当时，点的坐标为，如图，连接，过点作于点，

，由旋转的性质，得：，，是等边三角形，，垂直平分，，，在中，，，．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，等边三角形的判定及性质，两点的距离公式，旋转的性质，勾股定理，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，两点的距离公式，等边三角形的判定及性质是解答本题的关键．题型5：动点问题9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于、两点，与直线交于点，直线与轴交于点．

(1)求的值及直线的表达式；(2)在直线上是否存在点，使？若存在，则求出点的坐标：若不存在，请说明理由；(3)如图2，点为线段上的一个动点，一动点从出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，求点在整个运动过程中所用时间最少时点的坐标．【答案】(1)，的表达式为(2)存在，理由见解析(3)【分析】（1）代入得出将代入得出，进而即可求解；（2）根据题意可得到的距离与到的距离相等，则，可得的表达式为，联立，解方程即可求解；（3）过点作轴的垂线，交于点，过点作轴，过点作于点，得出是等腰直角三角形，则，可得当三点共线时，在整个运动过程中所用时间最少进而得出的横坐标为，即可求解．【解析】（1）解：将代入∴∴,将代入∴解得：∴的表达式为；（2）解：∵∴到的距离与到的距离相等，则如图所示，过点作交于点，∴的表达式为

联立解得：∴（3）解：如图所示，

过点作轴的垂线，交于点，过点作轴，过点作于点，∵直线与轴交于点．∴，解得：∴∵直线与轴、轴交于、两点，∴时，当时，，∴，,∴，则是等腰直角三角形则∵轴，∴是等腰直角三角形，则∴∵∴是等腰直角三角形，∴，∴∴当三点共线时，在整个运动过程中所用时间最少

∴的横坐标为将代入解得：∴【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，两直线交点问题，勾股定理，垂线段最短，掌握一次函数的性质是解题的关键．10．如图①，直线：经过点，，且与直线交于点，．

(1)求直线的表达式；(2)由图象直接写出关于的不等式的解集；(3)如图②所示，为轴上点右侧任意一点，以为边作等腰，其中，，直线交轴于点．当点在轴上运动时，线段的长度是否发生变化？若不变，求出线段的长度；若变化，求线段的取值范围．【答案】(1)直线的表达式为(2)(3)线段的长度不变，【分析】（1）将，代入，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式为；（2）求出的解，观察图象可得的解集为；（3）过作轴于，求出，证明，有，，可得，是等腰直角三角形，即知，是等腰直角三角形，从而，线段的长度不变．【解析】（1）解：将点，代入，得．将，代入，得．∴的坐标为，．将，代入，得．所以，直线的表达式为．（2）解：由得∶，观察图象可得，关于的不等式的解集为；（3）解：线段的长度不变，．如图，过作轴，垂足为．

∵，∴．∵，∴．∵，．∴．∴，．由，得，，即．由，，得．∴．∵．∴．∴．∴．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元一次不等式与一次函数的关系，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．题型6：定值问题11．如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点．(1)当时，求点A坐标及直线l的解析式；(2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长．(3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．【答案】(1)，直线的解析式为(2)(3)的长度为定值，理由见详解【分析】（1），令，则，所以，则，可求得，即可求得直线的解析式为；（2）由，得，即可证明，由，，，根据勾股定理求得，所以，则的长是6；（3）作轴于点，可证明，得，，再证明，得，则的长度为定值，它的值为5．【解析】（1），当时，则，解得，，，且点在轴正半轴上，，将代入，得，解得，，直线的解析式为．（2）如图2，于，于，，，在和中，，，，，，，的长是（3）的长度为定值，如图3，作轴于点，和都是等腰直角三角形，且点为直角顶点，，，，，，在和中，，，，，在和中，，，，的长度为定值，它的值为5．【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．12．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．(1)若点D坐标为(12，3)．①求直线BC的函数关系式；②若Q为RS中点，求点P坐标．(2)在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【答案】(1)①；②，(2)结论：，证明见解析【分析】（1）①求出，，两点坐标，利用待定系数法解决问题即可；②设，则，，，根据，构建方程求出即可解决问题；（2）结论：．如图，过点作轴于点．设，用，表示出直线的解析式，设，则，，用，表示出，的长，可得结论．【解析】（1）解：①点在直线上，，，直线的解析式为，，轴，，，，，，设直线的解析式为，则有，解得，，直线的解析式为；②设，则，，，，，，，；（2）结论：．理由：如图，过点作轴于点．设，，，，，，，，，直线的解析式为，设，则，，，，．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．题型7：新定义题型13．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：x…012……4a14…请按要求完成下列各小题：(1)a的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A．函数图像关于x轴对称B．当时，函数有最小值，最小值为C．当时，y随x的增大而增大②直接写出不等式的解集为______．(4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______．【答案】(1)1(2)见解析(3)①BC；②或(4)或或【分析】（1）把代入即可求出a的值；（2）先描点再连线画出函数图像即可；（3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y轴对称，关于x轴不对称，即可判断A错误；根据函数图象可判断当时，函数有最小值，最小值为，得出B正确；根据函数图象可判断当时，y随x的增大而增大，得出C正确；②根据函数图象写出不等式的解集即可；（4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k的范围即可．【解析】（1）解：把代入得：，即，故答案为：1．（2）解：该函数的图象，如图所示：（3）解：①A．函数图像关于y轴对称，故A错误；B．当时，函数有最小值，最小值为，故B正确；C．当时，y随x的增大而增大，故C正确；故答案为：BC；②根据函数图象可知，当或时，；故答案为：或；（4）解：如图所示：设点，，，，，设的解析式为，把，代入得：，解得：，的解析式为：，设的解析式为，把，代入得：，解得：，的解析式为：，设的解析式为，把，代入得：，解得：，的解析式为：，根据图像可知，当直线经过和点时，直线与图像W只有一个交点，把，代入得：，解得：；∵，∴，根据图像可知，当直线与平行时，直线与图像W只有一个交点，且此时直线绕点继续逆时针旋转，直到与平行之前，直线与图像W只有一个交点，∴当或时，直线与图像W只有一个交点；综上分析可知，当或或时直线与图像W只有一个交点．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．14．【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数．【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为．(1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______；(2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程：①填表，x…012…y…53135…②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像；③若，则y的取值范围为______；【拓展提升】(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______．【答案】(1)5；(2)②作图见解析；③；(3)或者．【分析】（1）根据关联函数的定义把代入，即可求解；（2）②根据列表即可作出图形，③分别求出、0、2时，y的值，结合图形即可求得对应y的取值范围；（3）先求出直线与y轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论．【解析】（1）解∶由题意得的关联函数为，∵点在一次函数的关联函数的图像上，且，∴把代入，得，，解得，故答案为∶5；（2）解：②作图如下，③∵当时，，当x=0时，∴时，，∵当x=0时，当时，，∴时，，∴时，；（3）解：如图，设直线为，∵点M、N的坐标分别为、，∴，解得，∴直线为，令，则，∴直线为与y轴的交点为，由题意得，一次函数的关联函数为．当y轴右侧部分与有交点时，把和代入，得，当y轴左侧部分与MN有交点时，把和，代入，得，当，，∴或者，∴关联函数与有1个交点时，b的取值范围为∶或者，故答案为∶或者．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键．题型8：两点间的距离与一次函数15．在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对值函数”：，请类比探究函数．(1)当时，______，当时，______用含的代数式表示；(2)过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，分别与函数的图像相交于、两点点在点的左侧，若，求的值；(3)若一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)1或(3)【分析】（1）根据绝对值的意义即可得到结论；（2）表示出、的坐标，由，得到，即可或；（3）联立两个函数解析式，求得、的坐标，利用两点间距离公式表示出，由，得到，两边平方得到，进而求得，由一次函数图像与函数的图像相交于、两点，把点代入求得的值，利用图像可得答案．【解析】（1）当时，，，；当时，，；故答案为：；；（2）过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，，，，，解得或；（3）画出函数的图像如图，一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，，解得，，设，，，，，，，，把点代入得，，一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，．【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了绝对值的意义，一次函数图像上点的坐标特征，两点间的距离，表示出、、、的坐标是解题的关键．16．阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的的的点A2，连接A2B可以求解．小亮：对称和平移还可以有不同的组合…【尝试解决】在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【灵活运用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________．【答案】[尝试解决]7；[灵活运用]，2；[拓展提升]，【分析】尝试解决：根据作图痕迹分析出，小明的做法是先将A向右平移2个单位长度，再利用对称的性质，两点之间线段最短得到D点的位置，进而得到C点的位置．写出，坐标，利用两点间距离公式求解即可；灵活运用：借助上一问的思路，CD的长度一定，利用平移和对称，转化求其最小值；拓展提升：按照前面的思路，CD的长度一定，利用平移，找到两个固定点与在一条直线上运动的点，利用对称求最小值．【解析】解：[尝试解决]：由题意得，，，，，AC+CD+DB的最小值是7，故答案为：7．[灵活运用]：先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1，与x轴的交点即为D点，以D点为圆心，的长度为半径画圆，与直线的交点即为C点，连接AC、CD、BD，此时AC+CD+DB最小，最小值等于A1B1+CD．作图如下：由作图得，，且，四边形是平行四边形，且，，，，最小值为，此时a为C点的横坐标2，故答案为：，2．[拓展提升]：先将A点向右平移2个单位长度得到，得到平行四边形，，而AC+CD+DA中，CD为定值2，即求的最小值，由题意得：D点在直线上，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点B，连接，与直线的交点为点D，D点向左平移2个单位为C点，如图：与直线垂直，设直线的解析式为，将代入得：，直线的解析式为，联立，解得，，是的中点，设，，解得，，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，直线的解析式为，点是直线与直线的交点，解得，，点是由D点向左平移2个单位长度所得到的点，，此时，，故答案为：，．【点睛】本题考查平移和对称中的最短路径问题，还涉及利用待定系数法求一次函数解析式、求关于直线的对称点等，综合性较强，对学生的作图能力、类比推理能力、计算能力要求都比较高，属于压轴题，解题的关键是掌握对称的性质，通过作图找出最短路径．题型9：一次函数与反比例函数17．图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线和曲线进行了探究：探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当时，x的取值范围是；直线与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则与的比值是多少？探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线，直线与两条曲线分别交于E，F两点，若，则n的值是多少？请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．

【答案】探究一：；探究二：；探究三：【分析】探究一：联立直线l与曲线c解析式得到对应的一元二次方程，根据只有一个交点得到一元二次方程有两个相等的实数根，据此求解即可；探究二：利用图象法求出A，B的坐标，进而求出n的值，进一步求出E，G的坐标，利用勾股定理求出的长即可得到答案；探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，求出，进而证明，再证明，得到，即，则E、F关于直线l对称，进而得到，设，推出，，则，即可求出，，再根据，得到，解方程即可得到答案．【解析】解：探究一：联立得：，∵直线l与曲线c有且只有一个交点，∴关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得，当时，原方程为，解得，不符合题意；当时，原方程为，解得，符合题意；∴；探究二：设，由函数图象可知，当直线l的函数图象在曲线c的函数图象上方时，自变量的取值范围为，∵当时，x的取值范围是，∴，联立得：，∵直线l与曲线c交于A，B两点，∴方程的两个实数根分别为，∴，∴直线l的解析式为，∴，∴；联立，解得，∴；联立，解得或，∴，∴，∴；探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，在中，当时，，当时，，∴，∴，又∵，∴，又∵直线平分，∴，∴，即，∴E、F关于直线l对称，∴，设，联立得：，联立，解得，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，解得（此时直线l与曲线c只有一个交点）（舍去）或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解一元二次方程，正确通过联立对应的解析式，从而表示出对应的交点坐标是解题的关键．18．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．

(1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为．①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为；②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______．A．

B．

C．

D．

(2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为．①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项）A．的图象与x轴没有公共点B．的图象关于原点对称C．在每一个象限内，随x的值增大而减小D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论．【答案】(1)①，或；②C；(2)①BD；②当且且时，公共点的个数为2；当或时，公共点的个数为1；当时，公共点的个数为0【分析】（1）①直接代入求解即可；②通过求在一三象限的最值确定函数图象；（2）①根据函数的性质依次判断即可；②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解．【解析】（1）①解：∵，，∴，把代入得：，两边同乘，得：，解得，，经检验，，都是方程的解．所以当或时，的值为；②由完全平方公式可知：，，，即，当时，，当时，，，∴，，观察四个函数图象，C选项符合题意，故选：C；（2）①解：∵，，∴，A．当时，，所以图象与x轴有公共点，该选项错误；B．任选上的一点，，P关于原点对称点，代入得出成立，故在上，所以的图像关于原点对称，该选项正确；C．当时，，当时，，此时y随x的增大而增大，该选项错误；D．，随着x的增大，越趋近于0，即和的图象越接近，该选项正确，故选：BD；②解：根据题意可得：，即，该方程，当且且时，公共点的个数为2；当或时，公共点的个数为1；当时，公共点的个数为0．【点睛】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键．题型10：一次函数的实际应用19．我校八年级组织“义卖活动”，某班计划从批发店购进甲、乙两种盲盒，已知甲盲盒每件进价比乙盲盒少5元，若购进甲盲盒30件，乙盲盒20件，则费用为600元．方案评价表方案等级评价标准评分合格方案仅满足购进费用不超额1分良好方案盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用不超额3分优秀方案盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用相对最少4分(1)求甲、乙两种盲盒的每件进价分别是多少元？(2)该班计划购进盲盒总费用不超过2200元，且甲、乙盲盒每件售价分别为18元和25元．①若准备购进甲、乙两种盲盒共200件，且全部售出，则甲盲盒为多少件时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？②因批发店库存有限（如下表），商家推荐进价为12元的丙盲盒可供选择．经讨论，该班决定购进三种盲盒，其中库存的甲盲盒全部购进，并将丙盲盒的每件售价定为22元．请你结合方案评价表给出一种乙、丙盲盒购进数量方案．盲盒类型甲乙丙批发店的库存量（件）1007892进货量（件）100______________________【答案】(1)甲盲盒的每件进价是10元，乙盲盒的每件进价是15元(2)①当甲盲盒为160件时，所获得总利润最大，最大利润为1680元②6，92【分析】（1）设甲盲盒的每件进价是x元，则乙盲盒的每件进价是（x+5）元，根据题意可得，求解即可得甲、乙两种盲盒每件进价；（2）①设购进甲盲盒m件（），则购进乙盲盒（200-m）件，售出所得利润为元，根据购进盲盒总费用不超过2200元，列不等式并求解可得，则盲盒售出后总利润，由一次函数的性质即可获得答案；②设购进乙盲盒a件，购进丙盲盒b件，根据购进盲盒总费用不超过2200元，可得，设全部售出所获得利润为元，则，即可获得答案．【解析】（1）解：设甲盲盒的每件进价是x元，则乙盲盒的每件进价是（x+5）元，根据题意，可得，解得元，则元，所以，甲盲盒的每件进价是10元，乙盲盒的每件进价是15元；（2）解：①设购进甲盲盒m件（），则购进乙盲盒（200-m）件，售出所得利润为元，根据题意，购进盲盒总费用不超过2200元，可得，解得，∴，∵甲、乙盲盒每件售价分别为18元和25元，∴，∵，∴随m的增大而减小，∴当时，有元，答：当甲盲盒为160件时，所获得总利润最大，最大利润,1680元；②设购进乙盲盒a件，购进丙盲盒b件，根据题意，购进盲盒总费用不超过2200元，∴，∴，设全部售出所获得利润为元，则，∴，∴当时，可取最大值，，此时，，∴，∵a为正整数，∴，∴购进乙盲盒6件，购进丙盲盒92件时，盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用相对最少．故答案为：6，92．【点睛】本题主要考查了一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出所需方程、不等式以及函数关系式．20．小东和小明家住同一小区，平时小东步行上学，小明骑自行车上学．通过实验，记录了小东步行路程y（m）与步行时间x（min）的数据，如图所示．按照上图的速度步行前往学校，记录下小东10天到达学校所用的时间，如表．上学日期4号5号6号7号8号11号12号13号14号15号到达学校所用时间（单位：min）2524.825.324.925.124.825.324.625.424.8某天早上7：20，小东按照上表的速度步行上学．t（0＜t≤10）分钟后，小明骑自行车以180m/min的速度从小区出发，沿着相同的路线上学．骑行7分钟后，自行车因零件损坏无法继续骑行，小明只好将自行车停在路边非机动车停靠点（停车时间忽略不计），改用步行前往学校．为了赶时间，小明的步行速度不小于小东的步行速度．(1)若t＝8，求小明骑行的路程y（m）与时间x（min）满足的函数关系式；(2)在（1）的条件下，若小明步行的速度和小东相同，则小明能否在7：43之前到校？若能，求出此时小东离学校的距离；若不能，请说明理由；(3)在小明步行的过程中，两人之间的距离最小值不小于距离最大值的一半．若小明比小东早2分钟到学校，则小明的步行速度需要满足什么条件？【答案】(1)(2)能，小东离学校180米(3)小明的步行速度n需要满足72≤n≤【分析】（1）根据图象可直接得出结论；（2）由（1）得：当x＞8时，y=180（x-8）=180x-1440，骑行7分钟后，即x=15，当x=15时，y=180×（15-8）=1260．由图知，除点（16，1188）外，其余点大致在一条直线上，因此，可估计小东步行的路程y与时间x