概率论与数理统计第二章测验题答案

1、其次章测验题答案一.填空(共28分，每题4分).投掷一枚匀称对称的硬币，以X表示正面消失的次数，那么随机变量在区间(0.5, 1.5)取值的概率为应解：随机变量X的分布律为X01Pk0.50.5所以P0.5 X2u2 + P-2又由于随机变量J听从参数为(1,6)的匀称分布，所以其概率密度函数为1/(x) = 61,1 x 6,1 x 6=2 = f(t)dt = dt = ,Qdt = 0.-004故P方程有实根 = P&2 + P l = l-PX=0f 得到 PX=0 = _,即 C；(l_p)2=(l_p)2=_,9992所以(1 p)二，从而l = 1-PY = 0 = l-Cp()

2、(l-p)3 =l-(l-p)3 =1 34.设X的概率密度函数为/(x) =,X 0,19?,xe3,6,假设 k 使得PXX = ,那么 k 的930,其它解：此题用画图的方法来解：以下图中红线即为/(x)的图像/(1)1329x=kS2S1012 3 4 5 6x=bS2.012 3 4 5 6.其中S1表示由红线/(x) =，与x轴所夹局部的面积，即POX1=,；2S2表示红线/(x) =与x轴所夹局部面积，即P3XZ = = P3WX6,所以k的取值范围只能在1和3之间，即.设随机变量XN(l,4),那么尸flvXW2= 0.1915.(0.5) = 0.6915.)解：由XN(l,

3、4)可知， =1,。= 2.首先进行正态分布的标准化，在查表计算P10)此(+00)= 一6洛选项中仅有选项(A)符合这个条件.2.假如X的可能值布满区间那么sinx可以成为这个随机变量的密度函 数.(此题有两个答案)(A) 0,0.5tt(B)。5肛加(C)。乃(D) 71,1.5/1解：x的可能值布满某区间a b,即表示x落在这个区间以外的概率为o,密度函数在 此区间以外就等于0.又由于盼望sinx为密度函数，那么采用密度函数的性质rb/(X)公=1来判定，即=广J 00J 00sinxdx = j sinxdx,通过对这四个选项的计算，发 觉只有(A)、(B)满意这个条件.c Jx|l(

4、A) 21(B) J (C) -(D)-27r7171解：采用密度函数的性质来做:c-arcsinxL/所以c = .TC.设随机变量XN(q2),那么概率PX的值D.(A)与有关，但是与o无关(B)与/无关，但是与cr有关(C)与和。均有关(D)与4和。均无关解：由正态曲线可知，PXc,那么c的值为B.(A)0(B)4(C) -(D)。解：由PX Vc = PXc可知，正态曲线与x轴所夹局部在直线x = c两侧 的面积相等，那么x = c即为曲线对称轴，所以。=4.设随机变量X的概率密度为/(x),且/(-%) = /(%),b(x)是X的分布函数, 那么对任意实数。0,b(-)=B(A)l

5、-7(x)6k (B)l-7(x)tZx (C)/(D) 2尸1解：由F(-x) = /(%)可知，密度函数的曲线是关于y轴对称的，那么由曲线与x 周所围局部的面积及相互关系可知2-0) = 1-砥。)，F(G =;一/(%)公=;1(%)式三.解答题(请写明求解过程，共48分)1. (12分)连续型随机变量X的分布函数为0, X -QXF(x) = A + B arcsin-,-axG)al,x a求A,B;/(%).解：(1)采用分布函数的性质求其中的未知系数：由于X是连续型随机变量, 所以其分布函数F(x)在整个实轴上是连续函数，即在x = -x =，两个点均连续， 因此有： TOC o

6、 1-5 h z n7T在 = 点去左极限：lim F(x) = lim 0 = 0 = A + Barcsin =AB元一(一)-q 2在 x = a 点取右极限：lim F(x) = lim 1 = 1 = A+ Barcsin = A + B x-a+xa+a2所以解得a=L,3=_L.2710,x-a xF(x) = a(2)对分布函数在各区间求x的导数得到，留意/(x)的不连续点x = -a和x =-，对这两 个间断点赋值为零即可，所以有/ (x) = 5/ (x) = 50,其它 X.1a1 -x20,其它2. (12分)X的密度函数为-ax00,x 0求尸(%);(2)PX=1;

7、尸XN1解：(1)分别考虑x0和x0两种状况:当x0时，F(x) = PXx = J： /力=e-ldt =(采用分部积分法)=-(te11() j：e!dt = -xex + eldt = -xex -d(el) = 一xex -el |() = -xe-x-e-x + l = l-(x + l)e-x1(x+l)G X0所以b(x)=I ,(留意此分布函数为连续函数.)0,x0V(2)消失概率密度了，所以X肯定是连续型随机变量，所以单点处的概率为0.假如题目中只给出了分布函数，且分布函数为连续函数，那么单点处的 概率也为0,不用争论X是什么类型的随机变量。 PX21 = 1 PX1 = 1

8、 PXK1=1/=1 1 (1 + 1)/ = 21.(8分)连续型随机变量的密度函数为fl I x L1 x 1其它求(1)P24X3；(2)/(2).4l + x,-l % 0解：由题意得到 /(x) = i-x,Ox0,其它 TOC o 1-5 h z 11_jo1(1) P-2X-=j f(x)dx =f(x)dx + j + 4 f(x)dxTo1=j 2()公 +J (l + x)tZr +Jj(l-x)6k1 723=2 32 32 .(2)法一：采用分布函数的定义直接结算： f1f0flf2b(2) = P X 3 =公=-dx = -.设随机变量Y表示观测到大事A发生的次数，

9、由于一共进行三次独立观测，每次观测 的观测值要么大于3,要么不大于3,所以是进行了三重伯努利试验，即丫。（3,p）, 2其中 p = P（A） = _,20所以欲求的2（丫2 2）=。丫 = 2+?丫二3二2（1_）+23（1_）0=.（5分）设X听从参数为4 = 2的指数分布，求y = l-2X的概率密度解:解:由题意可知X的密度函数为fx（x）=2e-2x00,x0又由于y = l-6一2是严格单调增函数，且当次,。时，0yl,其反函数为1 ,、 dx I -I Ix =ln(l - y),=2dy 2l-y 2(1 y)那么由书上52页定理可知：dx dy0,其它0,其它0,其它0,其它（6分）设XN（0,l）,求丫 = 4-X2的概率密度函数.I1解：由于 X N(0,l),所以/X(x) = =e 2,_00Vx+8.由于y = 4-/不是单调函数，所以不能用定理直接做。首先先求 Y 的分布函数:FY(y) = PY y = P4- X2 4-y.当 4 y4 时，F Y(y) = PX2 4-y = 19 所以,人(y) = 0；当4一y0,即 y 4时，Fr(j) = Pyy = P4-X24-y = P(XV47uX 4+PX/2-i(4-