地球科学中的正反问题

1、一、什么是正演问题和反演问题在地球科学中，有两大问题是离不开的，正演问题和反演问题。由物理定律根据给定物理模型的参 数计算出数据的问题是正演问题。而由观测数据通过适当的方法计算物理模型参数来重建物理模型的问 题是反演问题。由卫星云图预报天气、由遥感影像估计粮食产量都是正演问题。从思路上而言，正演问题比较简单。 如果给定物理模型的系数，由物理定律能够计算出与观测数据相比对的理论数据。在模型比较精确的情 况下，正演一般能够获得比较好的效果。当然，反演问题也在多个领域有应用，这里可以给出很多实例， 比如太阳的内部结构探测、储油层厚度的估计、莫霍面深度的推断、核幔边界形态的分析等等。由于我 们不单对模

2、型系数不清楚，甚至有时对物理模型本身都不甚清楚，所以我们可以断言反演比正演问题将 面临更多更大的困难。根据百度百科，正演问题(direct problem)定义：在地球物理磁法勘探的理论研究中，根据磁性体的形 状、产状和磁性数据，通过理论计算、模拟计算或模型实验等方法，得到磁异常的理论数值或理论曲线， 统称为正演问题。反演问题(inversed problem)在磁法勘探理论研究和解释磁测成果时，根据磁异常特 征，确定磁性体的形状、产状及其磁性等，称为“反演问题”。这个概念给的范围太狭隘，就简单的地 磁勘探而已，所以仅作为参考。二、哪个先提出来现在有一个逻辑问题，是先有正演问题还是先有反演问题

3、？似乎直观上先有前者，然而我认为，对 大多数问题，尤其是系统复杂的问题，应当是先有后者。科学研究的先驱们没有今天的人有这么好的条 件，不可能通过课堂学习系统地掌握成体系的知识，也没有条件去图书馆查阅资料，更不用说利用检索 工具搜集信息了，他们掌握的资料和信息是极其的贫乏的。当先驱们涉足新的研究领域时，是没有经验 可循的，也没有什么物理模型可以利用。他们看到的是规律或者说模型所呈现出来的现象，他们的任务 是找出规律、建立模型，这个任务本身就是反演问题。以地球内部结构探测为例，在目前条件下，人类还无法通过钻探进入地球内部来直接研究，据有关 资料，人类目前在地球上钻的洞也不过10公里，还不到地球半径

4、6400多公里的零头。但我们仍可以通 过很多手段获得关于地球的信息，地球重力场、地球磁场，发生地震时可以探测到地震波，火山喷发出 来的岩浆，板块运动，还有地球的章动、岁差和极移效应等，就是通过对这些现象的观察和观测，利用 反演的方法，我们获得了对地球内部结构的认识。针对不同的性质，比如地球内部质量分布、地球的化 学元素成分、地球内部的温度分布、地球内部物质，得到了一系列地球内部结构的模型。研究地球内部 的初试阶段，我们并没有这些模型的概念，而是出于研究的需要，为了解释现象而建立了种种模型。地 球科学大多数领域的大多数问题都不那么直观，所以应当是反演问题先被提出来。三、反演问题的困难根据自然辩证

5、法/科学技术哲学认识，很容易就会有人提出一个怀疑，我们得出的规律是客观真理 么？我们物理模型就真实地反映了地球内部真实的情况了么？不得不悲观地说一点，地球科学，特别是 固体地球物理学，目前还有很多很多的问题没有解决，对地球内部的认识还远远不够充分，就连理论体 系本身也还不够完善。比如普拉特-海福德地球均衡模型和艾利-海伊斯卡宁地壳均衡模型，提出已近百 年，至今这些理论还停留在“假说”阶段。而自一百多年前魏格纳提出大陆漂移学说以来，我们就不断 地改进问题模型，探求问题的根源，今天所取得成绩，还依旧不能让我们满意。而另非常实用的一个问 题，地震预报，也没有取得有意义的进展，2008年汶川大地震社会

6、对地球物理学家的责难充分证明了这 一点。这个问题的悲观估计并不能否定地球科学研究的前景和意义，纵观科学技术史，当今成熟的科学 当年未成雏形的时候，也曾遭遇过悲观的估计乃至无情的否定。在坚信努力总会有进步的，科学研究总 会接近于客观真理的前提下，我们应当努力开展这方面的研究。也正是困难重重，前途不明，我们才敢于积极的探索，才有可能取得更大的进步。事实上情况并不 乐果，我2008年秋天听过国家地震局陈鑫连研究员的报告，他说地震领域并不活跃，进展一直缓慢， 人才也出现了青黄不接的断层现象。2008年春夏之交的国难让国人沉痛不已，但反过来看，却给地震界 带来了新的发展机。在这个时候，我们更应当思考困难

7、存在于哪些方面，原因是什么，怎么克服这些困 难。就反演问题而言，根据有关资料，存在以下困难。第一点是反演问题本身的复杂性。问题的维度、观测的误差与间接性、数据离散与模型连续的矛盾， 都是问题复杂的原因。在理想情况下，运用反演理论可以唯一地求出物理模型的参数，来确定模型。例 如地震学中的Herglotz-wiechert反演理论，运用理想的走时数据，假定底层速度是一维的，并随深度单 调增加，可以唯一地反演出地层的速度结构。在这个简单的反演问题中，有两条假设，一是数据必须准 确，二是速度是一维并且是单调增加的。在实际上，数据是很难上述符合要求的。就是这个简单的问题， 条件尚且不易其要求，更不要说一

8、般的情况了。在大多数情况，问题是多维的，空间三维，有时候会加 上时间第四维，导致模型的不确定性和反演问题的法方程的维数呈指数增加。实际数据必有误差，观测 数据的误差经过推导的传播可能会放大而干扰模型，有时候严重的误差会完全遮盖住模型本身。实际的 数据是离散的，不可能连续，这就导致了模型方程的维度是无穷的，而利用插值或者外推的拟合方法获 得的连续观测样本就会带来误差，除了观测点之外的拟合数据只能在一定的程度上反映事实，反映事实 的程度依赖于方法和其他离散点的观测精度。第二点是大多数反演问题的非线性。地球科学乃至地球物理上，大多数问题都是非线性问题。在处 理非线性问题的时候，我们往往用泰勒公式对问

9、题在某处进行展开，舍去高阶项而把问题近似成局部的 线性问题。另外有一种解决办法是模型空间的全局搜索。这两种办法都不能很好地解决非线性反演问题。 第三点是部分反演问题的病态性。反演问题的有病态(ill-position)现象，即存在性、唯一性和稳定性不好， 会涉及反演问题的不适定性。在工程技术中，反演问题可以通过数学物理方法来建立模型，问题的适定 性分析就转化为方程的适定性分析。在某些极端情况下，有些反演问题建立分方程并不适定。比如有些 方程没有平凡解，这是方程本身不能反映模型的问题。有些方程解不唯一，可能是多个无限集合，需要 结合模型的实际意义取舍。有些方程的稳定性差，表现为观测数据的微小扰动

10、就会对模型造成破坏性的 影响。有时候也涉及方程的收敛性，这个因素在非线性问题情况下尤其突出。其实反演问题的困难远不止这些，上面提及的只是推断，推断占了反演问题的大部分，我们需要很大的 勇气和创造力去推断模型，之后还要在千千万万个模型中选择最优的。而模型建立之后，还需要对之进 行有效的评估，评估本身是个正演问题，并不困难，可评估的结果大多数时候不会让人满意，这才是反 演问题的难处。这里讨论的主要是反演问题的困难，假如我们克服了种种困难，获得了理想的反演模型，并且评估 认为我们的模型是有效的、适定的，此时就能说我们已经掌握了绝对真理么？还不能，科学理论的真理 相对性提醒我们还不能不能懈怠。四、反演

11、问题的进展应该说这里是对反演问题求解方法的总结。首先是最小二乘准则与最小范数估计理论。反演的推导过程中涉及解多元方程组，为了保证模型有 足够的强度，我们总是采集尽可能多的数据样本，不可避免地，我们的数据含有随机误差和偶然误差， 由一般数理方程的理论可以知道，同样的方程个数借出同样的解的个数，那么解才是唯一的。在样本数 多余待求量的情况下，会出现矛盾的问题，反映在方程曲线上，是曲线交点不唯一，而问题是每个解都 不应当简单地舍去，为了调和这个矛盾，德国数学家高斯提出了解决办法一一最小二乘准则，这个准则 给出的解协调了多余观测数据的矛盾，最佳地符合了观测数据。当然这个准则在近五十年的有了很大的 改进

12、，如广义最小二乘理论、稳健估计理论，都为之注入了新的思想。至于最小范数估计，源自下面提 到的问题。在某些情况下，会出现模型参数个数大于数据分量的个数，方程个数小于未知数个数，在方 程没有矛盾的情况下，解是无数多个的，同样为了缓和这一矛盾，提出了最小范数估计理论。这个理论 解决了解不唯一过多情况下的问题。在实际中，我们往往碰到二者的混合问题，这怎么可能呢？确实有可能，在地球科学里面，常有超大规 模方程组，由于观测数据还有误差，同时模型也过于复杂，对不同的参数而言，就会出现两种问题都存 在的局面。这个问题不能单纯地利用上述思路来解决，问题是由Levenberg在20世纪中叶解决的，这是 一个很大的

13、进步。采用这个方法，我们得到的模型更接近于实际。其次很重要的是有限元法的提出。值得一提的是有限元法最先是我国数学家冯康提出来的。在20世纪 60年代，冯康被调入中国科学院计算技术研究所，承担了一列国家重大工程的计算任务。针对刘家峡大 坝设计中的计算问题，冯康以敏锐地眼光发现了一个基础问题，他没有采用常规的思路，分析物理机制、 进行数学表达、采用离散模型、设计算法，而是独创性地从物理守恒和变分原理出发，直接和恰当的离 散模型联系起来。冯康提将变分原理与差分计算格式联系起来，这种方法就是有限元法。由于那个时代 我国已经有自己研制的计算机，冯康提出的有限元法得以实现并且出色地解决了工程问题。这里可以总 结的是，技术手段，比如电子计算机，大大地改变了传统的科研方式；在面临新的问题时，要敢于突破 常规思路去寻求更有效的解决方案。有限元法在求解偏微分方程数值解上有出色的表现，也就在地球科 学中，尤其是反演问题中，充当了不可或缺的角色。还有一点，有力的工具，比如上面已经提及的电子计算机发挥了巨大的作用。反演问题需要解大规模方 程组，计算量是海量的，这些计算任务主要是超级计算机来完成的。未来，计算机可能还会有智能，能 够辅助我们进行逻辑推理和证明，2000年国家最高科学技术将获得者吴文俊的研究成果说明了这