【学习课件】第三节函数的极限

1、 第三节 函数的极限本节内容提要：一、当 时，函数的极限二、当 时函数的极限三、再讨论函数的极限四、当 时,f(x)的左极限与右极限五、函数极限的性质编辑ppt本节重点：函数极限的概念，函数的极限的计算. 本节难点：函数极限的概念。教学方法：启发式教学手段：多媒体与面授教学时数：2学时返回编辑ppt一、 当 时，函数 的极限 考察 时，函数 的变化趋势，由图1-17可以看出， y 1 0 图1-17当x的绝对值无限增大时， 的值无限接近于零，即当 时， f (x)01. 函数极限的一般定义定义：如果当x绝对值无限增大即 时，对应的函数值 无限趋近于一个确定的常数，则称函数 当.时以A为极限，记

2、作： 编辑ppt或 根据上述定义函数极限的 定义定义:设函数f(x)在x|M处有定义，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数（），使得适合不等式x|Z的所有X对应的函数值f(x)都满足或 注：的几何意义是：做直线y=A和y=A-,则总有一个正数存在，使当XZ时，函数y=f(x)的图形位于这两条平等直线之间（图1-18）编辑pptyA+A y=f(x)A- -z 0 z x图1-17 定义中，自变量x的绝对值无限增大指的是x取正值而无限增大（记为x+）,同时也取负值而绝对值无限增大（记作X-），但有时x的变化趋向只能或只需取这两种变化中的一种情形.编辑ppt 定义：如果当x+(或X-

3、)时，函数无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数 当x+（或X-）时的极限，记作：或例如： yo x 图1-18及两个极限值相等，因此（如图）编辑ppt又如： 及 y y=arctanxox（图1-19）所以 不存在（图1- 19）由此得出：如果 和 都存在并且相等，那么也存在并且与它们相等。如果 和都存在但不相等，那么 不存在. 编辑ppt例例1 求 和 解：如图1-20所示例2 讨论当 时，函数 的极限。 解：因为 和都存在，但不相等，所以 不存在 y y=e-x y=ex X 0 图1-20返回编辑ppt二、当 时函数 的极限例考察当 时函数 的变化 解 函数 在 有定义设从的左侧

4、无限接近于，即取值及对应的函数如下表 2.9 2.992.9993.0013.013.12.972.9972.99973.00033.0033.03可以看出，当x越来越接近于3时， 的值无限接近于3 y 3 x 3 x X 图1-21编辑ppt例3 考察当 时，函数 的变化趋势。 解 函数 在 内有定义。 设x从1的左、右两侧无限接近于1时，对应的函数 如表1-3X0.90.990.99911.0011.011.11.91.991.99922.0012.012.1可以看出，当越来越接近于1时 的值无限接近于2(图1-22). 编辑ppt0 1 2 3图1-2221 定义 设函数(x)在点 的某

5、一空心邻域内有定义，如果当X无限接近于 （但不等于 ）时 (x)无限趋近于某个确定的常数A，称当X趋近于 时函数以A为极限，记作 或 由此可知 返编辑ppt三，再讨论函数的极限1. 定义：设函数 在X的某一邻域内有定义（在 可以没有定义），若对任一 存在 使得当 时，有 则称函数 当 时以A为极限。例5 证明 证明 对任意给定的 存在 则当 时 编辑ppt所以 例6 证明 （C为常数）证 对任意给定的 存在 当 时有所以 编辑ppt例7 证明 证 对任意给定的 存在 当 时有所以2. 函数 当 时极限为A的极限的几何解释由二直线 与 为边界所构成的宽为的带形区域，不论怎样狭窄，总存在以 为中心

6、，以 为半径邻域，当x落在此邻域内时 相应的函数图形都落这个带形区域内如图1-23.编辑pptyA+AA- 0 x0- x0 x0+ x 图 1-23返回编辑ppt四、当 时, 的左极限与右极限 定义 如果当 时，函数 无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数 当 时的左极限，记作 或 定义 如果当 时，函数 无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数 当 时的左极限，记作 或由图（1-21）函数 当 左极限为 编辑ppt右极限为即注：函数 当 时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等，即当 都存在，但不相等，或者 至少一个不存在时 在X0处极限不存在. 编辑ppt例设函数证明：当X0时，F（）的极限不存在证明由图24可知，因为F（）F（），所以 不存在编辑ppt例，设函数 求， 并由此判断极限是否存在。 解：即f(1+0)= f(1-0)=2由函数f(x)在处极限存在的充要条件知， 返回编辑ppt 五，函数极限的性质 性质1 如果 (或 )存在，那么极限是惟一的性质2 如果 （或 ），那么存在一个正数M，使得函数在点X0（可以不包括X0）的某一领域内（或存在一个正数N），当|X|N时总有|f(x)|M性质3 如果 且A0,(或A0（或f（X）0）若在X0的某邻域内