专题2.6概率与统计-随机变量及其分布（解析版）

1、专题2.6概率与统计-随机变量及其分布叭要点提示.求解离散型随机变量X的数学期望与方差的一般步骤：（1）分析随机变量X的可取值斗,2,，相；（2）计算随机变量X取不同值时对应的概率P”，2,，Pn ；（3）由期望和方差的计算公式，求得数学期望（X）,D（X）；.（4）假设随机变量X的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布）, 可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意 应用计数原理、古典概型等知识的运用.计算时要细心，写出分布列后注意根据概率和为1进行检验.叭实战演练1. 2021年10月16日，是第41

2、个世界粮食日.黑龙江作为全国粮食生产大省，连续H一 年粮食产量位居全国首位.近年来受疫情影响，全国各地经济产值均有所下降.为改变现状， 各省均推出支持企业落户创业政策，哈市某企业响应号召，引进一条先进食品生产线，以稻 米为原料进行深加工，创造了一种新产品，假设该产品的质量指标值为加（相70,100）,其 质量指标等级划分如表：质量指标值m70, 75)75, 80)80, 85)85, 90)90, 95)95, 100质量指标等级废品次品三级二级一级特级为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了 10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制

3、如下频率分布直方图：（1）假设将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记事件力为“抽出的产品 p（x =o） = -xlxl = , P（X3=50）= C；囚 x- = , TOC o 1-5 h z 37 3 3 3 27 3）3 271 IO/o3 QP（X3=100） = C； - x- = , P（X?=150）=-,V -7 A3 J 3 27 v -7 UJ 27iA19qE（Xj = 0 x + 50 x + 100 x + 150 x = 100, v 3727272727所以（X3）E（XJE（X2）,即乙获得图书换购券金额最少.8. 口琴是一种群众熟知的方

4、便携带的乐器.独奏口琴有三种，分为半音阶口琴（有按键）、复 音口琴、十孔口琴（又名布鲁斯口琴、蓝调口琴）.“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好者的练琴 情况，提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴开展，在全国范围内进行了广泛调查.“口琴者 联盟”团队随机调查了 200名口琴爱好者每周的练琴时间工（单位：小时）并绘制如下图的频 率分布直方图.（1）由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间工服从正态分布N（42） 其中近似为样本平均数最，/近似为样本方差/（同一组的数据用该组区间中点值代表）， 据此，估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数；（2）从样本中练琴时间在05L5

5、）和556.5）内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取8人, 再从这8人中随机抽取4人进行培训，设y表示抽取的4人中练琴时间在556.5）内的人数, 求V的分布列和数学期望.I4参考数据：样本方差 2=1.78 ， Vh78-，尸（ bXW + b） = 0.6827 ,P（一 2b v X 4 + 2b） = 0.9545 ,尸（ 3。 X + 3。） = 0.9973.【试题来源】湖南省长沙市第一中学2022届高三下学期月考（七）【答案】6827人,（2）分布列见解析,3【解析】（1）这200名口琴爱好者每周的练琴时间的平均时间 元= 1x0.03 + 2x0.1 + 3x0.2+4x0.3

6、5+5x0.19 + 6x0.09 + 7x0.04 = 4,由于样本方差/=1.78,所以，结合题意知=4, /=.78,所以 X N（4,L78）,b = aTp3 ,4-3 =9小时= 160分钟，4 + =屿小时= 320分钟，3334P（4 X W 4 + ） = 0.6827 , 10000 x 0.6827 = 6827.可以估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数约为6827人.睨=4）=辛5314（2）由频率分布直方图可知，成绩在05,1.5）, 556.5）内的口琴爱好者人数比例为 003:0.09 = 1:3,用分层抽样的方法抽取8人，那么成绩在05

7、L5）内的有2人,成绩在556.5） 内的有6人,所以y的所有可能取值为2, 3, 4.那么 TOC o 1-5 h z p(Y = 2) = P(Y = 3) =-()C； 14 () C； 7所以y的分布列为Y234P31447314 TOC o 1-5 h z 343故 E（y）= 2x + 3x + 4x = 3.14714.为响应绿色出行，前段时间贵阳市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车2 其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两局部组成：根据行驶里程按1 元/公里计费；行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；超出局部按0.20元/分钟 计费，张先生

8、家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红 路灯等因素，每次路上开车花费的时间，（分钟）是一个随机变量.现统计了 100次路上开车 花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间，（分钟）(20,30(30,40(40,50(50,60频数4364020将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为（20,30 分钟.（1）写出张先生一次租车费用 （元）与用车时间，（分钟）的函数关系式；（2）假设公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下租用新能源分时租赁汽车？并说明理由；（同一时段，用该区间的中点值作

9、代表）（3）假设张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设J表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求4的分布列和期望.【试题来源】四川省泸州市泸县第五中学2022届高三三诊模拟考试【答案】（1） y =【答案】（1） y =0.12r + 15,20Z400.2/ + 11.8,40/60：（2）张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用，理由见解析;（3）分布列见解析，期望为1.2.【解析】(1)当20VM40时,y = 0.+ 15当40V，60时,= 0.12x40 + 0.12x(z-40) +15 = 0.2r + 11.80.12r + 15,20r

10、400.2r + 11.8,40?900,估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用.（3）张先生租赁分时汽车为“路段畅通”的概率=需=，4 可取 0/23.，6 =。）=於4 = 1）=高，6 = 2）=得,4 = 3）=2A JL J1 乙 JL 乙 J4的分布列为所以EJ = lx5412540123P2712554125361258125= 1.2c 36 c 8+ 2xf3x125125.家用自来水水龙头由于使用频繁，很容易损坏.受水龙头在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件水龙头的利润与该水龙头首次出现损坏的时间有关.某阀门厂生产尺寸都 为4分（指的是英制尺寸）的

11、甲（不锈钢阀芯），乙（黄铜阀芯）两种品牌的家用水龙头， 保修期均为1年（4个季度）.现从该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取200件，统计数据如下表:品牌甲乙首次出现损坏时间X（季度）0 x40 x22x4水龙头数量（件）20180816176每件的利润（元）3.65.8246将频率视为概率，解答以下问题：（1）从该厂生产的甲、乙两种品牌水龙头中各随机抽取一件，求恰有一件首次出现损坏发生 在保修期内的概率；（2）由于资金限制，只能生产其中一种品牌的水龙头.假设从水龙头的利润的均值考虑，你认 为应选择生产哪种品牌的水龙头比拟合理？【试题来源】河南省汝州市2022届高三4月质量检测49【答案】m

12、言，仁）选择生产乙品牌水龙头比拟合理201【解析】（1）设“甲品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件4那么PG4）=砺=历； 设“乙品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件8,贝lJP（3） =铝f =祗.设“恰有一件首次出现损坏发生在保修期内”为事件C,一_931 22 49那么 p（C） = P（A）P（B） + P（A）P（B） = x + x = .10 25 10 25 250（2）记生产1件甲品牌水龙头的利润为XN元），生产1件乙品牌水龙头的利润为X?（元），那么X1的分布列为3.65.8p1109101QE(Xj = 3.6x + 5.8x3 = 5.58, X2的分布

13、列为X?246p12522522251922Eg) =2 xF 4 xF 6 x = 5.68.因为(%)”2),所以选择生产乙品牌水龙头比拟合理.某校高三年级有男生1800人,女生1200人.为了解学生本学期参与社区志愿服务的时 长，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100名学生，并按“男生”和“女生”分为两组，统计 他们参与社区志愿服务的时长，再将每组学生的志愿服务时间(单位：小时)分为5组： 0,10),10,20),20,30),30,40),40,50),并分别加以统计，得到如下图的频率分布直方图.(小时)女生组(1)从全年级学生中随机选取一位学生，估计该生社区志愿服务时间大于等于1

14、0小时并且 小于20小时的概率；(2)从样本中男生组和女生组各随机选取一位学生，记其中参与社区志愿服务不小于30 小时的人数为X,求X的分布列和数学期望；(3)从样本的男生中随机抽取3人，调查发现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小 于10小时.据此数据能否推断本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数 相比上学期减少了？说明理由.【试题来源】广西(燕博园)2022届高三3月综合能力测试(CAT)【答案】(1) 0.28; (2)分布列见解析，0.6; (3)答案见解析.【解析】(1)首先由分层抽样可得100名学生中，男生人数为100 x黑= 60,女生人数为 100 x黑=40

15、 .又由直方图中所有小长方形面积之和为1,可得。= 0.03 .所以男、女生中社区 志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的人数分别为60 x0.03x10 = 18 , 40 x 0.025x10 = 10.由此可估计从全年级学生中随机选取一位学生，该生社区志愿服务时间 大于等于10小时并且小于20小时的概率为砺=0.28.(2)由题可知X的所有可能取值为2.记A =”所取男生的社区志愿服务不小于30个小时、3= 所取女生的社区志愿服务不小于30个小时”.那么尸(A) = 0.25,尸(B) = 0.35故 P(X = 0) = P(A)P(B) = 0.65 x 0.75 = 0.4

16、875 ,P(X =1) = P(A)P(B) + P(A)P(B) = 0.65 x 0.25 + 0.35 x 0.75 = 0.425P(X = 2) = P(A)P(B) = 0.35 x 0.25 = 0.0875.所以X的分布列为X012P0.48750.4250.0875E(X) = xlpl+X3P3 =0 x0.4875 +1x0.425+ 2x0.0875 = 0.6.(3)假设本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数与上学期相比没有减 少.即上学期这60位男生中社区志愿服务小于10小时的人数不超过60 x 0.005x10 = 3 .那么从样 本的男生中随机

17、抽取3人，调查发现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10个小 时的概率不超过舁二口 ;立五白及C4)59x58x10 34220答案1可以认为本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减 少了这是一个小概率事件，但是却发生了，由此可以推断本学期样本中男生参与社区志愿 服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.答案2不能确定本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减 少了.虽然这是一个小概率事件，但是仍有发生的可能，因此不能确定本学期样本中男生参 与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出

18、门一部手机解决所有，而现在连手机都 不需要了，毕竟手机支付还需要携带手机，翻开“扫一扫”也需要手机信号和时间，刷脸支付 将会替代手机支付,成为新的支付方式.现从某大型超市门口随机抽取40名顾客进行调查， 得到了如以下联表：男性女性总计支付1620非刷脸支付8总计40(1 )请将上面的列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？(2)在抽取的40名顾客的样本中，根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取7名，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X 的分布列及数学期望.附：K?历) 其中 = + /?+c+d尸(片滔)0.100.0

19、50.0100.005上02.7063.8416.6357.879【试题来源】内蒙古赤峰市红山区2022届高三3月模拟【答案】(1)列联表见解析，没有90%的把握认为使用刷脸支付与性别有关(2)分布列见解析，数学期望为华【解析】(1)列联表补充如下：男性女性总计刷脸支付41620非刷脸支付81220总计122840) (4x12 8x16)-x40K2 = 1= 1.905 6.635,8.129 6.635,100 x(45x20-25xl055x45x70 x30所以有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关.（3）易知9人中满意的有5人，不满意的有4人由题意可知，X的可能取值为0, 1,

20、 2, 3, 4,C4 1p(X=0)= V =；I )C： 126唳=1）=等噎吟P42）=等喂得P42）=等喂得P(X = 3)=c?d 40 20 U663 TOC o 1-5 h z 5P（X=4）= -J = -,所以X的分布列为C9 120X01234P11261063102120635126 TOC o 1-5 h z 厂/V、八 1I 1c 1G 20/520石(X) = 0 xF1 xF 2 xF 3 xF 4 x=（1）求。的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数;（2）现从年龄在50,60）, 70,80的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机

21、抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在70,80的人数，求X的分布列和 数学期望;（3）假设用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有女名市民的年龄在30,50）的概率为& （攵=0, 1, 2,20）,当凡最大时，写出人的值.（不用说明理由）【试题来源】北京市八一学校2022届高三一模模拟练习13【答案】-0.02, 53针分布列见解析，期望为“k=8【解析】（1）由题意（。.0。5 + 0.。1。+。+。.03 +。.035”1。= 1,。= 0.02,年龄在30,50）间的频率为（0.005 + 0.035）x10 = 0.

22、4,而50,60）间的频率为 Q03x 10 = 0.3 ，中至少有1件为二级及以上产品“，求事件/发生的概率；（2）假设从质量指标值m不低于90的样本中利用分层抽样的方法抽取6件产品，然后从这6件产品中任取3件产品，求质量指标值相9500的件数X的分布列及数学期望;（3）假设每件产品的质量指标值加与利润（单位：元）的关系如表（2?4）：质量指标值m70,75)75, 80)80, 85)85, 90)90, 95)95, 100利润y （元）-2d3t2t3t4t5t每件产品的平均利润到达最大值时，试确定，值及此最大值（结果保存一位小数）.（参考数值：ln2M.7, ln5句.6）.【试题来

23、源】黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022届高三下学期第三次模拟考试数学试题【答案】（1） 0.91； （2）分布列见解析，1； （3），=3.2时，每件产品的平均利润到达最大约 为 5.5.【解析】（1）抽取到为二级及以上产品的件数为匕那么由频率分布直方图可得，任取1件产 品为二级及以上产品的概率为5 （0.08+0.04+0.02） =0.7.那么卜3 （2, 0,7）,那么尸（A）= C；0.7x0.3 + C；0.7x0.7 = 0.42 + 0.49 = 0.91；（2）由频率分布直方图得指标值大于或等于90的产品中，m e 90,95）的频率为 0.04x5=0.2, m e 95,1

24、00的频率为 0.02x5 = 0.1,所以利用分层抽样抽取的6件产品中，加式90,95）的有4件，95,100的有2件，从这6件产品中，任取3件，质量指标值相95,100的产品件数X的所有可能取值为0, 1,C3 1CC2 3c2c 12,那么：尸(X=0)甘g,尸(X=l) =宣尸(乂 = 2)=宣= 6所以X的分布列为13 IX012Pj_ 53515所以X的数学期望为（X）= 0 xk + lX1 + 2xl；（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值2与利润似元）的关系如表所示（2y C黎 0.4 x 06T37 CO.1 x0.619- ?.付 5 一 一 5所以左二8时，a最大

25、.15.通信编码信号利用信道传输，如图1,假设g石C信道传输成功，那么接收端收到的信 号与发来的信号完全相同；假设信道传输失败，那么接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）.传输成功那么接收到信号5 传输失败那么接收不到信号信道 2图2华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家Erdal Arikan教授的极化码技术（以两个相互独立的信道传输信号为例）：如图3,信号3直接从信道2传输；信号G在传输前 先与4 “异或”运算得到信号屈，再从信道1传输.接收端对收到的信号，运用“异或”运 算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号q或。2.（注：“

26、异或”是一种2进制数学逻辑运算.两个相同数字“异或，得到o,两个不同数字“异或” 得到1, “异或”运算用符号“”表示:。0 = 0, 11 = 0, 10 = 1,。1 = 1 .“异或运算性 质：A8 = C,那么A = C8）.假设每个信道传输成功的概率均为p（Opl）. q2=0.（1）在传统传输方案中，设“信号k和均被成功接收”为事件A ,求尸缶）：（2）对于极化码技术：求信号5被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定G的值）的概率；假设对输入信号G赋值（如4=0）作为信号，接收端只解码信号4,求信号力被成功解码的概率.【试题来源】安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学

27、质量检测【答案】（1） p2; （2）p?；2p-p2.【解析】（1）设“信号5和力均被成功接收”为事件A,那么P（A） = pp = p2；（2）。|4=X|,X.当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由。2、的值可确定q的值，所以信号q被成功解码的概率为2；假设信道2传输成功，那么信号。2被成功解码，概率为P;假设信道2传输失败、信道1传输成功，那么4=GX，因为G为信号，信号。2仍然 可以被成功解码，此时3被成功解码的概率为（1- p）p ；假设信道2、信道1都传输失败，此时信号无法成功解码；综上可得，信号被成功解码的概率为p + p(l - P) = 2p - p2 .哈尔滨市工会为了解

28、市民日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了 1000名市民，利 用手机计步软件统计了他们3月15日健步的步数，并将样本数据分为 3,5),5,7),7,9),9,11),11,13),13,15),口5/7),17,19),19,21九组(单位：千步)，将样本数据 绘制成频率分布直方图如图，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.频率砺0.150.1054321 6 .00.0.0.0 O.SO.O.().79tl ；3 ；5 ；7 ：9 1步数(单方:千步)(1)请利用频率分布直方图估计样本平均数万和众数。；(2)由频率分布直方图可以认为，市民日健步步数Z (单位：千步)近似地服从正态分布

29、其中近似为样本平均数无，。的值已求出约为3.64.现从哈尔滨全市市民中随机抽取5人，记其中日健步步数Z位于(4.88,15.8)的人数为X,求X的数学期望.参考数据：假设 Z N(, cr),那么一bZv + b) = 0.6827 ,0( -2b v Z + 2b) = 0.9545.【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2022届高三第二次模拟考试【答案】(1)平均数：12.16千步；众数：12千步；(2) 4.093【解析】(1)样本平均数为x =4x0.04+6x0.06 + 8x0.10+10 x0.10+12x0.3 + 14x0.2 + 16x0.1 + 18x0.08+20 x0

30、.02 = 12.16样本众数a = 13： =12 ； 2(2)根据题意得4 = 12.16, (t = 3.64；所以-2。= 4.88, /4-7 = 15.8,即(-2b,+b) =(4.88,15.8),因为P(-2ctZ/4-(t) = P(-2。Z + 2。)+ P(- tZ/z +(t) = 0.8186 ,2所以X3(5,0.8186),所以E=5x0.8186 = 4.093.某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规那么是两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰.比赛双方首先进行一局慢棋比赛，假设和棋，那么加赛快棋；假设连续两局快棋都是和棋，那么 再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与

31、负两种结果.在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的 概率分别为:，:，快棋比赛胜与和的概率均为:，超快棋比赛胜的概率为J,且各局比赛 2334相互独立.（1）求甲恰好经过三局进入复赛的概率；（2）记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X,求X的概率分布列和数学期望.【试题来源】江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2022届高三 下学期第二次调研考试 TOC o 1-5 h z 140【答案】（1）（2）分布列见解析，-2727【解析】（1）前两局和棋最后一局甲胜，P =J J J 乙 /（2） X的所有可能取值为1,2,3,4,乙慢棋比赛胜概率P =，乙快棋比赛胜概率尸 O3aI 1

32、21 ，1 I 2乙超快棋比赛胜概率P = J.P（X = 1） =不+ z = w，P（X=2）= wX - + -p(X=3)= 1x|xn 2,、i i i iX的分布列为X1234P232922712740 2779?|E(X)= lx + 2x + 3x + 4x v 739272718.为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，每月评比一次，对该月内每日运动都到达一万步及以上的职工授予该月 “健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号,（1）现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系

33、, 统计结果如下：健走先锋健走之星男员工2416女员工1614能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？V、n(ad-bc)2K=( + b)(c + d)(。+ c)(b + d)（2）根据（1）中的表格，将样本的频率视为概率，现从该单位职工中随机抽取3人进行调 查，记X为这3人中是获得“女员工健走之星”的人数，求X的分布列与数学期望.Pg.k。)0.150.100.050.0250.010k。2.0722.7063.8415.0246.635(其中 = Q+c+d )【试题来源】安徽省宣城市2022届高三下学期第二次调研测试3【答案】（1）没有，（2）分布列见解析，-【

34、解析】（1）由表中数据可得六【解析】（1）由表中数据可得六70 x(24x14 - 16x16)21440 x30 x40 x30450.311 2.706；故没有90%的把握认为获得，建走先锋”称号与性别有关.14 1（2）根据题意，获得“女员工健走之星”的概率为尸= = gX的取值可为0, 1, 2, 3,4?尸(X=0)=-15；64-125P(X=1) = C；- 5 7、|48 125P(X=2) = C；121251125故分布列为X0123P641254812512125112519.规定抽球试验规那么如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个,连续取两次，将以上

35、过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，那么记该轮为成功, 否那么记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，那么停止；否那么，在盒子中再放入一个红球， 然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;(2)为验证抽球试验成功的概率不超过;，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验,(3)证明：手(3)证明：手+ 14 (22)32+ 1TI 22J1一工(+ + 1-) (n +-7 时，P(X = k,Y = m) = 0,jn-k(、 ,kk,故必

36、=2 尸(x = A，y = M = 5(x = Ny = m)= Cc，F=徜Zc， ?=0?=0?=0 D 。 ?=00,函数/i（，） = -0.le+25单调递增，当2山5,4）时,/ k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8289n(ad-bc_ .,： =777r，其中 n = a+b+c+d .【试题来源】黑龙江省绥化市高中联盟校2021-2022学年上学期高三12月联考【答案】（1）有99.9%的把握认为参加体育活动与性别有关9（2）分布列见解析，期望为三 o【解析】由题意可得k= 140 x（30 x2。-50 x40）2 11.667 10,8288

37、0 x60 x70 x70故有99.9%把握认为参加体育活动与性别有关（2） 60以下居民共80人，其中男性30人，女性50人，用分层抽样的方法从中抽8人，那么QQ男性有30 x = 3人，女性有50义赤=5人 o（Jo（J从这3位男性和5位女性中随机抽取人，抽到的男性居民数可能有0, 1, 2, 3,故X的所有可能取值为0, 1, 2, 3,c3 S尸（x=o）=v=17 Cl 28c3 S尸（x=o）=v=17 Cl 28clc2尸（X = l） = =1528c3尸（X=4）*56r2rl 15P（X=2）= = I 7 Cl 56X的分布列如下:X0123P52815281556156

38、八 5 115c 15 cl 9E（ X） Ox 1-1 x F 2 xF 3 x =一v 728285656 83.某省高考实行“3+1+2”新模式，“3”为语文、数学、外语3门必考科目；“+1”为考生在物理、 历史2门中选考1门作为“首选科目”；“+2”为考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选考 2门作为“再选科目”，一所普通高中的600名高三同学参加了某次新高考模拟考试，每位同 学“再选科目”的得分之和为X,现从这600名同学中随机抽取100人，统计他们的X值， 得到如下图的频率分布直方图，用这100人的数据估计全校600名高三同学总体.（1）求这次考试高三同学“再选科目”得分之和X的

39、70%分位数的估计值;（2）社会助学机构赞助了该普通高中450个相同的奖品，学校为激励高三同学对“再选科目” 的备考热情,校委会研究决定将这些奖品全部奖给参加这次考试“再选科目”得分之和X不低 于140分的同学，X在区间140,160）内的同学每人奖励x个奖品，X在区间160,200内的 同学每人奖励y个奖品，确定X和y的合理值.【试题来源】辽宁省丹东市2022届高三总复习质量测试（一）【答案】（1） 156, （2） %和丁的合理值分另I为1和2【解析】（1）根据频率分布直方图尸（X, 140） = 0.05 + 0.15 + 0.3 = 0.50.P（X, 160） = 0.50+0.25

40、 = 0.75于是这次考试再选科目得分之和X的70%分位数的数估计值为140 +空装9x 20 = 156.J 2（2）从参加考试的同学中随机抽取1人，得分之和在区间140,160）内的概率月=0.25,得分之和在区间160,200内的概率2=。.15 + 0.1 =。.25.于是这600名同学中：X 在140,160）内人数为 600 x 0.25 = 150；X 在160,200内人数为 600 x 0.25 = 150 .由 150 x+150y = 450,可得x+y = 3.根据实际，应有心于是x和V的合理值分别为1和2.解法2：从参加考试的同学中随机抽取1人，其X值在140,160

41、）内的概率Pi=0.25,X值在 160,200内的概率=0.15 + 0.1 = 0.25.这1名同学获得奖品数丫值可取0/,1p（y = 0）= l PiP2=0.5; P（Y = x） = P（Y = y） = Pi =0.25y的分布列为Y0XyP0.50.250.25所以 （y） = 0 x0.5 + xx0.25 + yx0.25 = 0.25（x+y）.因此该学校大约需要准备奖品数为E（600y） = 600E（y） = 150（x+y）. 由 150（x+y） = 450,可得x+y = 3.根据实际，应有工,y,xN*,yN,于是尤和V的合理值分别为1和2.甲乙两队各有2位队

42、员共4人进行“定点投篮”比赛，规定在一轮比赛中，每人投篮一次，投中一球得2分，没有投中得0分,现甲队两位队员每次投篮投中的概率均为亿.乙队两位队员每次投篮投中的概率分别为，P3.（1）假设Pi=0.5,2=04P3=0.6,分别计算甲乙两队在一轮比赛中得2分的概率，并根据这两个数据说明哪个队在一轮比赛中得到2分的可能性大？（2）某同学发现：假设小=上爱，那么甲乙两队在一轮比赛中得分的期望值就相等；他根据 这一发现又得出结论：假设月二号也，那么在一轮比赛中，按两队的均分决定胜负，这两队 一定是平局；记在一轮比赛中甲队得分为九 乙队得分为人 请你写出甲乙两队得分的分布 列，对该同学的发现的正确性给

43、予证明，并简要说明该同学得出的结论是否正确.【试题来源】内蒙古呼和浩特市2022届高三第一次质量数据监测【答案】（1）甲队的概率为1=0.5,乙对的概率为鸟=0.52,乙队在一轮比赛中得到2分的可能性大.（2）分布列见解析，证明见解析.【解析】（1）因为甲队两位队员每次投篮投中的概率均为月=。.5,乙队两位队员每次投篮投中的概率分别为P2 =。4,3 =。.6 ,甲队在一轮比赛中得2分的概率为4 = C； -x（l-l） = 0.5 ,乙队在一轮比赛中得2分的概率为6=0.4x（l0.6）+ （l0.4）x0.6 = 0.16 + 0.36 = 0.52,因为。520.5,所以乙队在一轮比赛中

44、得到2分的可能性大.（2）由题意，甲队得分为4的可能取值0,2,4,可得尸（4 = 0） = （1 了，PC = 2） = C；（1 一。= 2（1一 ），PC = 4） = ；，所以随机变量4的分布列为4024P(1-Pl)22 Pl (1- Pi)p;所以甲队得分期望为E=4月(1 8)+ 4p： = 4Pl,乙队得分为的可能取值0,2,4, 可得 P( = 0) = (1 P2)(l 3)，P(；7 = 2) = p2(l-p3) + (l-p2)p3, PQ7 = 4) = p2P3 ,所以随机变量4的分布列为024p2(1-，3)+(1-2)3 2 P3所以乙对得分期望为右()=22(1-3)+ (1-。2)3+423=22+23=2(2+，3)，假设P1=H产，可得E(9 =石()，甲乙两队在一轮比赛中得分的期望值就相等,这位同学的结论是不正确的，因为期望相等仅代表大量重复比赛结束后两同学的得分平均取 值大小应该相等，但在实际的一局比赛中，比分仍然是不确定的，两人得分可能不等，所以 结论不正确。71.甲、乙两名射手射击1个较远的目标，甲命中的概率为:，乙命中的概率为、.甲、乙是 否命中互相独立，甲乙均