高二数学空间向量与立体几何学案

1、个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途空间向量解立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量W，设单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组日，使凶，有序实数组I三I叫作向量H在空间直角坐标系三I中的坐 、式I标，记作凶 .在空间直角坐标系H I I 中，对空间任一点R,存在唯一的有序实数组 ,山，使 I x I ,有序实数组目叫作向量在空间直角坐标系口 中的坐标，记作,国叫横坐标，日叫纵坐标，j叫竖坐标.b5E2RGbCAP二、空间向量的直角坐标运算律 TOC o 1-5 h z 1）若 HH ,则W,0，回，2）若 丘匚I

2、,则_ .一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标。3） X 三、空间向量直角坐标的数量积1、设臼是空间两个非零向量，我们把数量lj 叫作向量a的数量积，记作 囚，即回= - 规定：零向量与任一向量的数量积为 0。plEanqFDPw2、模长公式3、两点间的距离公式：若或.4、夹角： k .注： I 一 1 是两个非零向量）；1 。5、空间向量数量积的性质：1 一 . X . 1.6、运算律 1；|；四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线 三上的向量可以及与m共线的向量叫做直 线工的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量 目的有

3、向线段所在直线垂直于平面 0c , 则称这个向量垂直于平面 口 ,记作 山，如果 山，那么向量目叫做平面 %的法向量。DXDiTa9E3d注：若臼，则称直线二为平面臼的法线；平面的法向量就是法线的方向向量。给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。3、在空间求平面的法向量的方法：1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。2）待定系数法：建立空间直接坐标系设平面的法向量为在平面内找两个不共线的向量H 和 人 口AB凶建立方程组：/”“E /解方程组，取其中的一组解即可。/五、证明1、证明两直线平行已知两直线日和可，一,则 心口 存在唯一的实数因使2、证明直线和平面平行个

4、人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途1）已知直线 1 且三点不共线，则 臼/日存在有序实数对国使 ）_ 12）已知直线 -1 和平面日的法向量回，则日/3、证明两个平面平行已知两个不重合平面 国,法向量分别为W，则回/国4、证明两直线垂直已知直线回。 一 ,则一=5、证明直线和平面垂直已知直线 一,且A、B习，面回的法向量为臼，则6、证明两个平面垂直已知两个平面叵，两个平面的法向量分别为 叵，则六、计算角与距离1、求两异面直线所成的角已知两异面直线 叵1 ,- - H ,则异面直线所成的角 回为：日例1.2008安徽文）如图，在四棱锥 g 中，底面皿 四边长为1 的菱形，臼 ，-, g

5、,凶为回的中点。求异面直线AB与M所成角的大小目；RTCrpUDGiT解：作 于点P,如图，分别以AB,AP,AO所在直线为 三轴建立坐标 I,2、求直线和平面所成的角已知A,B为直线包上任意两点，B为平面臼的法向量，则日和平面臼所 成的角包为：1）当 x 时 I x I2）当xf 时 | x I例2.如图3,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，,侧棱AA1=2 D, E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是 曰 的重心 G 求 A1B与平面 TOC o 1-5 h z AB所成角的大小。5PCzVD7HxA、解：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所

6、在直线为y轴，国所在直线为z轴，建X I立直角坐标系，设,则日，日，日，日图3目 ， 目 ，点E在平面ABD上的射影是二的重心G臼平面ABD 二三1 ,解得皿。I x| ,凶，日 平面ABD 二四 为平面ABD勺一个法向量。回回与日所成角的大小为日为与平面AB所成的角为匕三,即叵个人收集整理资料,仅供交流学习,勿作商业用途评析:因规定直线与平面所成角叵,两向量所成角NI所以用此法向量求出的线面角应满足一般地，设n是平面M的法向量,AB是平面M的一条斜线，A为斜足,则AB与平面 M所成的角为:3、求二面角1）已知二面角 一 角的平面角国的大小为：2）已知二面角 3分别为面 目 的法向量，则二面角

7、的平面VA1B DMfe平面BDMft两条相交直线，CDL平面BDM通过观察二面角锐角还是钝角，再由法向量的成的角求之。（2通过观察法向量的方向，判断法向量所成的角与二面角的平面角相 等还是互补。4、求两条异面直线的距离已知两条异面直线凹,回是与两直线都垂直的向量，则两条异面直线的距离例3. 04高考四川卷）如图，直三棱柱 ABCC-A1B1C1中，/ ACB=90 ,AC=1, CB,侧棱AA1 = 1,侧面AA1B1B勺两条对角线交点为 D, B1C1的中点为M 求证：jLBHrnAlLg例4.正四棱锥 间的距离A f B.|答案选C;解读:的高）c . 3建立如图D.|所示的直角,则异面

8、直线和回之1)CD1平面BDM2)求面B1BDW面CB两成二面角的大小。分析：要证CDL平面BDM只需证明直线 CD与平面BDM内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或转化为两直线的夹角。考虑几何法或向量法求解。解：以C为原点建立坐标系。则坐标系，则X令向量个人收集整理资料,仅供交流学习, 轴勿作商业用途且 为 X异面直线皿和国之间的距离为：叵I则凶凶,=0,命题得证。2、在正方体E1B1=A1B1, D1F1= D1C1中,E1 , F1分别在xHAQX74J0X5、求点到面的距离已知平面凶和点A,B且 ri ,凶为平面凶的法向量，则点A到平面凹的距离 H例5.如图5,已

9、知是各条棱长均等于习的正三棱柱，回是侧棱目的中点.点回到平面三的距离）A 凶B. 国 C . 臼D. 回求BE1与DF1所成的角的大小。解：设正方体棱长为 4,以 底，建立如图所示空间坐标系3、在正方体A1B1,C1D1为正交基中，F分别是BC的中点，点E在D1C1上，且.D1C1试求直线E1F与平面D1AO成角白大小LDAYtRyKfE答案选A;解读： 目为正方形， Ml ,又平面目平面目，三面回，是平面目的一个法向量, 设点可到平面叵的距离为回，则| = x 口 =|七、训练题1、如图，已知直三棱柱 I 中，解：设正方体棱长为1,以建立如图所示坐标系D-xyz三为D1A评面的法向量，日X

10、1为单位正交基居E1C.所以直线E1F与平面D1ACf成角的正弦值为 田x4、在正方体一 . 中，求二面角I - 的大小IBC=1,囚 ，M 是目的中点。求证：I证明：说明上图中，上底面字母为日。建立以C为坐标原点的空间直角坐标系以 CA为YB解：设正方体棱长为1,以 二1正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz 法一），法二）求出平面 山与平面日 的法向量个人收集整理资料,仅供交流学习,等于二面角的平面角5、已知E,F分别是正方体一x I的棱BC和CD的中点，求:勿作商业用途为单位正交A1D与EF所成角是回1） A1D EF所成角的大小；2） A1F与平面B1EB所成角的大小;3）二面角 I

11、一 的大小。解：设正方体棱长为1,以底，建立如图所示坐标系D-xyz1）I 所以二面角的大小为.7、如图，在四棱锥 -j 中，底面山四边长为1的菱形，三,.一J , q , *为的中点，目 为旧的 中点I ）求异面直线AB与MDff成角的大小；n）求点B到平面OCD勺距离。解：作 g 于点P,如图，分别以AB,AP,AO所在直线 为日轴建立坐标系 I）设口与口所成的角为0,士与同所成角的大小为22)I x I ,| = |3),. x I二面角鼻的正弦值为因6、如图，正四棱柱I 中， -I故.又,所以山平面山条件结论线线平行线面平行面面平行垂直关系1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结

12、。如下图:点w在上且 LJ .i）证明：回平面目；n）求二面角1 解：以 可为坐标原点，射线 因为日轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系目.依题设，n）设向量 一1 是平面回的法向量，则日，0.故 I力 ,91 .令国，则日，山，n）设点B到平面OCD勺距离为可，则可为因在向量上的投影的绝对值，由 _J ，得二J.所以点b到平面OCM距离为直线、平面、简单多面体个人收集整理资料,线线平行如果a / b, b / c ,那么 all c如果a II a,a臼B ,B C % =b , 那么a/ b如果% / B ,% C 丫 =a ,B C 丫 =b , 那么a / b如果aX a,bXa ,那么

13、 a / b线面平行如果a b b, at1%, b Ei % ,那么 all a如果%/B,a 3 a ,那么%/B面面平行如果a 回 口 , b回 口 , c臼B , d回B , a / c,b / d,aCb=P,那么 / B如果a 回口,b 回 a ,a A b=P,a II B ,b/ B ,那么% / B如果% / B ,B / 丫，那 么口 丫如果aX a,a,B ,那么 / B条件结论线线垂直线面垂直面面垂直平行关系线线垂直二垂线定埋 及逆定埋如果a %,如果三个平面两两垂如果a/ b, ac,那么bs a ,月B么a b直，那么它 4佼线两两 垂直bc线面垂直如果ab,ac,

14、b日 ,c 回 口 , bCc=P,那么a a如果ocX3,%CB =b,aa ,ab,那么a B如果aX a,b / a ,那么bX a面面垂直定义 二面 角等于 900)如果a a,as(3 ,那么3 X oc勿作商业用途2、空间元素位置关系的度量仅供交流学习,1)角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平 面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱 的垂面法及面积射影法。个人收集整理资料,注：异面直线

15、所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角的范围依次是 回， I x I.直线的倾斜角、回到n的角、与目的夹角的范围依次是.Zzz6ZB2Ltk 0 1, 0 0 2仅供交流学习，勿作商业用途面外接圆半径OA底面内切圆半径OM底面正多边形半边长 OM构 成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。5、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面 体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几 何体性质.dvzfvkwMI1如长方体中：对角线长 1,棱长总和为鼻,全 表） 面 积 为 一 I , 结 合一=一可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式

16、） 一; rqyn14ZNXI注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等 面上射影为角的平分线.（2）异面直线上两点间距离公式设异面直线a, b所成角为 8,则EF2=m2+n2+d 2 2mncos04、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要用侧面与底面垂可斜线在平运底上在底面内回顶点在底上射影为底面内心.EmxvxOtOco如正四面体和正方体中:6、多面体是由若干个多边形围成的几何体.棱柱和棱锥是特殊的多直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高 PO斜高PM侧棱PA,底面体.如三棱锥中：侧棱长相等 侧棱与底面所成角相等）回顶点在 底上射影为底面外心，侧棱两两垂直 两对对棱垂直）回顶

17、点在底 上射影为底面垂心，斜高长相等 侧面与底面所成相等）且顶点在个人收集整理资料，正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都 有相同数目的棱.7、球是一种常见的简单几何体.球的位置由球心确定，球的大小仅 取决于半径的大小.球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点.球 面是到球心的距离等于定长 半径）的点的集合.球的截面是圆面，其中 过球心的截面叫做大圆面.球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这 两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻 求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大 圆上两点间的弦长.SixE2yXPq5注：“经

18、度是小小半径所成角，纬度是大小半径的夹 角”.球体积公式 田，球表面积公式 乂 .排列组合、二项式定理以及概率1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研 究排列 既取又排）个数的公式，组合数是研究组合 只取不排）个数的公 式，是否有序是它们之间的本质区别。6ewMyirQFL排列数公式：=,当m=n时，J,其中 m n N+ me n,规定 0!=1组合数公式：|仅供交流学习，勿作商业用途组合数性质：1一=一,规定臼，其中 m, n N+n3、处理排列组合应用题的规律两种思路：直接法，间接法两种途径：元素分析法，位置分析法3 ）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要 完成什么样的事