高等数学(第三版)3.3函数单调性和极值精选课件

1、高 等 数 学主讲人 宋从芝河北工业职业技术学院第1页，共23页。 本讲概要函数单调性函数极值的定义函数极值的判定和求法3.3 函数的单调性和极值第2页，共23页。 设函数 y = f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，定理一.函数的单调性 且 （或 ），则 f (x)在a,b上是单调增加（或单调减少）。第3页，共23页。例1判定函数 的单调性。 函数 f(x) 在定义域(-,0)(0,+)内连续， f(x) 在(-,0)(0,+)内都是单调增加的。由函数的单调性的判定定理，得解第4页，共23页。例2 判定函数 的单调性。 函数 f(x) 的定义域为(-,+)， 则 f(x) 在(-,

2、0)内单调减少。解 在(-,0)， 则 f(x) 在(0,+)内单调增加。 在(0,+)，第5页，共23页。 (3)以这些点为分界点，将定义域分为若干个子区间,列表判断各个区间内f (x)的符号，从而判定出 f (x) 的单调性.求函数的单调性的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求出使 f (x) = 0 和 f (x) 不存在的点；第6页，共23页。例3求函数 的单调区间。定义域为(-,+)解第7页，共23页。练习 求函数 的单调区间。定义域为(-,+)解列表第8页，共23页。例4 判定函数 的单调性。 函数的定义域为(-,+)解内单调增加。 函数 在(-,+)注意在(a,b)内的有限个点

3、处为零，而在 如果其余点处均为正，则f (x)在(a,b)内仍是单调增加的。第9页，共23页。如果对于x0近旁的任意x(xx0)， 设函数 f (x)在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的二. 函数极值的定义f (x0)是函数f (x)的一个极大值，定义 则f (x0)是函数f (x)的一个极小值，一个点。如果对于x0近旁的任意x(xx0)，f (x)f (x0)均成立， 做f (x)的一个极大点。点x0叫 第10页，共23页。函数的极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值的极大点与极小点统称为极值点。第11页，共23页。下图中找到函数f (x)在a,b的极值、最值。第12页，共23

4、页。 极值是局部性的概念，最值是整体性的概念。极值不唯一，最值唯一； 函数极值一定在区间的内部，在区间的端点处不能取得极值；说明：函数的极大值不一定比极小值大； 而函数的最大值和最小值可能出现在区间的内部，也可能出现在区间的端点处。第13页，共23页。 设函数 f (x)在点x0可导，且在x0取得极三.函数极值的判定和求法 使导数为零的点（即方程 定义定理值，则函数 f (x)在点x0的导数 根）称为函数 f (x)的驻点。的实第14页，共23页。定理2（极值判定定理一） 当x x0时， ，当x x0时， ，在x0两侧， 不变号，则f (x0)不是函数的可导，且 如果 设函数 f (x)在点x

5、0近旁 则f (x0)是函数的极大值； 则f (x0)是函数的极小值； 极值。第15页，共23页。可能的极值点x0 ：思考:驻点不可导点第16页，共23页。 判定函数的单调性和极值的步骤： 求定义域； 求出一阶导，找到可能的极值点； 列表讨论:用极值的判定定理一,判定子区间内的单调性，检查可能的极值点两侧单调性的变化： 如果由增变减，则是极大值； 如果由减变增，则是极小值。 如果两侧单调性不变，则不是极值。第17页，共23页。例5求函数 的极值。定义域为(-,+)解第18页，共23页。利用极值判定定理一通过列表讨论如下：极大值极小值13则函数的极大值 ，极小值为第19页，共23页。例6求函数 的极值。定义域为(-,+)解第20页，共23页。利用极值判定定理一通过列表讨论如下：则极小值 ， 无极值极小值0无极值 不是极值点