电动力学教程电磁场基本规律

1、第二章 电磁场的基本规律共一百一十八页 本章主要讨论电动力学的实验基础 确立静止和稳定情况的分布电荷与分布电流的概念；在电荷守恒的前提下，确立电流连续性方程。 在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场强度和磁感应强度的概念。 在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与磁场的矢量积分(jfn)公式。 在电磁感应定理的基础上引入位移电流的概念。引言(ynyn)共一百一十八页2.1 电磁场的源变量(binling)1. 电荷(dinh)及电荷(dinh)密度 体电荷密度 (Volume Charge Density)体电荷：电荷分布于三唯空间。本教程约定：场源(源点)的分布空间一律用带撇

2、的坐标表示；场(场点)的分布空间用不带撇的坐标表示。体电荷密度：（3维）共一百一十八页 面电荷(dinh)密度(Surface Charge Density)面电荷：电荷分布在某一薄层(bo cn)(曲面)上。面电荷密度： 线电荷密度(Line Charge Density)线电荷：电荷分布在某一 曲线上。线电荷密度：（2维）（1维）共一百一十八页 点电荷 (Point Charge)qxy 位于空间 处带电量为q的点电荷，其电荷密度可以用数学上的函数描述： 是场点的位置矢量。且而（0维）共一百一十八页2. 电流(dinli)及电流(dinli)密度 体电流密度(Volume Current

3、Density)体电流： 电流分布于三维空间体电流密度：描述空间各点电流的大小和方向的差异定义 体电流密度矢量J: 空间任一点J 的方向是该点上电流的方向，其大小等于在该点与J 垂直的单位面积上的电流，即共一百一十八页S 为电流密度的方向，也是面元S的法向单位矢量。通过任意曲面S的电流：即为电流密度矢量场J 的通量。体电流密度和体电荷密度的关系：v 是电荷定向运动的速度共一百一十八页 面电流密度(Surface Current Density)面电流(dinli)： 电流分布在某一薄层(曲面)上面电流密度矢量(shling)JS ：其方向规定为电流的流向，其大小定义为在垂直于电流方向上单位长度

4、的电流，即lS 是面电流方向的单位矢量。共一百一十八页通过(tnggu)薄层上任意有向曲线l 的电流lS 为薄层(即曲面S)的法向单位矢量为有向曲线l 的线元矢量 证明：在有向曲线上任取一线元矢量 ，如图。流过线元 的电流是 与 的夹角。共一百一十八页令 且 、 和 构成右手螺旋关系。利用代入上式共一百一十八页则通过有向曲线l 的电流得证。面电流密度和面电荷密度的关系：v 是电荷定向运动的速度共一百一十八页例题： 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，球体(qit)以均匀角速度绕一直径旋转，求球表面的面电流密度。Qayxz共一百一十八页 线电流(dinli)(Line Current )线电流：

5、电流沿某一细线(导线(doxin)流动电流元矢量 ：其方向规定为电流的方向， 是导线上的任意线元矢量。II共一百一十八页2.2 电流(dinli)连续性方程S 考虑任意闭合(b h)曲面S，由于电荷守恒，单位时间内从S内流出的电荷量(i.e. 流过S的电流)应该等于闭曲面S所包围的体积V内的电荷减少量，即q- 电流连续性方程之积分形式改写成共一百一十八页应用散度定理则有由于(yuy)S任意，故体积V也任意，则- 电流连续性方程之微分形式讨论(toln)：对于恒定电流，有共一百一十八页故恒定电流(dinli)的电流(dinli)连续性方程为或说明(shumng)恒定电流场J 是无散场，无散度源(

6、通量源)。 由于 ，故令 ，A是某个矢量场，则流过任意曲面S的电流最后一步使用了Stockes定理。共一百一十八页对比(dub)恒定磁场B的环路定理不难发现所以有可见(kjin)，恒定磁场H的旋度等于磁场的漩涡源密度，即电流密度。共一百一十八页2.3 真空(zhnkng)中静电场的基本规律 静电场的基本(jbn)实验定律是库仑定律，由库仑定律可以导出电场强度的表达式，在此基础上结合矢量分析，可进一步导出静电场其他的基本规律-Gauss定理和环路定理。库仑定律电场强度矢量分析电场散度 (Gauss定理)电场旋度 (环路定理)定义（本节知识结构框图）共一百一十八页1. 库仑定律(k ln dn l

7、) (Koulombs Law)真空(zhnkng)中两个点电荷q1、q2之间的静电力表示q1对q2的作用力表示q2对q1的作用力迭加原理：(N个点电荷系统)q1q2共一百一十八页2. 电场(din chng)强度 (Electric Field)定义式(q0是检验电荷)根据定义式导出不同(b tn)电荷分布激发的电场强度： 点电荷的电场qP场点源点o共一百一十八页 点电荷系统(xtng)的电场（迭加原理） 电荷连续分布(fnb)的带电体的电场 体电荷的场 面电荷的场 线电荷的场共一百一十八页+_doPz例1： 计算电偶极子的电场(din chng)强度。电偶极子 - 相距很小距离d的两个等量

8、(dn lin)异号的点电荷(+q和-q)组成的系统。解：以两点电荷连线为z轴，连线的中点为原点建立坐标系，如图。 由迭加原理，偶极子在任意场点P的场强共一百一十八页分别是+q和-q在场点P的电场强度。而 以及 在电磁理论中，通常讨论的是远离偶极子的区域内的场，即有 ，此时+_doPz共一百一十八页利用级数展开代入上式有类似地共一百一十八页因此，场点P的电场强度(qingd)近似为引入电偶极矩矢量 则球坐标中，偶极矩矢量则 故+_doPz共一百一十八页dP(0,0,z)xyz例2：计算均匀带电环形薄圆盘(内半径a、外半径b)轴线(zhu xin)上 任意点P的电场强度。dS解：在盘面(pn m

9、in)上取如图示的面元dS在圆柱坐标系下其位置矢量其带电量 是面电荷密度。轴线上任意点P的位置矢量：共一百一十八页则轴线上任意(rny)点P的电场强度为注意，这里z和 是常量，但 是随变化的变量。由于故共一百一十八页2. 静电场的散度和旋度 亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和 边界条件唯一确定(qudng)，因此要确定(qudng)静电场，就需要先讨论它的散度和旋度。 静电场的散度和Gauss定理(dngl)由电场强度的表达式取其散度，并利用函数的性质，可得结果(附录)：共一百一十八页（1）两边作体积分qenc代表(dibio)V内的电荷总量。左边利用散度定理之后，有 (1)式表明

10、静电场是有散场，任意点的散度和该点的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。电荷密度为正，称发散(fsn)源；为负则称汇聚源。共一百一十八页（2）(2)式即为Gauss定理得积分(jfn)形式，(1)式为其微分形式。Gauss定理(dngl)是库仑定律的必然结果。高斯定理微分形式积分形式共一百一十八页附录(fl)： (1)式证明利用则有(此处利用率函数的积分性质)共一百一十八页也可以不使用函数(hnsh)的性质作出证明：此时，上面的积分结果为0；因此只有当 时，积分才为不0，此时 可提出积分号外：共一百一十八页故有共一百一十八页 静电场的旋度和环路(hun l)定理由电场强度的表达式取其旋度：利

11、用 ，将E 改写 这里最后一步是由于算符只对场点坐标(不带撇)作用。共一百一十八页表明静电场是无旋的，电场线不构成闭合(b h)曲线(非涡漩结构)结果：(3)意义：单位正点电荷沿闭合路径l运动一周，电场(din chng)做功为0- 静电场是保守场。取其面积分，并利用Stockes定理(4)-环路定理环路定理也是库仑定律的必然结果。共一百一十八页 真空(zhnkng)中静电场的基本方程微分形式积分形式这组方程(fngchng)揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性或共一百一十八页2.4 真空中恒定(hngdng)磁场的基本规律 恒定磁场的基本实验定律是安培定律，由安培定律可以导出磁场强度的表

12、达式，在此基础上结合矢量分析，可进一步导出恒定磁场其他(qt)的基本规律磁通连续性原理和环路定理。安培定律磁场强度(毕-萨定理)矢量分析磁场散度 (连续性原理)磁场旋度 (环路定理)定义（本节知识结构框图）共一百一十八页1. 安培力定律(dngl) (Ampres Law) O 安培力定律描述了真空中两个电流回路间作用力(安培力)的规律。定律内容： 真空中两电流回路C1、C2，载流分别为I1、I2，则C1上电流元 对C2上电流元 的作用力为 其中真空(zhnkng)中磁导率共一百一十八页则回路(hul)C1对C2的作用力为 回路C2对C1的作用力为2. 磁感应强度(qingd)矢量B磁场：电流

13、在其周围形成的一种物质。磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷(电流)产生力的作用，称为磁场力，从而表现为电流与电流之间的作用力。磁感应强度B: 描述磁场分布，可由安培力定律得到其表达式从场的观点，C1和C2之间的作用是经由场(磁场)完成的共一百一十八页故 是I1的磁场对I2的作用，改写 的表达式为中的项只和电流I1有关，可视为电流I1在电流元 处的磁场，称为磁感应强度，表示为去掉所有的脚标，得到电流I的磁场-定义式共一百一十八页 OP表示任意的电流回路(hul)C在空间任意点P的磁感应强度。根据矢量迭加原理，回路C上的电流元 产生的磁场 -毕奥-萨伐尔定理共一百一十八页体分布电流的磁场：体电

14、流元面分布电流的磁场：面电流元线分布电流的磁场：线电流元矢性点源共一百一十八页xyzIP(0,0,z)例： 计算半径为a的电流圆环轴线(zhu xin)上任意点的磁感应强度。解：由毕奥-沙伐尔定理共一百一十八页由于故共一百一十八页3. 恒定(hngdng)磁场的散度和旋度 恒定(hngdng)磁场的散度和磁通连续性原理利用 ，将B 改写为 由毕-萨定理，磁感应强度再利用矢量恒等式(见本教程附录)共一百一十八页进一步将B 改写(gixi)为由于算符只对场点坐标(不带撇)微分，故上式第二项为0，则取其散度散度定理共一百一十八页磁通连续性原理(微分形式)(积分形式）无散场(sn chng)磁力线是无

15、头无尾(w tu w wi)的闭合线共一百一十八页 恒定磁场的旋度和安培环路(hun l)定理对磁感应强度取旋度，可得Stockes定理(环路定理)恒定(hngdng)磁场是有旋场，电流J就是恒定磁场的漩涡源共一百一十八页 真空(zhnkng)中恒定磁场的基本方程微分形式积分形式场的基本(jbn)性质：有旋、无散、磁感应线是闭合线、电流是磁场的漩涡源或共一百一十八页2.5 媒质的电磁(dinc)特性介质的电磁特性介质的极化性质介质的磁化性质介质的导电特性特征参量介电常数磁导率电导率共一百一十八页-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

16、-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(a) 加电场(din chng)前(b) 加电场时1. 电介质的极化(j hu)-+共一百一十八页-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(c) 极化(j hu)后极化后介质内部的场被“削弱”了：介质被极化程度越高，其内部场削弱的也越多。共一百一十八页 极化(j hu)强度极化强度矢量P： 描述介质(jizh)极化程度的物理量。定义式：共一百一十八页 极化电荷密度(md) 极化电荷体密度(md) 在介质内任取一闭合面S，在S上取一面元dS,以dS为底，偶极子之正负电荷间距l为斜高构成如图所示的

17、体积元V。 显然只有中心在V内的偶极子才有正电荷穿出面元dS，则从面元dS穿出去的正电荷量：故从闭合面S穿出的正电荷量：-+-+共一百一十八页而留在S内的极化电荷量为极化电荷体密度。由于S及V任意，所以有若介质被均匀极化，则P与位置无关，有 ，因此均匀极化时介质内部无体极化电荷。 第一个等号的理由(lyu)？共一百一十八页 介质(jizh)分界面上的极化电荷面密度介质1介质2分界面上由介质1指向介质2的法向单位矢-+-+包含dS的薄层12从薄层右侧面穿出的正电荷量P2右侧面上(介质2)的极化强度从薄层左侧面穿入的正电荷量P1左侧面上(介质1)的极化强度共一百一十八页而薄层(bo cn)内的净剩

18、极化电荷量为极化电荷面密度，若介质2是真空，则是介质的极化强度 ： 介质1介质2共一百一十八页 介质(jizh)中的Gauss定理真空中的Gauss定理：是静电场的通量源。存在电介质时，极化产生的极化电荷P也是产生电场的通量源，故代入关系式 有定义电位移矢量D共一百一十八页介质(jizh)中的Gauss定理或对于线性、各向同性介质，一般有则电位移矢量D-电介质的本构关系 是自由电荷(z yu din h)密度问题：有介质时，静电场的旋度方程是否也要修正？共一百一十八页例：半径为a、介电常数为的球形电介质内的极化强度 式中k为常数。 （1）计算极化电荷体密度和面密度； （2）计算介质球内的自由电

19、荷体密度。解: (1) 极化电荷体密度球面上极化电荷面密度共一百一十八页(2) 由介质中的Gauss定理，介质球内的自由电荷(z yu din h)密度而即所以共一百一十八页2. 磁介质的磁化(chu) 分子电流模型(mxng)iS由于电子绕核运动，每个磁介质分子等效于一个环形电流，称分子电流，其磁特性可由磁偶极矩表示：和分子电流i的方向构成右手螺旋S为分子电流所围面元共一百一十八页 介质(jizh)的磁化机理(a)磁化(chu)前(b)磁化时共一百一十八页磁化后介质(jizh)内部的磁感应强度:(c)磁化后磁化电流的场介质为顺磁体 介质为抗磁体 共一百一十八页 磁化强度磁化强度矢量(shli

20、ng)M ： 描述介质磁化程度(i.e.分子磁矩取向程度)的物理量。定义式对介质中体积V内的所有分子求和。 磁化(chu)电流 介质内部的磁化电流体密度共一百一十八页 介质表面(biomin)的磁化电流面密度由Stockes定理，流过介质中任意曲面(qmin)S的磁化电流 介质表面的法向单位矢量共一百一十八页 磁介质中的安培环路(hun l)定理真空中的环路定理：J是磁场的漩涡源。存在磁介质时，磁化产生的磁化电流JM也是产生磁场的漩涡源，故代入关系式有引入包含磁化(chu)效应的物理量-磁场强度矢量H：共一百一十八页对于线性、各向同性磁介质磁化率 是无量纲常数。对于顺磁性物质10-3的正数；抗

21、磁性物质10-6 - 10-5的负数。(磁场强度)则有-磁介质的本构关系对非铁磁性材料共一百一十八页引入磁场强度矢量之后(zhhu)，介质中的环路定理写为：或等式的右边仅为传导电流，磁化电流的影响则包含(bohn)在磁场强度H中。共一百一十八页例题(lt)：无限长线电流位于z轴，介质分界面为平面，求磁化电流分布。解：由磁场强度的定义知由于电流呈轴对称分布，可用安培环路定律求解磁场强度，其方向沿 方向。是离导线的距离o共一百一十八页介质(jizh)中的磁化强度介质内的磁化电流介质分界面(z=0)的磁化面电流o共一百一十八页共一百一十八页3. 介质(jizh)的导电特性 对于线性、各向同性的导电介

22、质，介质内任意点的电流密度和电场强度成正比关系：(欧姆定律之微分形式、本构关系) 称为介质的电导率，SI单位S/m 。 导电介质的本构关系(gun x)共一百一十八页理想导体: 强导电介质(良导体)： 107 S/m理想介质: 0导电介质分类链接：常见(chn jin)材料的电导率和相对介电常数说明(shumng)：1) 只有理想导体内的恒定电场为0；2) 在均匀导电媒质(是常量)内，电场E和J的方向相同；共一百一十八页材料电导率材料电导率相对介电常数银6.17107海水581.0铜5.80107蒸馏水210-480.0金4.10107干土110-52.8铝3.82107清水110-380.0

23、黄铜1.57107石灰石110-2青铜1.00107蜡110-114.0铁1.00107聚乙烯110-132.2钨1.82107石英110-175.0镍1.45107橡胶110-153.0常见材料(cilio)的电导率和相对介电常数有漏电的介质共一百一十八页 由于(yuy)介质的电导率有限，外电场迫使电荷在介质中定向运动时要消耗电场能量，表现为发热损耗(或焦耳热)。 导电(dodin)媒质中的能量损耗关系小体积元内，产生的焦耳热功率为所以，单位体积的功率损耗(i.e.热功率密度)为：共一百一十八页(焦耳定律(jio r dn l)之微分形式)则体积V中的导电介质消耗的功率(i.e.热功率)：(

24、焦耳定律之积分形式)例题(lt)： 一同心球形电容器的内、外半径a和b，其间媒质的电导率为，求电容器的漏电电导。共一百一十八页r解： 由于(yuy)媒质的电导率不为0，故存在漏电电流，其方向沿径向从内导体流向外导体。 设流过半径为r的同心球面的漏电电流I，则媒质内的电流密度和电场为：（电流球对称分布）共一百一十八页媒质内的损耗(snho)功率为：媒质的漏电电阻：媒质的漏电电导：共一百一十八页介质的电磁特性介质的极化性质介质的磁化性质介质的导电特性特征参量介电常数磁导率电导率小结(xioji)共一百一十八页2.6 电磁感应(dinc-gnyng)和位移电流“电和磁之间相互关联” 1831年法拉第

25、发现电磁感应定律 变化的磁场产生电场 1862年麦克斯韦提出位移电流假说 变化的电场产生磁场 1864年麦克斯韦方程组，预言电磁波的存在 宏观电磁现象的基本理论 1888年赫兹实验证实了电磁波的存在 1901年马可尼利用电波实现越洋通话共一百一十八页1. 法拉第电磁感应(dinc-gnyng)定律另一方面，根据电动势定义有 代表感应电场，S是回路C所张的曲面。感应电场是有旋场(旋涡状)、非保守场。共一百一十八页空间(kngjin)的总电场:代表静电场时变场(随时间变化，非静态场)情况下，电场的环流：共一百一十八页讨论(toln)1) 若回路(hul)C静止，磁场B随时间变化Stockes定理表

26、明: (a) 随时间变化的磁场（漩涡源）将产生电场,若B是时间的非线性函数，则感应电场也是时间的函数。(b) 若B不随时间变化，即恒定磁场，则上式过渡到：(静电场的旋度方程)(c) 时变场情况下，电场E是有旋场，变化磁场是其源；在静态场情况下，电场E是无旋场。共一百一十八页讨论(toln)2) 若回路C运动(yndng)，磁场B恒定则回路运动引起的感应电动势：+C共一百一十八页讨论(toln)3) 若回路C运动，且磁场B随时间(shjin)变化感生电动势动生电动势共一百一十八页电场(din chng)的通量由于感应(gnyng)电场Ein是有旋的，其电场线是无头无尾的闭合线，则时变场的情况下，

27、电位移的通量：共一百一十八页2. 位移电流时变磁场的旋度？(电荷守恒定律)因恒定磁场的旋度(安培定理)(J 恒定)故(时变场)将 代入电荷守恒定律:共一百一十八页即显然，项 和电流密度J 有相同的量纲，且与电位移D有关，故称之为位移电流密度，记为(位移电流密度)则有另一方面( 广义的安培环路定理 ) 共一百一十八页位移电流的几点说明(shumng)： 位移电流代表电场(din chng)随时间的变化率，当电场发生变化时，会形成磁场的旋涡源(位移电流)，从而激起磁场。 时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电流外，还有位移电流。位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法引入，但在此假说的

28、基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流理论的正确性。共一百一十八页例题：海水的导电率为4S/m，相对介电常数为81，求当频率为1MHz时，海水中的位移电流与传导电流(chun do din li)振幅的比值。解：设电场(din chng)是随时间正弦变化的位移电流密度传导电流密度共一百一十八页位移电流与传导电流振幅(zhnf)的比值海水是一种良好的导电媒质共一百一十八页2.7 麦克斯韦(mi k s wi)方程组 麦克斯韦方程组由麦克斯韦于1864年总结出来(ch li)的，是揭示时变电磁场基本性质的基本方程组；在时变电磁场中，电场和磁

29、场相互激励，形成统一不可分的整体。 麦克斯韦方程组由四个方程构成，有微分和积分两种表达方式。共一百一十八页1. 麦克斯韦(mi k s wi)方程组的积分形式(广义的安培环路定理)(法拉第电磁感应定理)(磁通连续性原理)(高斯定理)共一百一十八页2. 麦克斯韦(mi k s wi)方程组的微分形式变化的电场产生磁场变化的磁场产生电场磁通永远连续，磁场是无散场存在正电荷的点发出电位移线；存在负电荷的点汇聚电位移线电磁波共一百一十八页3. 关于(guny)麦氏方程的几点说明因时变的电场和磁场可以相互激发，故它们能脱离场源（和）而存在；在离开场源的区域内，电场和磁场都是无散有旋的，电力线和磁力线形成

30、无头无尾的闭合环，且相互交链，在空间(kngjin)形成电磁波传播。伟大的预言！共一百一十八页若场变量不随时间变化，则麦氏方程过渡(gud)到静态场的基本方程：因此静态场只是(zhsh)时变场的特例。麦氏方程中只有个方程独立，其中麦克斯韦第三方程可以由第二方程导出，因为假定在过去或将来某个时刻，的散度为，则总有共一百一十八页. 麦氏方程(fngchng)的辅助方程(fngchng)本构关系 麦氏方程组中只有个独立方程（个旋度方程和个散度方程），总计个标量方程。而变量的数目有个（个矢量(shling)和个标量），总计个标量，因此要完全确定场量必须引入辅助方程介质的本构关系。麦氏方程的限定形式本构

31、关系(9个标量方程)共一百一十八页2.8 电磁场的边界条件 微分形式的麦氏方程要求场矢量必须处处可微，但在不同介质的分界面上，存在电荷(dinh)和电流分布，导致界面上的场矢量不连续，有突变，因此界面上不适用微分形式的麦氏方程（但积分形式的麦氏方程则仍然可用），故可利用积分形式的麦氏方程导出界面上的场矢量满足的关系边界条件来代替界面上的微分形式的麦氏方程。共一百一十八页1. 边界条件的一般(ybn)形式abcd介质2介质1磁场强度(cchng qingd)H的边界条件 在界面上取矩形闭合回路abcd，短边长h 0，长边平行界面,长度l，将麦氏第一方程应用于回路：介质21共一百一十八页abcd介

32、质2介质1 是回路所围面积S的法向单位矢，与绕行方向abcd成右螺关系因h0，第一项实际上是回路包围的自由面电流(dinli)，利用面电流公式(幻灯片9)，该项为共一百一十八页右边(yu bian)第二项因此利用矢量恒等式共一百一十八页介质21即得磁场强度(cchng qingd)H的边界条件或表明： 界面上的自由面电流JS分布导致(dozh)界面两侧磁场强度H的切向分量不连续。共一百一十八页电场(din chng)强度E的边界条件 将麦氏第二方程应用(yngyng)于回路abcd，与类似的分析，可得介质21或表明： 界面上电场强度E的切向分量始终连续。共一百一十八页磁感应强度(qingd)B的边界条件 介质2介质1如图，取一小的闭合圆柱面，其高h0，两底面S平行界面，应用麦氏第三方程：共一百一十八页即得磁感应强度(qingd)B的边界条件 表明： 界面上磁感应强度B的法向分量(fn ling)始终连续。电位移矢量D的边界条件 或介质21或S 是界面上自由电荷面密度。表明： 界面上的自由面电荷S分布导致界面两侧电位移矢量D的法向