高考数学排列组合二项式定理概率

1、第15讲排列组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求： TOC o 1-5 h z .掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概

2、率乘 法公式计算一些事件的概率 .会计算事件在 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.I、随机事件的概率例1某商业银行为储户提供的密码有0, 1, 2,，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解(1)储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0, 1, 2,，9这10种,16正确的结果有1种，其概率为 一，随意按下6个数字相当于随意按下 106个，随意按下6个数字 10661相当于随意按下10个密码之一，其概率是 一6 .10(2)以该人

3、记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下， 随意按下一个数字， 等可能性的结果为0,1, 2,，9这10种，正确的结果有 1种，其概率为 .10例2 一个口袋内有 m个白球和n个黑球，从中任取 3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？(用组合数表示)解 设事件I是从m个白球和n个黑球中任选 3个球”，要对应集合 11,事件A是从m个白球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且 Card(I 1)=Cm n,Card (A)Cm *于是由瑞Cm c：C：nn、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取 3件，求： (1)恰有1件次

4、品的概率；(2)至少有1件次品的概率.解(1)从20件产品中任取3件的取法有C；0,其中恰有1件次品的取法为 c；c5 C沁35恰有一件次品的概率P= 3.C3076(2)法一从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件 A,恰有2件次品为事件 A, 3件全是 次品为事件A3,则它们的概率21C15C5 105P(A1)= 手=P(A2)C202282 1_CT 228, P(A3)C32Co 228，而事件Ai、隧、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率P(Ai+A+A3)=P(A i)+P(A 2)+P(A 3)=137228法二记从20件产品中任取 3件,3件全是正品为事件 A,

5、那么任取3件，至少有C3根据对立事件的概率加法公式P( A)= 1 P(A) 1 TC20137228例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块 4种花色，每种 取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.13张，共52张，从1副洗好的牌中任解 从52张牌中任取4张，有C；2种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“ 4张全是黑桃”，共有 C13 c39 c：种取法C13 C39C13C2注研究至少情况时，分类要清楚。田、相互独立事件同时发生的概率 例5猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但200米.已距离150米.如果第二次射击又未

6、中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率解记三次射击依次为事件 A, B, C,其中P(A)11一,由一P(A)22k i.2 ,求得 k=5000。1005000 2P(B) 2 - , P(C)1502 9500022002例6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为, 造的产品中，分别任意抽取一件，求：(1)其中至少有一件废品的概率；1 人, 命中野兔的概率为8而乙机床废品率为，而它们的生产是独立的，从它们制(2)其中至多有一件废品的概率解：设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”则 P (A) =

7、, P(B)=,(1)至少有一件废品的概率(2)至多有一件废品的概率IV、概率内容的新概念较多，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结:类型一非等可能”与 等可能”混同例1掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率.1错解 掷两枚骰子出现的点数之和2, 3, 4,，12共11种基本事件，所以概率为P= 11剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1, 1),而点数之和为 6有(1, 5)、(2, 4)、(3,3)、(4, 2)、(5, 1)共5种.事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所 5得点数之和为6”的概率为P=.36类型二互斥”与对立混同例2把红、黑、白、蓝

8、4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4个人，每个人分得 1张，事件甲分得红 牌”与“乙分得红牌”是()A ,对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对错解 A剖析 本题错误的原因在于把互斥”与对立混同，二者的联系与区别主要体现在：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.事件 甲分得红牌”与 乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生， 一个不发生，可能两个都不发生，所以应选

9、 C.类型三 互斥”与独立混同例3甲投篮命中率为 O. 8,乙投篮命中率为，每人投 3次，两人恰好都命中 2次的概率是多少？错解 设甲恰好投中两次”为事件A,上恰好投中两次” 为事件B,则两人都恰好投中两次为事件A+B,2222P(A+B)=P(A)+P(B) : C3 0.8 0.2 C30.70.3 0.825剖析本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为 甲恰好投中两次”与 乙恰好投中两次”的和.互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件 相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件 间的关系，但所描绘的

10、关系是根本不同.解： 设 甲恰好投中两次”为事件A,乙恰好投中两次”为事件 B,且A, B相互独立， 则两人都恰好投中两次为事件A B,于是P(A -B)=P(A)XP(B)=四、高考题选讲1甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.(I )甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？(n)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(2000年新课程卷)2如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统Ni、N2.当元件A、B、C都正常工作时，系统Ni正常工作；当元件A正常工作且元件 B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知

11、元件A、B、C正常工作的概率依次为，,.分别求系统 Ni、N2正常工作的概率 Pi、P2. (2001 年新课程卷)3某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是(相互独立)(I)求至少 3人同时上网的概率;(n)至少几人同时上网的概率小于?(2002年新课程卷)4有三种产品，合格率分别是，和，各抽取一件进行检验(I )求恰有一件不合格的概率;(n)求至少有两件不合格的概率.(精确到)(2003年新课程卷)5.从10位同学(其中6女，4男)中随机选出 3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 3位男同学能通过测验的概率均为-试求：5(I)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率

12、;d) io位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率(2004年全国卷I )解：本小题主要考查组合，概率等基本概念,解决实际问题的能力，满分12分.解：(I)随机选出的 3位同学中,独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识至少有一位男同学的概率为Cl5；C306(n)甲、乙被选中且能通过测验的概率为C1C8C3C1012分6.已知8支球队中有5 125支弱队，以抽签方式将这 8支球队分为 A、B两组，每组4支.求:(I ) A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率;(n) A组中至少有两支弱队的概率(2004年全国卷n解：(I)解法一：三支弱队在同一组的概率为c5C：c5C；故有一组

13、恰有两支弱队的概率为解法二：有一组恰有两支弱队的概率典C84C；C；C；(n)解法一：A组中至少有两支弱队的概率c；c5C84C84解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1,由于对1A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以 A组中至少有两支弱队的概率为.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为、，且各题答对与否相互之间没有影响.(I )求这名同学得 300分的概率；(n)求这名同学至少得300分的概率.(2004年全国卷田).从4名男生和2名女生中任

14、选3人参加演讲比赛.(I )求所选3人都是男生的概率；(n)求所选3人中恰有1名女生的概率；(田)求所选 3人中至少有1名女生的概率.(2004年天津卷).某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的).假定工厂之间的选择互不影响(I )求5个工厂均选择星期日停电的概率;(n)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率(2004年浙江卷)10.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对 2题才算合格(I )分别求甲、乙两人考试合格的概率；(II

15、)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率(2004年福建卷)11.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的1零件不是一等品的概率为一，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为4 TOC o 1-5 h z 工，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为-.129(I)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；(n)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率(2004年湖南卷).为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(

16、记为P)和所需费用如下：预防措施甲乙丙丁P费用(力兀)90603010120万元的前预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.（2004年湖北卷）解：方案1 :单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发 TOC o 1-5 h z 事件不发生的概率最大，其概率为.方案2:联合采用两种预防措施，费用不超过 120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1 （1 （1 =.方法3:联合采用三种预防措施，费用不超过 120万元，故只能联合乙、丙

17、、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1（1一） （1 （1=1 =.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为、和 （I）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（n）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.（2004年重庆卷）14.从数字1, 2, 3, 4, 5,中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为A.尤12515.（本小题满分B.16125一接待中心有12分)A、B、C、D四部热

18、线电话，已知某一时刻电话A B占线的概率均为，电话 C、D占线的概率均为，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有H部电话占线 .试求随机变量H的概率分布和它的期望解：本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念 满分12分.考查运用概率知识解决实际问题的能力解：P( H =0)= HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 11P(2=1)= C2 x x+ C2 x x x =2112P( H =2)= C2 x x+ C2 C2 x x x+ C2 x x =.2112P(七=3)= C2 C2 x x x+ C2 C2 x x =P( H =4)=01234P于是得到随机变量E的概率分布列为:所以 E H =0X+1X+2X+3X+4X=.从 1, 2,A. 59.在由数字的数共有A. 56 个.某工厂生产 个容量为1, 2,9这九个数中，随机抽取493个不同的数，则这 3个数的和为偶数的概率是（ C ）11213, 4, 5组成的所有没有重复数字的c 10