椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用

1、椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用三探椭圆周长的计算(终结篇)四川省美姑县中学周钰承关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式， 本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希 望广大读者喜欢。目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算二、两个高精度的椭圆周长初等公式三、椭圆周长公式集锦与评价一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家 的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数

2、形式表示。 下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：+七=1，a 0,b 0.a2 b2参数方程是：x = a cos 0, y = b sin 0,(0 0 2兀)函数图像为：若某条光滑曲线，能用参数方程表示：x = X (t)，y = Y (t)a t P，该曲线长度可表示为：L = f ,;x(t )2 + Y(t)2 dt故椭圆周长为：4 j 2 w2 0_+b 2 cos 2 0 d 0Cos2 0+ b 2 cos 2 0 d 00j l/E0a j 2 J1 - e 2 cos 2 0 d 00其中 .a2 - b2V a2是椭圆的离心率

3、。a下面用泰勒公式展开（1 - e 2 cos 2 0先由(1 + X )k+ k + k - - 1) 2 + k (k - 1)( k - 2) 3 +2!3!令K=1/2可得:(-1 )n-1 (2n - 3)!xn2n n!令 x = - e2 cos 2 0 可得: e2 cos 2 0v 1 e2 cos 2 0 1 2 (2n - 3)!e2n cos 2n 0乙 2n n!n 2所以:兀 e2 cos 2 0 V (2n - 3)!e2n cos 2n 0 八 C = 4 a j 2 1Xd 0022 nn!n 2,兀 e2片 c s=4 a - j 2 cos 2 0d 02

4、2 0Z(2 n 3)! e 2 n j* 匚 !一 j 2 cos 2n 0d0n = 2 L2 nn!0这个式子可以化简。因为：j 2 cos 2 n 0 d 0 = Lxx 又x- x 02462 n 2(2 n-1)!兀x 2n n!2所以:生e2（1兀）一一_x -T221 2 2 Jn = 2L = 4 a1T. 3 5 （2n - 3）（2n - 1）nn!）（2n 一 1）（1 3 5.（2n 1）2e2 nI 2 . 4 . 6 2 n j卜2n - jn = 12（2 n 1）!（2n）! J（1）2 土（13 ）（13 5）（135 7）e81 _ . . _ . LL

5、2 j1L 24 j3L 2 4 6 j5L 2 46 8 j7j这就是椭圆周长著名的项名达公式，这是一个准确的椭圆周长公式，虽然准确但实 际计算时却只能取精确值（谁能长生不老？）。C = 2 兀 a其中a为长半轴，e =、：土空 为椭圆离心率。（1） a2根据项名达公式（1），可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到椭圆周长真值分布 表1：:长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值:短半轴长度，应不大于a，否则两者互换:,椭圆离心率:,（1）式括号中的第二项:,（1）式括号中的前二项Private Sub Form_Click （） a = 1 b = 0.15 e = sqr（1-b*b

6、/a/a） k0 = 0.25*eA2 s = 1-k0 for I = 2 to 1000000 :,级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟k = k0*（2*I-1）A2/（2*I）A2*（2*I-3）/（2*I-1）*e*e:, （1）式括号中的某一项s = s - k:，将各项累加到s中去，最终就得到（1）式括号中的值k0 = k:,为计算下一项，将前一项结果赋给k0next I:,循环print 2*3.1415926535*a*s:,打印或显示计算结果End Subab椭圆周长10.004.000000000010.014.001098329710.104.063974180110.

7、254.289210887510.504.844224110010.755.525873040010.905.973160432510.996.251808847911.006.2831853070表1.椭圆周长真值的分布为了估计误差，我们设人=（2）项名达公式虽然易于设计程序，但另一个级数公式收敛得更快，且只含加法运算，如 果我们不方便编程，可以事先进行误差估计，从而更有效地按照精确度要求计算椭圆周 长。为了方便，我们称下面这个公式为周钰承椭圆周长标准公式。1 +r 1、2r a 一 b、2r 1、2r a 一 b、4r 1 3、2r a 一 b、6r 5!、2rab、82a+ b+2 4a

8、 + b+2 46 7a + b /+8!a+ b+C =兀-(a + b)则周钰承标准公式为:入8 + .这个公式中，主干为兀.（a + b），我们可以把（3）称为误差多项式。假如要求我们误差率低于S，我们设需要计算到误差多项式第n项，不妨设 2，则 误差率为误差多项式（3）第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：(2n _ 1)! UX 1 2 n+2I (2 n + 2)!(2n _ 1)! U+X 2 n+41(2 n + 2)!(2n-1)!、2 +1(2 n + 2)!X2 n+6 + .r 1 、2 2）：2X2 n+6 +-1.86745.则周钰承标准公式 中，中括号

9、里应该算到4次方项。因为误差公式证明中n大于或等于2是前提条件。二、两个高精度的椭圆周长初等公式如果利用周钰承标准公式来计算椭圆周长，通常只需要级数前两三项就可以达到相当 高的精确度。但当0.95, 0.0001时，算得: 2） - 1 = 57.42,即用到误差多项式第58项即116次方项，误差才能保证小于万分之一。为此，我们可以根据周钰, 八 *，、， 一 , b ,，、 一承标准公式，构建一个新的函数模型，用以解决- ，可用公式(6)。L = C，得：64(a + b)4 - 3(a - b)41L w ;x -(a + b)64(a + b)2 - 16(a - b)2 4兀【64 x

10、 625 3 x 1 5 x【64 x 25 - 16 x 1 x 43 9 9 9 兀 7-一。（这个数误差低于一亿分之一）3 16 8 0b接下来处理表2中特别是当- 0.1时的误差。将公式改写成关于人的函数式，,C 则：n (a + b) 64 - 3 人 4 )(64 16 人 2 )工-1) .人9.65 + 5炉461n(7)公式（7）称周钰承椭圆周长初等公式。值得注意的是，通常情况下我们用公式（6）b因为b o.i时，（6m1）这部分的值非常小，没有计算的必要。公式（7）计算椭圆周长的误差约为一亿分之五，见表3：ab公式（7）C椭圆周长真值误差10.004.0000000004.

11、00000000000.000000000010.014.0010985164.0010983297+0.00000004710.104.0639740754.0639741801-0.00000002610.254.2892108724.2892108875-0.00000000310.504.8442238994.8442241100-0.0000000410.755.5258730405.5258730400-0.000000000110.905.9731604335.9731604325-0.000000000010.996.2518088486.2518088479-0.000000

12、000011.006.2831853076.28318530700.00000000000表3：周钰承椭圆周长初等公式函数值分布表用上述这个周钰承初等公式计算，只需要带有函数的计算器或者百度计算器等，便可 解决任何情形下的椭圆周长计算问题。下面介绍中国椭圆周长公式，它是目前精度最高的初等公式。3 人 214 n ,C =兀Q 1 +:入+ （4 - _）Q人14.233 +13.981 M 6-42a b其中 Q = a + b, X =。 （8）a+bb公式中第二项为笔者所改变，改变后在b 2且取误差公式：n m 2(1-X2 1，其中X =,2 ln Xa + b误差率S要求低于万分之一时

13、，此计算项数太多。综合评分95。满足不等式的最小整数。(当n的最小整数取值小于2时，取n=2.)，在给定误差率的情况 下，这个值是准确的。保留兀时很多情况下可以笔算甚至口算。例如，当X是大于或者等 于0.3的一位小数或者或者分母小于10的既约真分数， 时n=2,故可笔算甚至口算。缺点是当X取值非常大时 十三、L13= (7 b)4 - 普4)，其中 x = J峭4 - 16 X 2 )a + b数值合适可以笔算甚至口算，综合此公式精确度高，实用性强，保留圆周率和分数形式时，得分85。十四、C =丸 Q 1 +10 + J4 - 3 人214丸+ (4-) Q 沁4.233 +13.981 人

14、6.42其中Q = a + b,X =丝二幺。这是中国椭圆周长公式的加强版，为有限次计算的初等公式， a + b是检验其它近似公式的试金石，只需要中学生的水平，即可用带有函数的计算器完成全部计算，在任何情形下误差率均低于十亿分之一，综合得分90。1 + (竺-1) .人9.65 + 5人6.0461兀兀(a + b) 64 - 3X4 )一十五、C(54 -16 X2)b此公式与十四雷同，但更优的是当b大于0.1时，有时候可以笔算甚至口算(省去计算 a(四-1) X9.65 + 5加)，但精度较十四略差，约为一亿分之五。综合得分90。61兀十六、2 Q(13、e4(13 5、e6f 1 3 5 78C = 2兀。1-_ ；2)12 4；32 4 6)52 4 6 8 77a2 -b-其中。为长半轴，e = j为椭圆离心率。著名的项名达公式，推导和证明其它标准公式或者近似公式的根据，且在某些情况下仍然可以笔算甚至口算，综合得分100。其 I I