2022年例析一元二次方程的综合运用

1、学习好资料 欢迎下载例析一元二次方程的综合运用一元二次方程的定义、根的定义、根的判别式等都与其他的知识都有着紧密的联系，出现一些综合 性的试题，一直是近年来的中考的一个热点，现就这方面的问题介绍几种解决的方法，供同学们学习是 参考。一、与代数式求值问题相结合求(例 1（2010 广东广州）已知关于x 的一元二次方程ax2bx10(a0 )有两个相等的实数根，aab2b24的值。2 )2( a【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此b24 a0，可得出 a、b 之间的关系，然后将2ab2b24化简后，用含b 的代数式表示a，即可求出这个分式的值)2解：ax2bx10(a0)有两个相等的实数根

2、，2 b4 ac0，即2 b4a0(aab2b24a24a2 abb24a2ab2b22 ab2 )244 aa2a0，ab2b24a2a【点评】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题 的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度二、与函数问题相结合例 2（ 2010 四川绵阳）已知关于x 的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求 m 的取值范围；（2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值【分析】（1）根据题中 “ 有两个相等实数根”这个关键词借助根的判别式获得关于m 的不等式，

3、从而确定m 的值；（2）由两根之和得出y 的值，再根据函数的增减性得出答案。【解】（1）将原方程整理为x2 + 2（ m1）x + m2 = 0 原方程有两个实数根， = 2 （m1）24m2 =8m + 4 0，得m1 2学习好资料 欢迎下载（2） x1，x2 为 x 2 + 2（m1）x + m 2 = 0 的两根， y = x 1 + x2 =2m + 2，且 m1 2因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m = 1 时，取得极小值 12【点评】 一元二次方程中待定系数 m 如何明确， 由根的判别式是一个很重要的依据，读题时要敏锐地捕捉到题目中的的关键词-有“ 两个实数根 ”，能帮助我们

4、解决第一问；而第二问中可以根据两根之和得出x1 + x2的值，再由一次函数 的增减性得出极值。例 3（ 2010 山东淄博）已知关于 x 的方程 x 2 2 ( k 3 ) x k 2 4 k 1 0（1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围；（2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值；（ 3）若以方程 x 2 2 ( k 3 ) x k 2 4 k 1 0 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数my 的图象上，求满足条件的 m 的最小值x【分析】（1）若这个方程有实数根，则0；（ 2）若这个方程有一个根为 1，可将 1 代入方程；（ 3）设方程的两个根为 1x ，2x ，结合反比例函

5、数解析式与一元二次方程根与系数的关系求解2 2【解 】（1）由题意得 2 k 3 4 k 4 k 10化简得 2k 100，解得 k52（2）将 1 代入方程，整理得 k 6 k 6 0，解这个方程得 k 1 3 3，k 2 3 3 . （3）设方程 x 2 2 ( k 3 ) x k 2 4 k 1 0 的两个根为 1x ，x ，2根据题意得 m x x 又由一元二次方程根与系数的关系得 x x 2 k 4 k 1，那么 m k 2 4 k 1 k 2 25，所以，当 k 2 时 m 取得最小值 5 【点评】 第（1）问考查一元二次方程根的判别式，第（2）问考查一元二次方程的根的意义及解法前

6、两问相互独立，考查知识点单一，属于基础题。第（3）问把反比例函数与一元二次方程根与系数的关系结合在一起，属于中等难度的试题，具有一定的区分度三、与几何问题相结合 例 4（ 2010 四川乐山）从甲、乙两题中选做一题如果两题都做，只以甲题计分题甲：若关于x 的一元二次方程x22 (2k)xk2120有实数根、（ 1）求实数 k 的取值范围；（ 2）设tk，求 t 的最小值学习好资料 欢迎下载D C P A B Q AB 的延长线于点Q题乙：如图（ 11），在矩形 ABCD 中， P 是 BC 边上一点，连结DP 并延长，交（ 1）若BP1，求AB 的值；AQPC31（ 2）若点 P 为 BC 边

7、上的任意一点，求证BCABBPBQ我选做的是 _题【分析】题甲：由一元二次方程有实数根，可得0，从而求得 k 的取值范围；利用根与系数的关系可求得 t 值题乙：（1）利用相似三角形的性质易于求出 AB 的值；由（ 1）得 DC PC，所以 AB PC，进AQ BQ BP BQ BP而求的结论【解】 题甲解：（1）一元二次方程x22(2k)xk2120有实数根、，k220，0，即4(2k)24 (k212)0，解得（ 2）由根与系数的关系得：2(2k)42k，tk42k42， k2，24kkk4422，即 t 的最小值为 4k题乙（1）解：四边形ABCD 为矩形，PB1，DC3BQ，AB=CD，

8、 AB DC ， DPC QPB， BQ DCCP3AB33BQ3BQBQBQ4PC（2）证明：由 DPC QPB ，得DCPC，ABBQBPBQBP学习好资料欢迎下载“并BCABBPPCAB1PCAB1BPBQBPBQBPBQ【点评】本题综合考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质，解决类问题，各问之间一般不是列”就是 “递进 ” 关系，想此题，各问之间就是 四、与实际应用问题相结合“递进 ”关系，解决第二问，需要借助第一问的知识2例 5（2010 安徽）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月份的 14000 元/ m 下降到 5 月份的 12600 元/ m 2（1）问

9、4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：0 . 9 0 . 95）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月份该市的商品房成交均价是否会跌破 100002元/ m ？请说明理由【分析】（1）可以设 4、5 两月平均每月降价的百分率是为 x ，根据题意列出一元二次方程即可解答。（2）可以按降价的百分率继续回落，估计7 月份的商品房成交均价，也可通过估算加以判断。【解】（1）设 4、5 两月平均每月降价的百分率为x ，根据题意，得14000( 1x)212600化简，得( 1x )20 .9解得x 10 .05 ,x 21.95（不合题意，舍去）因此， 4、5 两月平均每月降价的百分率约为5%