高中数学-知识讲解-对数及对数运算-提高-

1、对数及对数运算学习目标1理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；了解常用对数与自然对数的意义；能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明.能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用.【要点械理】要点一、对数概念1对数的概念如果沖=N(aO,且GHl),那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.M中a叫做对数的底 数，N叫做真数.要点诠释：对数式IOgaN=b中各字母的取值范围是：a0且aHl, N0, bR.对数IOg“N(d0,且aHl)具有下列性质：O和负数没有对数，即N0；1的对数为0

2、,即IogW 1 = 0；底的对数等于1,即IOgat7 = 1.两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，1OgH)N简i己作IgN.以e(e是一个无理数，e = 2.7182) 为底的对数叫做自然对数，logt, N简记作InN.对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化它们的关系可 由下图表示.指数式对数式对数指数幕真数IIab=NIOgaN=b底数由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则己知 IOg“ Moga NW O且d 1, M、N 0)正因数的积的对数等于同一底数各个因

3、数的对数的和；Iog“(MN) = IOgrt M + IOg“ N推广：IOg(MNJt) = IOEM+loEN2+logM(N N2、Nk 0)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数：MIOg “亓= IogaM - IogaN正数的幕的对数等于幕的底数的对数乘以幕指数；IOga Ma =QlogaM要点诠释：(1、)利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能 成.: log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与 log2(-5)是 不存在的.

4、不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起来，即下面的等式是错误 的：IOga(MN)=logaM+logaN,Ioga(M-N)=IogaM-IOgaN,M IOgrtMN Iogn N要点三、对数公式对数恒等式：CIb = N Jn小=NIOg “ N = b换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0, al, M0的前提下有：IOg“M = log“ Mn (HeR)令 IOgaM=b,则有 ab=M, (ab)n=Mn,即(a)b =Mni 即 b = IOg It Mn ,即:1Og“ M = IOg ” Mn.IOga M =M (c O,c 1

5、),令 IOgaM=b,则有 ab=M,则有 log O,CHI)log.即 iOgC a = logt. M ,即 b = 臥 M ,即 IOga M = SgC M (c 0,c 1) logt. Qlogt. a当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以 得到一个重要的结论：IOga b = ( O, 1,Z? O, ? 1).IOgb G【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：(I)IOg216 = 4： (2)IOgl 27 = -3 ； (3)Iog石牙=3； (4)53 =125

6、: (5)21 =-i； (6)fJ =9.【解析】运用对数的定义进行互化.(1)24 = 16； (2)f-j =27； (3)(VJ) =x； (4)log5125 = 3; (5)Iog2- = -1: (6)log1 9 = -2 .【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决 问题的重要手段.举_反三:【变式1】求下列各式中X的值：(I)IOgl6 X =(2) IOgK8 = 6(3)IgIOOO=X (4)-2 Iiie2 =X【答案】(1) - ； (2) 2 ； (3) 3； (4) -4.4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幕

7、的运算性质求出X._1-12(-L)1(I)X= (16) 2 = (4) 2 = 42 = 4-1 =；41 1 _(2)X6 =8,所以X = (x6)i = (8/ = (23r = 2 = 2 ；【高清课堂：对数及对数运算369068例1【变式2】计算：Iog2 4;Iog2 8;Iog2 32并比较.【答案】2 3 5【解析】Iog2 4 = Iog2 22 = 2;Iog2 8 = Iog2 23 = 3;Iog2 32 = Iog2 2Iog“=IOgrt(x2y)-Iog“ = 2IOga x+-log y-Iog“ Z VZ23【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质

8、进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们 必须准确地把握它们.在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幕的对数 运算对应着对数的和、差、积得运算.举一反三：【变式1】求值(1) 2log5 25 + 3log 2 64 - 81OgK)I(2)2lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2lg50+(lg2)2【答案】(1) 22； (2) 1： (3) 2. 【解析】(1) 2Iog5 25 + 31og2 64-81OgIo 1 = 5 .类型二、利用对数恒等式化简求值例 2.求值：71+iog75【答案】35【解析】71+log75 = 77lo75 = 7x5

9、= 35.【总结升华】对数恒等式lo=7V中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.类型三、积、商、慕的对数【高清课堂：对数及对数运算369068例3】举一反三：【变式1】求lologferlog的值(a, b, cR+,且不等于1, N0)【答案】N【解析】将幕指数中的乘积关系转化为幕的幕，再进行运算.例3.用IOg“ X,logfl y,log Z表示下列各式【解析(1) IOgrt 空=Iog“ x+log y - IOga Z ； IOga(Xy) = IOgfl + IOga y5 = 3 logfl x+51OgUy ；= 21og5 52 +31og22-80

10、= 4 + 18-0 = 22.原式=lg2(l+lg5)+(lg5)Fg2+lg21g5+(lg5)jg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=l原式=21g5+lg2(l+lg5)+(lg2)2 =21g5+lg2+lg21g5-Klg2)2=l+lg5+lg2(lg5+lg2)=l+lg5+lg2=2.【变式2】(1)已知2=5v=10,则匕上=.(2)己知 log, 3 = a,3b = 7,求Iog12 56 .-A./ 、 Z X 3 + ab【答案】(1) 1：(2)+ a【解析】I 2v = 5v=10,. X = Iog210 , y = Iog510 ,.2 = 1

11、+ l = lg5+lg2 = lgl = l.Xy y X故答案为：1.(2) VIOg23 = , .2=3,又3：=7,故7 = (2a)b=2ab故56 = 2讪，又 12 = 34 = 24 = 2fl+2,从而56 = (2)=12177,4“ I 甞 3 + ab故 IOgn 56 = IOgP 12 -+a =.2 + a类型四、换底公式的运用例 4.己知 Iog18 9 = ,18 = 5 ,求 Iog36 45 .2-a【解析】解-： /Iog18 9 = tz,18fe = 5 , . Iog18 5 = Z?,于是log 伕k45. k(9x5) _1。环9 + 10环

12、5_ a + b _a + b 疋 S IOglS 36 IOgIS(182)1 logs 21 + 10gs18 2-t7解法二:V logs9 = t,18fr =5 , .Iog185 = /,于是 log i5-k45-k(95). k9 + k5C + b疋 S IOglS 3618 21ogs18-logs9 2 ak -y解法三：VIOgls9 = ,18fr=5, .lg9 = lgl8,lg5 = lgl8,.IO 彳5_lg45_lg(9x5)_ Ig9 + lg5 _ lgl8 + blgl8 _ + bg 36 I 182一 21gl8-lg9 21gl8-dlgl8

13、2 *IgV解法四：.Iog8 9 = , 18=9.又 V 18 = 5,/. 45 = 59 = 18z,18 = 18a+fc.令Iog3645 = X,则36=45 = 18“，2即36,呼爭=叱（裁=吹,. XlOgIS-= + /?.a+ba+b X = lgs IS2-Iog18 92-a【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的 性质.（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式.（3）解决这类问题要注意隐含条件“log a = 1”的灵活运用.举一反三：ilog 5 【变式 I】求值:(1)(

14、log4 3 + Iog8 3log3 2 + Iog9 2) ； (2)Iog8 9 Iog27 32 ； (3)92【答案】(1) -； (2) ； (3).4925【解析】(Iog4 3+ Iog8 3)(1Og 3 2 +Iog9 2)-(IOg2 3Iog2 4log3Iog2 8)Ug32 +Iog3 2Iog2 3 Ilogs 21gz 3 * * * * *)(log3 2 += log23log32 = Z 0Z4i-log, 5 L-IOga 2592=9-325(2)7Igl4-21g-lg7-lgl8(2) Iogs 9 Iog27 329 Ig32 _ 23 52 _

15、 108F3233 =Tlog3H=A25法一：91s5 = 321g3S) = 31-1-11=（1）计算：（y）05+9 2 - Iog2 32 +122 3 - + Iog2 3 Iog9 4 = 3法二:类型五、对数运算法则的应用例5. （2016春安徽桐城市月考）(3)【解析】(I) =(Ir32-10g2 + 23131-lg.g= + l-5 + 6-l + l = 33(2)原式=lg(27)-2(Ig7-Ig3) + Ig7-lg(32 2)= 2 + lg7-21g7 + 21g3 + lg7-21g3-lg2 = 0393原式=Iog2(5 + IOg I - + log

16、 2 6 ) = Iog2(5 一 Iog2 - + Iog2 6) = Iog2 8 = 3 z 44V Iog2 X = Iog4(x+2),.IgX = IgCr+ 2)*2 lg4.IgX = IgCr+ 2)*221g2解得A-I或x=2,.0,：.x=2举反三:【变式1】求值：7lg2【答案】2解析7lg2 (丄严=7log71 (i)lg71 = (7log72)log710 (I)IoS7io .(丄尸=. Iyog7io .2 = 2. 另解：设 7lg2 (I)IgI=m (m0). Ig 7lg2 += Ig ,=2. Ig2lg7 + lg秩lg* = lg加， Ig2

17、lg7 + (lg7-l)(-lg2) = lg, . Ig2=lgm, ：. 2=m,即 7塩 例 6.设函数/(x) = Ig(OX) Ig =当 67=0.1,求/(IOOO)的值.若/ (10) =10,求 的值；【思路点拨】(I)当4=0.1时，/(X) = Ig(O.ix)ig丄r,把A-=IOOO代入可求10.v(2)由 /(10) = Ig(10)Ig= (1 + lgfl)(lg-2) = Ig2 -lgt?-2 = 10,可求Iga ,进而可求 【答案】(1) -14； (2) a = IQ4或Q = IOTIOx2 *【解析】(1)当 =0.1 时，/(x) = Ig(O

18、.lx)Ig(2) V(10) = Ig(IOa) Ig盒=(1+Ig)(lga-2) = Iga-Iga-2 = 10： lg2-lg7-12 = 0(Igd 4)(lg + 3) = 0. IgQ = 4或Iga = -3/. a = IO4 或Q = IoT举一反三：【变式1】若,b是方程2(lg-lgx4 + l = 0的两个实根，求Ig() (IogaZ7 + 1Ogfca)的值.【答案】12【解析】原方程可化为2(lgx)2-41gx+l = 0 ,设Igx = Z ,则原方程化为2t2 4f +1 = 0. /. 1 +/, = 21,=.由已知o,b是原方程的两个根,即 lg + l