概率统计习题

1、习题一.设A、B、。是某一随机试验的3个大事，用A、B、。的运算关系表示以下大 事：(1)A、B、。都发生；A、B、C都不发生；4与B发生，而C不发生；A发生，而8与。不发生；(5)A, B、C中至少有一个发生；(6)A、B、C中不多于一个发生；(7) A与8都不发生；(8 ) A与6中至少有一个发生；(9) A、B、。中恰有两个发生.将一颗骰子连掷两次，观看其掷出的点数.令A =两次掷出的点数相同，B =点数之和为10 , C=最小点数为4.试分别指出大事A、8、C以及 AUB、ABC . A-C、C-A s B6各自含有的样本点.在一段时间内，某 交换台接到召唤的次数可能是。次，1次，2次

2、，.记大 事4(攵=1 , 2 ,)表示接到的召唤次数小于K1,试用人间的运算表示以下大事:(1)召唤次数大于2 ;(2 )召唤次数在5到10次范围内；(3)召唤次数与8的偏差大于2.以下命题是否成立,并说明理由：(1) AUB = A3U3 (2) A-B = AB尸（x, y）=（1-）（1-e%）, 0,x 0, y0, 其他.求(x, y)的联合分布密度.8 ,设二维随机变量(X, 丫)的概率密度为/（x, y）二/（x, y）二4.8y（2-x）, 0,0 xl,00 , x+ yl其它求边缘概率密度.10.设二维随机变量(X,y)的联合密度函数为于（x, y）=于（x, y）=0

3、xy其它(1 )求随机变量X的密度函数fx(x)；(2)求概率px+yi.11.袋中有5个号码1 , 2 , 3,4 , 5 ,从中任取3个，记这3个号码中最小的号码为X, 最大的号码为匕(1 )求X与P的联合分布律；(2)x与y是否相互独立？12.设二维随机变量(X, Q的联合分布律258为(1 )求关于X和关于y的边缘分布； 下工 0?150300350.12(2)x与y是否相互独立？12.设二维随机变量(X, Q的联合分布律258为(1 )求关于X和关于y的边缘分布； 下工 0?150300350.12(2)x与y是否相互独立?0.80.050.03y0, 其他.y0, 其他.设X和y是

4、两个相互独立的随机变量，在(0 , 1 )上听从匀称分布，R的概率密 度为/k(7)/k(7)-ey/二1 20,(1)求x和y的联合概率密度;(2)设含有。的二次方程为/+2x+y=o,试求。有实根的概率.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地听从N (160, 202)分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.甲、乙相约9 : 10在车站见面.假设甲、乙到达车站的时间分别匀称分布在9 :00 9 : 30及9 : 10 9 : 50之间，且两人到达的时间相互独立.求以下大事的概率:(1)甲后到;(2 )先到的人等后到的人的时间不超过10分钟.设x, 丫是相互独立的随机

5、变量，它们都听从参数为% 的二项分布.证明z=x+y听从 参数为2, 的二项分布.17,设随机变量(X, P)的分布律为(2 )求匕max ( X, Y的分布律；(3)求心min (X, P)的分布律；(4)求卬=*+丫的分布律.雷达的圆形屏幕半径为总 设目标消失点(K D在屏幕上听从匀称分布. 设加=110.设平面区域D由曲线产1/x及直线y=0, %=l,x=e?所围成，二维随机变量(X, Y)在区域。上听从匀称分布，求（X, 丫）关于x的边缘概率密度?.设二维随机变量（X,丫）的分布律为x与y相互独立，求的值.设随机变量x和y相互独立，下表列出了二维随机变量（x, Y）联合分布律及关于

6、X和R的边缘分布律中的局部数值,试将其余数值填入表中的空白处.2226 .设随机变量X与y的概率分布分别为y -1 o 1,设某班车起点站上客人数X听从参数为人/10）的泊松分布，每位乘客在中途下车 的概率为p（o ,人(丁)=卜.求z = x+yo x0 Q y0的概率密度函数.设x与y相互独立且都听从（0,3）上的匀称分布,求随机变量z = x+y的概 率密度函数.25设（X, y）的概率密度为x,y） =1e 2%22X +），十，Z = yJx2 + Y2，求Z的概率密度.X01P 1/31/31/3P1/32/3且 AX?=产)=1求：(i)二维随机变量(x,y)的分布律；(2)Z=

7、XY的分布律.填空题0.假设X的分布函数为尸(%) = ；61( ).习题4x00 x2,那么X的数学期望石(X) =24(2),设随机变量XB(3,p)且PX1=：，那么既X1)=(2),设随机变量XB(3,p)且PX1=：，那么既X1)=()(3),设随机变量 X 。(1,1),那么 (3 2X)=(),(4).设随机变量*听从泊松分布，且？乂=1=夕乂 = 2,那么(3X 2)= ).1假设随机变量X的概率密度为x(x) = 4 ,那么矶x2)=().(6),设X的密度函数为p(x) =2x 0 xl 人/ 、八 甘L，那么X的方差ZXX)二(0 其匕).(7),设 X 。(0,2)，令

8、 y =0 X (b)E(x2) (4X)2(c)E(X2) (E(X)2(J)(X2) + (E(X)2 = 1.设X听从泊松分布，且。(X +3) = 2，那么PX=0=().(a) 03)21(c)e-2(d)-1 -(4),设随机变量X的分布密度为o(x) =4(一8 % +s),那么。(2- X)=2 Jr( ). TOC o 1-5 h z 23)2(c) -4(d)4.对于两个随机变量x与y，假设石(xy)= E(x)石(y),那么().(a)D(XY) = D(X) D(Y)(b)D(X + F) = D(X) + D(K)(c)x与y相互独立(d)x与y不相互独立.设a,4G

9、d为不为零的常数，随机变量X与丫的协方差为Cov(X,y)= bxy， Xx=aX+b,Yx=cYd ,那么 X与 X 的协方差为().(a)(yXY (b)ac(JXy + bd(c)bdcrXy +ac.设随机变量,x2独立同听从参数为2的指数分布。令y =+ X?),那么( ).成丫)二2s)Q(y)二GM%, y)=(d)CMX j) = 3/t2/i3 ,设随机变量X的分布律为求 E (X), E (X2), E (2X+3).X-1012P1/81/21/81/44,设随机变量X的分布律为X-101PAQ且 (X) =0.1,现羚=0.9,求尸1，尸2,尸3.某人有把形状相像的钥匙

10、，其中只有1把能翻开房门，但他不知道是哪一把, 只好逐把试开.求此人直至将门翻开所需的试开次数X的数学期望.设5次重复独立试验中每次试验的胜利率为0.9 ,假设记失败次数为X,求X的 数学期望.设某地每年因交通事故死亡的人数听从泊松分布.据统计，在一年中因交通事 故死亡一人的概率是死亡两人的概率的,求该地每年因交通事故死亡的平均人数.2.设随机变量X在区间(1,7)上听从匀称分布，求尸2 E(X).设连续型随机变量X的概率密度为“、cixh 0cx 1 . . /0其它又知石(X) = 0.75,求出人的值.设随机变量X的概率密度为0 xl1%2其它X f(x) = 2-X0求数学期望成X).

11、11* .假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2 ,机器发生故障时全天停止工作。假设一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元;发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期 望利润是多少？.设随机变量X, % Z相互独立，且( X) =5 , E( K) =11 , E( Z) =8 ,求下 列随机变量的数学期望.(1 ) Lf=2X+3；( 2 ) V=YZ-4X.设随机变量的概率密度为x. 0 x 1, f(x) - 2 - x, 1 x D(X).随机变量X的概率密度为ex x00 x0设 y = 2X +1,求石(F), O

12、(y).(2)设 Z = 2X ,求 Eg, D(z),16*.设随机变量X和同分布，均具有概率密度/(x) = 1/(x) = 1, 0 x 2 80,其他3 A =力与8相互独立，且P(AU3) = a.试求：(1 ) d的值(2 ) -1的数学期望. X17.设二维随机变量（4y）的联合概率密度为,(x+y) 0 x2,0 y2 8其它求 （xy）.18,设二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度为1其它/(%) = 0 x00y0求 (2X+3”20.设随机变量X与Y相互独立，且E(X) = E(Y) = 0 f D(X) = D(Y) = 1求 E(X + Y)221 ,将一颗匀称的骰

13、子连掷10次，求所得点数之和的数学期望及方差。22.设（X,Y ）的概率密度函数为/a, y)=/a, y)=x+y,0,0 xl,0 y 1,其他.求 cov（x,。23 .设（X,Y）的联合概率分布为求石（x）, e（ y）, zxx）, d（ y）, cbv（x, 丫）及相关系数 “丫 .24*,设X与P是相互独立的两个随机变量，且均听从参数为2的指数分布。试求随机变量乙=4X - 3丫与Z2 = 3X + y的协方差.设随机变量*与均听从标准正态分布，相关系数为05求D(X + Y)D(X-Y).设二维随机变量(X, y)在以(0, 0), (0, 1), (1, 0)为顶点的三角形区

14、域上听 从匀称分布，求Cov (x, y), pxy.27,设随机变量在区间-2,2上听从匀称分布，随机变量1,假设 U L1,假设UL试求。(X+F).28,设随机变量X和的联合概率分布为-101-10100.070.180.1510.080.320.20试求X和y的相关系数.29某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额(元)听从(20,100 )上 的匀称分布，且顾客消费额是相互独立的。试求：(1 )该餐厅每天的营业额；(2 )该餐厅每天的营业额在平均营业额760元内的概率。30.某公司生产的电子元件合格率为99%0装箱出售时：(1 )假设每箱中装1000 只，不合格品在2到6只之间

15、的概率是多少？( 2 )假设要以99.5%的概率保证每箱中合 格品数不少于1000只，每箱至少应多装几只这种电子元件？习题五.设X是掷一颗骰子所消失的点数，假设给定=1 , 2 ,实际计算 P|X/（X）|2 0,并验证切比雪夫不等式成立.正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3 x 109 ,标准差是0.7 x 109 .试采用切比雪夫不等式估量每升血液中的白细胞数在5.2 x 109至9.4 x 1。9之间 的概率的下界.将一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，.试估量产10X3, AoC , P（A） = 0.9 , P（BUC） = 0.8 ,求尸（A-5C）.将10本书任意放到书架

16、上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率.10个号码:1号,2号,10号，装于一袋中，从中任取3个才安从小到大的挨次排列，求 中间的号码恰好我5号的概率.从一批由35件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率. 一批产品共N件，其中切件正品.从中随机地取出件（KM .试求其中恰有力件（加 的正品（记为4）的概率.假如：（1）件是同时取出的；件是无放回逐件取出的；件是有放回逐件取出的.两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率.同时抛m枚硬币，求至少有一枚消失正面的概率.15一个袋内装有大小相同的10个球，其中4个是白球，6个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有

17、两个是白球的概率.16 .某货运码头仅能容一船卸货，而甲已两船在码头卸货时间分别为1小时和2小 时.设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何T台都不需等待码头空出 的概率.17.50个零件，其中48个精度合格,45个外表粗糙度合格,44个精度和外表粗糙度都合 格.现从中任取一个，已验得其外表粗糙度合格，问其精度合格的可能性多大？11 .某商店负责供应某地区1000人的某种商品，设该商品在一段时间内每人需用 一件的概率为0.6,并假设这段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少这种 商品才能以99.7%的概率保证该商品不脱销？12* .某运输公司有500辆汽车参与保险，在一年内汽车

18、出事故的概率为0.006 ,参与保险的汽车每年交保险费800元，假设出事故保险公司最多赔偿50000元，试采用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱不小于200000元概率., P(A)= ；,P(同 A)= ；,P(A 忸) = ；,求 P(AUB). 一IJ乙.设P(A) = 0.5 , P(8) = 0.6 .问什么条件下P(A5)可以取最大值，其值是多 少？ (2)什么条件下P(48)可以取最小值，其值是多少？4.由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨(记为大事A )的概率为:，刮风171(记为大事8 )的概率为,既刮风又下雨的概率为2.求110P(A|8),P(5|A)及P(AU3).

19、某人有5把钥匙，其中两把可以翻开门，从中随机取一把试开房门，求第三次才翻开门 的概率. 一猎人用猎枪向一野兔射击，第一枪距离野兔200m远，假如未击中，他追到离野 兔150m处其次次射击，假如仍未击中，他追到距离野兔100m处进行第三次射击， 此时击中的概率为,.假如这个猎人射击的命中率与他到野兔的距离的平方成反比，求猎2人击中野兔的概率.某种疾病的发病率为0.1%,该种疾病患者一个月以内的死亡率为90% ;且知 未患该种疾病的人一个月以内的死亡率为0.1% ；现从人群中任意抽取一人，问此人在 一个月内死亡的概率是多少？假设此人在一个月内死亡，那么此人是因该种疾病致死 的概率为多少？.将两信息

20、分别编码为A和8传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02 , 而B被误收作A的概率为0.0L信息A与8传递的频繁程度为2 : 1假设接收站收到的信 息是A,试问原发信息是A的概率是多少？.商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1 ,某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这 一箱含有一个次品的概率是多少？.设一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的.开箱检验时，从中随机抽取10件，假如觉察有次品，那么认为该箱产品不合要求而拒收.(1 )求该箱产品通过验收的概率；(2)假设该箱产品已通过验收，

21、求其中确实没有次品的概率.某保险公司把被保险人分为3类：谨慎的、一般的、冒失的。统计 资料说明，上述3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05、0.15和0.30 ;假如谨 慎的被保的人占20%,一般的”占50%,冒失的占30%.(1 )求被保险的人一年内出事故的概率。现知某被保险的人在一年内出了事故，那么他是“谨慎的”的概率是多少？.甲、乙、丙3人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,假设只有一人 击中，那么飞机被击落的概率为0.2；假设有两人击中，那么飞机被击落的概率为0.6；假设三人都 击中，那么飞机肯定被击落，求：飞机被击落的概率.29.电路由电池A与两个并联

22、的电池3、。串联而成,设电池A、B、C损坏的概率分 别是0.3、0.2、0.2 ,求电路发生断电的概率.三人独立地破译一份密码，每人能破译的概率分别是，求密码能被破译的 概率.某类灯泡试用时间在1000小时以上的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000小时以后: (1)都没有坏的概率.(2)坏了一个的概率.(3)最多只有一个坏了得概率.某工厂生产的仪器中一次检验合格的占60 % ,其余的需重新调试.经重新调试 的产品中有80 %经检验合格，而20 %会被判定为不合格产品而不能出厂.现该厂生 产了 200台仪器，求以下大事的概率：(1 )全部仪器都能出厂；(2)恰有10台不合格.甲乙两人投篮命中率

23、分别为0.7和0.8,每人投篮3次，求(1)两人进球数相等的概率.(2)甲比乙进球数多的概率.假设每个人的生日在任何月份都是等可能的，某单位中至少有一人的生日在一月 份的概率不小于0.96,问这个单位有多少人？.某自动化机器发生故障的概率为02，假如一台机器发生故障只需要一个修理工人 去处理，因此，每8台机器配备一个修理工人，试求：(1)修理工人无故障可修的概率；(2)工人正在修理一台出故障的机器时，此外又有机器出故障那么待修理.假如认为 每四台机器配备一个修理工人，还常常出故障得不到准时修理。那么，四台机器至少 应配备多少个修理工人才能保证机器发生了故障待修理的概率小于3% .36*.巴拿赫

24、火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴 时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次觉察一盒空时另一盒恰有，根的 概率是多少(，=1,2,3，N ) ?第一次用完一盒火柴时(不是觉察空)而另一盒恰有 ，根的概率又是多少？习题二1.设随机变量X的分布律为Px=z= ,(% = 1,2.,9),18(1)求常数。；(2)求概率PX=1或X=4;(3)求概率尸2.设随机变量X的分布律为PX=k =2.设随机变量X的分布律为PX=k =kk+y(女=1,2,)，求c的值.3.盒中有5只球，分别编号为1、2、3、4、5号,在从盒中同时取出3只球，用X表示取 出的3只球中最大的

25、编号，写出X的分布律.4,抛一枚硬币，直到消失正面为止，求抛的次数的分布律.一批零件中有9个正品和3个次品，现从中任取一个，.假如每次取出的是次品，那么不再 放回，再取下一个，直到取到正品为止，求在取到正品以前已取得出的次品数的分布律. 10门炮同时向敌舰各射击一发炮弹，当有不少于两发炮弹击中时,敌舰将被击沉，设每 门炮射击一发炮弹的命中率为0.6,求敌舰被击沉的概率.某街道有10部公用 ，调查说明在任一时刻每部 被使用的概率为0.85,求在同 一时刻(1)被使用的 部数X的分布律；(2)至少有8部 被使用的概率；(3)至少有一部 未被使用的概率；(4)为保证至少有一部 不被使用的概率不小于9

26、0%,应再安装多少部公用 ？.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6Q7,今各投3次，求：(1 )两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.一 交换台每分钟收到的召唤次数X听从参数为4的泊松分布，求(1)每分钟恰有3次召唤的概率；(2)每分钟召唤次数大雨的概率.某教科书出版了 2000册，因装订等缘由造成错误的概率为0.001 ,试求在这2000 册书中恰有5册错误的概率.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参与了保险公司的人寿保险.在一年中每个人 死亡的概率为0.002 ,每个参与保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可 从保险公司领取2000元赔偿金.求：(1 )保

27、险公司亏本的概率；(2)保险公司获利不少于10000元的概率.某射手射击一个固定目标，每次命中率为0.3,每命中一次记2分,否那么扣1分,求两次 射击后该射手得分总数的分布函数.0, x 0,.随机变量X的分布函数为F(x) = 0.8,0 % l.随机变量X的密度函数为fx=Aerr -oo%+oo,求：(1) A 值；(2) POX1; (3) F(x).16.随机变量X的密度函数为了(幻=2x, 0 xl0其他求PX0.5 ,(2)2乂=0.5,分布函数方(%).17.连续型随机变量X的分布函数为F(x)=a,bxlnx + cx + d,d,x x e(1 )试确定常数a,b,c,d的

28、值P|x|,l-ln2.在区间0 , a 上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0 , 区中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.某条线路的公共汽车每隔15min发一班车，某人来到车站的时间是随机的，问此人在车站至少要等6min才能上车的概率是多少？.设随机变量在(0,5)上听从匀称分布,求关于x的一元二次方程4/+4Xr + X + 2 =。 有实根的概率.某类节能灯管的使用寿命(单位:h) X听从参数为 = 工的指数分布，任取一根 2000灯管，求(1)能正常使用1000h以上的概率；(2 )正常使用1000h后还能使用1000h以上的概率.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟计)听从指数分布(1) .某顾客 在窗口等待服务，假设超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表示一个月内 他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求口丫21.设K/V(3 , 22),(1 )求8 2