2022届安徽省宿州市时村中学高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷(含解析)

1、2022学年高考数学模拟测试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并

2、交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）ABCD2设函数，则函数的图像可能为（ ）ABCD3已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的单调递增区间为( )ABCD4已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：在上单调递减；函数至少存在一个零点；的最大值为；若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为( )ABCD5如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6已知

3、，那么是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知函数，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）A1BCD8已知直三棱柱中，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）ABCD9已知双曲线：的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD10设，则“ “是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必条件11已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）ABCD12若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（ ）ABCD1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1

4、3设复数满足，其中是虚数单位，若是的共轭复数，则_14在边长为2的正三角形中，则的取值范围为_.15已知集合，.若，则实数a的值是_.16设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和.求证：.18（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.19（12分）2019年是五四运动10

5、0周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4道B类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.（1）求甲同学至少抽到2道B类题的概率；（2）若甲同学答对每道A类题的概率都是，答对每道B类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.20（12分）选修

6、44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数）以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值21（12分）已知函数.（1）若函数，求的极值；（2）证明：. （参考数据： ）22（10分）如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.（1）证明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】双曲线的渐近线方

7、程是，所以，即 ， ，即 ，故选D.2、B【答案解析】根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.【题目详解】定义域为： ，函数为偶函数，排除 ，排除 故选【答案点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.3、D【答案解析】先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式，从而得出的解析式，再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间，可得选项.【题目详解】因为函数的最小正周期是，所以，即，所以，的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为，由于其图象关于轴对称，所以，又，所以，所以，所以， 因为的递增区间是：，由，得：，所以函数的单调递增区

8、间为（）.故选：D.【答案点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题.4、C【答案解析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【题目详解】（1）当时，此时不存在图象；（2）当时，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（3）当时，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（4）当时，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出的图象，由图象可得：对于，在上单调递减，所以正确；对于，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以错误；对于，由函数图象的对称性可知错误；对于，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可

9、得，所以正确.故选：C【答案点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.5、B【答案解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.【题目详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B【答案点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.6、B【答案解析】由，可得，解出即可判断出结论【题目详解】解：因为，且，解得是的必要不充分条件故选：【答案点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考

10、查了推理能力与计算能力，属于基础题7、C【答案解析】对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.【题目详解】对任意的总有恒成立，对恒成立，令，可得令，得当，当，故令，得 当时，当，当时，故选：C.【答案点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.8、C【答案解析】设M,N,P分别为和的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【题目详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为和的中点，则的夹角为MN和NP夹角

11、或其补角可知，.作BC中点Q，则为直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故选：C【答案点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.9、D【答案解析】 由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，则，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故选D点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式

12、；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)10、B【答案解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【题目详解】由，得，又由，得，因为集合，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【答案点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.11、B【答案解析】画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围.【题目详解】由约束条件作出可行域是由，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的

13、直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.故选：B【答案点睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.12、B【答案解析】由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值.【题目详解】由，则展开式中的系数为，展开式中的系数为，二者的系数之和为，得.故选：B.【答案点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】由于，则14、【答案解析】建立直角坐标系，依

14、题意可求得，而，故可得，且，由此构造函数，利用二次函数的性质即可求得取值范围【题目详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，根据，即，则，即，则，所以，且，故，设，易知二次函数的对称轴为，故函数在，上的最大值为，最小值为，故的取值范围为故答案为：【答案点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题15、9【答案解析】根据集合交集的定义即得.【题目详解】集合，则a的值是9.故答案为：9【答案点睛】本题考查集合的交集，是基础题.16、【答案解析】根据渐近线得到，计算得到离心率.

15、【题目详解】，一条渐近线方程为：，故，.故答案为：.【答案点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【答案解析】（1）利用求得数列的通项公式.（2）先将缩小即，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.【题目详解】（1），令，得.又，两式相减，得.（2）.又，.【答案点睛】本小题主要考查已知求，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18、 (1)见解析;(2).【答案解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用 即可得的

16、直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ； （2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即19、（1）；（2）分布列见解析，期望为【答案解析】（1）甲同学至少抽到2道B类题包含两个事件：一个抽到2道B类题，一个是抽到3个B类题，计算出抽法数后可求得概率；（2）的所有可能值分别为，依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望【题目详解】（1）令“甲同学至少抽到2道B类题”为事件，则抽到2道类

17、题有种取法，抽到3道类题有种取法，；（2）的所有可能值分别为，的分布列为：0123【答案点睛】本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式20、（1），（2）【答案解析】试题分析：利用将极坐标方程化为直角坐标方程：化简为cossin1，即为xy1再利用点到直线距离公式得：设点P的坐标为（2cos，sin），得P到直线l的距离试题解析：解：化简为cossin1，则直线l的直角坐标方程为xy1设点P的坐标为（2cos，sin），得P到直线l的距离，dmax 考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式21、（1）见解析；（1）见证明【答

18、案解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（1）问题转化为证exx1xlnx10，根据xlnxx（x1），问题转化为只需证明当x0时，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），根据函数的单调性证明即可【题目详解】（1），当，当，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.（1）要证f（x）+1exx1即证exx1xlnx10，先证明lnxx1，取h（x）lnxx+1，则h（x），易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，故h（x）h（1）0，即lnxx1，当且仅当x1时取“”，故xlnxx（x1），ex

19、x1xlnxex1x1+x1，故只需证明当x0时，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），则k（x）ex4x+1，令F（x）k（x），则F（x）ex4，令F（x）0，解得：x1ln1，F（x）递增，故x（0，1ln1时，F（x）0，F（x）递减，即k（x）递减，x（1ln1，+）时，F（x）0，F（x）递增，即k（x）递增，且k（1ln1）58ln10，k（0）10，k（1）e18+10，由零点存在定理，可知x1（0，1ln1），x1（1ln1，1），使得k（x1）k（x1）0，故0 xx1或xx1时，k（x）0，k（x）递增，当x1xx1时，k（x）0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）0或k（x1），由k（x1）0，得4x11，k（x1）1+x11（x11）（1x11）