人教版高中数学选修2-1教案学案：抛物线的简单几何性质

1、 抛物线的简单几何性质课前预习学案一、预习目标回顾抛物线的定义及抛物线的标准方程， 预习抛物线的范围、 对称性、 顶点、 离心率等几何 性质二、预习内容1、复习回顾（1）抛物线定义叫作抛物线； 叫做抛物线的焦点。 叫做抛物线的准线（2）抛物线的标准方程不同点 ；（3）回顾练习已知抛物线 y2 2px的焦点为 F，准线为 l，过焦点 F的弦与抛物线交于 A 、B两点，过 A、 B 分别作 APl，BQl，M 为 PQ 的中点，求证： MFAB11已知点 F（ ,0） ，直线 l ：4与线段 BF 的垂直平分线交于点(A)圆（B） 椭圆（C）双曲 线（D） 抛物线在抛物线 y22x 上方有一点 M

2、（3， ），P在抛物线上运动， |PM|=d1,P 到准线的距离为 3d2，求当 d1 +d 2 最小时， P 的坐标。2、预习新知（1）根据抛物线图像探究抛物线的简单几何性质范围 ： ；对称性：顶点： ；离心率： ；（2）自我检测：1x，点 B 是直线 l 上的动点，若过 B 垂直于 y 轴的直线4M ，则点 M 所在曲线是（ ）2设抛物线 y2 2x的焦点为 F ，以P(9 ,0) 为圆心， PF长为半径作一圆， 与抛物线在 x轴上方交于 M,N，则 |MF | |NF |的值为 ( ) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark18 o Current Docu

3、ment (A)8(B)18(C) 2 2(D)43过点 ( 3, 1) 的抛物线的标准方程是焦点在 x y 1 0 上的抛物线的标准方程是4抛物线 y2 8x的焦点为 F ，A(4, 2)为一定点，在抛物线上找一点 M ，当|MA| |MF | 为最小时，则 M 点的坐标 ，当 |MA| |MF |为最大时，则 M 点的坐 标三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑 ，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、 画抛物线图形；3在对抛物线几何

4、性质的讨论中，注意数与形的结合与转化二、学习过程1、定义；2、标准方程；3、几何性质范围 ： ； 对称性：顶点： ；离心率： ；4、完成下表标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率y2 2pxp00,0px2e1FOylx0,0 x轴2p,0e12x 2py p00,0py2e10,0y轴e1思考问题：抛物线是双曲线的一支吗？为什么？5、分析例题例 1 已知抛物线关于 x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M （2, 2 2），求它的标准方程，并用描点法画出图形例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的FE直径 60cm，灯深为 40cm，求抛物线的

5、标准方程和焦点位置 例3 过抛物线 y2 2 px的焦点 F任作一条直线 m，交这抛物 线于 A、 B两点，求证：以 AB为直径的圆和这抛物线的准线相切例 4 已知抛物线 x2 4y与圆 x2 y2 32相交于 A,B两 点，圆与 y 轴正半轴交于 C 点，直线 l 是圆的切线，交抛物线 与M , N ，并且切点在 ACB 上（1）求 A, B,C三点的坐标（2）当M , N两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线 l 的方程课后练习与提高1过抛物线 y2 4x的焦点作直线 交抛物线于 A x1 , y1 ， B x2, y2 两点，如 果 x1 x2 6 ，那么 | AB |=（ B ）（A）1

6、0（B）8（ C）6（D）42已知 M 为抛物线 y2 4x 上一动点， F 为抛物线的焦点，定点 P 3, 1 ，则|MP | |MF | 的最小值为（ B ）（A）3（B）4（C）5（ D） 63过抛物线 y ax2a 0 的焦点F 作直线交抛物线于P 、 Q 两点，若线段 PF 、QF 的长分别是 p、 q，则11=（ C ） pq（A） 2a（ B） 12a（ C） 4a（ D） 4 a4过抛物线 y2 4x焦点 F 的直线 l它交于 A、 B两点，则弦 AB的中点的轨迹方程是 （ 答案： y2 2 x 1 ）定长为 3的线段 AB的端点 A 、 B在抛物线 y2 x上移动，求 AB中

7、点M 到y轴距离的 最小值，并求出此时 AB 中点 M 的坐标5 2 5（答案： M , , M 到 y 轴距离的最小值为）4 2 4 6根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图（1）顶点在原点，对称轴是 x 轴，顶点到焦点的距离等于 8（2）顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过 P（4， 2）点（3）顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上点 P（m， 3）到焦点距离为 57过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、 B两点，若 A、B在准线上的射影是 A2，B2，则 A2FB2等于8抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为 16，求抛物线方程29以椭圆 x y 2 1的右焦

8、点， F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆5在准线所得的弦长10有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4 米时，水面宽 40 米，当水面下降 1 米时，水面宽是多少米？抛物线的简单几何性质教学目的：1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、 画抛物线图形；3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点： 抛物线的几何性质及其运用教学难点： 抛物线几何性质的运用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具 ：多媒体、实物投影仪内容分析 ：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要

9、的地位和作用 本 节知识在生产、 生活和科学技术中经常用到， 也是大纲规定的必须掌握的内容， 还是将来大 学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重 要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、 离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐 标和准线方程时， 首先要判断抛物线的对称轴和开口方向， 一次项的变量如果为 x (或 y )， 则 x 轴(或 y 轴)是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的 标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出

10、方程中的参数 p本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、 例 1、例 2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程 ：一、复习引入： 1抛物线定义：平面内与一个定点 F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F叫做抛2抛物线的标准方程：相同点： (1) 抛物线都过原点； (2) 对称轴为坐标轴； (3) 准线都与对称轴垂直，垂足与1焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即42p p42不同点： （1）图形关于 X 轴对称时， X 为一次项， Y 为二次项，方程右端为2px 、左22 端为 y2

11、 ；图形关于 Y 轴对称时， X 为二次项， Y为一次项， 方程右端为 2 py ，左端为 x2（2）开口方向在 X 轴（或 Y 轴）正向时，焦点在 X 轴（或 Y 轴）的正半轴上，方程右端 取正号；开口在 X 轴（或 Y 轴）负向时，焦点在 X 轴（或 Y 轴）负半轴时，方程右端取负 号二、讲解新课：抛物线的几何性质1范围2因为 p0，由方程 y2 2px p 0 可知，这条抛物线上的点 M的坐标 （x ， y）满足不 等式 x0，所以这条抛物线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时， |y| 也增大，这说明抛物线向 右上方和右下方无限延伸2对称性以y 代y，方程 y2 2px p 0 不变，

12、所以这条抛物线关于 x 轴对称，我们把抛物线 的对称轴叫做抛物线的轴3顶点2 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 在方程 y2 2px p 0 中，当 y=0 时，x=0，因此抛物线 y2 2px p 0 的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比， 叫做抛物线的离心率， 用 e 表示由抛物线的定义可知， e=1对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率y2 2pxy0,0 x轴p,02xpe1p0lOFx2y22pxp0FOylx0,0 x轴p,02x 2pe1x2 2pyp00,0y轴0,p2y 2pe1x22pyp00,0y轴

13、0, 2py 2pe1注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异， 当抛物线上的点趋向于无穷远 时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也 就是说接近于和对称轴 所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明 (反证法)假设抛物线 y22px 存在渐近线 y mx n，A( x， 物线上一点，A0( x，y 1)为渐近线上与 A 横坐标相同的点如图，mx ny1 yy )为抛则有 y2px 和 y1 mx n当 m 0 时，若 x

14、 ，则 y1 y当 m0 时， y1 y n 2px ，当 x，则 y1 y 这与 y mx n 是抛物线 y2 2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例： 例 1 已知抛物线关于 x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M (2, 2 2)，求它的标准方程，并用描点法画出图形 分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为 y2 2px ，因为它过点 M(2, 2 2)，所以 （ 2 2） 2 2p 2，即 p 2 因此，所求的抛物线方程为 y2 4x 将已知方程变形为 y 2 x，根据 y 2 x计算 抛物线在 x 0的范围内几个点的坐标， 得x

15、01234y022.83.54描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评： 在本题的画图过程中， 如果描出抛物线上更多的点， 可以发现这条抛物线虽然也 向右上方和右下方无限延伸， 但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线， 也就是说， 抛 物线没有渐近线例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的 直径 60cm，灯深为 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物 线上一点坐标，从而求出 p 值 解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶

16、点 （ 即抛物线的顶 点 ） 与原点重合， x 轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程是 y2 2px （p 0） 由已知条件可得点 A的坐标是 （40 ，30） ，代入方程，得 302 2p 40，即 p 454所求的抛物线标准方程为2 45y2 x2例 3 过抛物线 y22 px的焦点 F 任作一条直线 m，交这抛物线于 A、B 两点， 求证： 分析： 证明：C，则以 AB为直径的圆和这抛物线的准线相切 运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷 如图设 AB的中点为 E，过 A、E、CyHBEDOFAxB分别向准线 l 引垂线 AD，EH，BC，垂足为 D、H、AFAD，BFBCABAFBF

17、AD BCAB为直径的圆 E 的半径，且 所以 EH是以 四、课堂练习 2 EHEH l ，因而圆 E和准线 l相切1过抛物线y24x 的 焦点作直线 交抛物线于 A x1 , y1 ， B x2, y2两点，如x1 x2 6 ，那么| AB |= ( B )A)10B)8C)6D)4P3,1，2已知 M 为抛物线 y2 4x 上一动点， F 为抛物线的焦点，定点|MP | |MF | 的最小值为（ B ）A)3B)4C） 5（D） 60 的焦点 F 作直线交抛物线于P 、 Q 两点， 若线段 PF 、 QF 的长分别是 p 、q ，则 11=( C )pq（A） 2a（B）1（C） 4a（

18、D） 42aa3过抛物线 y ax2 a4过抛物线 y2 4x焦点 F 的直线 l它交于 A、 B两点，则弦 AB的中点的轨迹方程是 （ 答案： y2 2 x 1 ）5.定长为 3的线段 AB的端点 A 、 B在抛物线 y2 x上移动，求 AB中点M 到y轴距离的 最小值，并求出此时 AB 中点 M 的坐标5 2 5（答案： M , , M 到 y 轴距离的最小值为）4 2 4五、小结 ： 抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等 六、课后作业 ：1根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图 （1）顶点在原点，对称轴是 x 轴，顶点到焦点的距离等于 8（2）顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过 P（4， 2）点（3）顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上点 P（m