高一数学集合之间的关系与运算知识精讲

1、高一数学集合之间的关系与运算【本讲主要内容】集合之间的关系与运算子集、全集、补集、交集、并集等概念，集合的运算性质。【知识掌握】【知识点精析】(1)子集：一般地，对于两个集合 A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们就说集合 A包含于集合B,或集合B包含集合Ao记作：A三B或B 3 A, AC B或Bn A当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BWA注：A三B有两种可能：(1) A是B的一部分；(2) A与B是同一集合。(2)集合相等：一般地，对于两个集合 A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B的任何一个元素都是集合 A的元素

2、，我们就说集合 A等于集合B,记作 A= Bo(3)真子集：对于两个集合 A与B,如果A J B ,并且A# B ,我们就说集合 A是集 合B的真子集。记作：AB或 在A,读作 A真包含于 B或B真包含 A。注：空集是任何集合的子集。三A空集是任何非空集合的真子集。三A若A士，则三A任何一个集合是它本身的子集。A-A易混符号“ w ”与“ J ” ：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如w N,1 皂 N, N 鼻 R,三 R 1三1 , 2, 3)0与：0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。如0。不能写成 =0,C 0.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全

3、部元素，这个集合就可以看作一 个全集，全集通常用U表示。.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即 A=S),由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作CSA ,即CbA =x|xW S,且x A.交集：一般地，由所有属于 A且属于B的元素所组成的集合，叫做 A, B的交集。记作 AB (读作 “ A 交 B”)，即 Al B= x|x W a,且 x三 B。.并集：一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做 A, B的并 集。记作：aUb (读彳“ A并B”).交集、并集的性质：A，A= A A =，AC B= BD A A B B

4、C A, Al Bq B(2)aUa= a a IM=a a Ub= bUa a Ubma, aUbmb.德摩根律：(C uA) H (C uB) = Cu (A U B) (C uA) U (C uB) = Cu(A 1 B).容斥原理：一般地，把有限集 A的元素个数记作 card(A)。对于两个有限集 A, B,有card(A U B) =card(A)+card(B) card(A B B)。【解题方法指导】例1.(1)写出N, Z, Q, R的包含关系，并用文氏图表示。(2)判断下列写法是否正确GA 三A A=A A=A解：(1) NZUQUR(2)正确；错误，因为A可能是空集；正确；

5、错误例 2.已知集合 A B是全集 U= 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的子集，AH B= 2 , (CuA) n(CuB) = 1, 9 , (CuA) n B= 4, 6, 8,求 A、R分析：作出文氏图，利用数形结合法求解本题。解：由图可得 A=2, 3, 5, 7, B=2, 4, 6, 8。例 3.已知 A= x| x2 ax+a2-19 = 0, B= x| x2 5x+8= 2, C= x| x2+2x 8= 0。若0 宗A AB,且AH C= 0 ,求a的值。解：.B= x|( x-3)( x-2) = 0 =3 , 2,C= x|( x+4)( x- 2

6、)=0=-4, 2,又.一 An b,.An BW 0。又 An c-。，.，可知4 更 A, 2 更 A, 3 Ao，由 9-3a+a2-19=0,解得a= 5或a= 2。当 a= 5 时，A= 2 , 3,此时 An o 2 W 0 ,矛盾， aw5；当 a=- 2 时，A= 5, 3,此时 An 0= 0 ,A n B=3 w 0 ,符合条件。综上知a=-2o评注：求出a值后要注意代回题中检验，否则可能会出现错误的结果。例4.解关于x的不等式x2 (a+1) x+1 v 0( aw 0)。a分析：解含字母参数的不等式，要注意对字母参数进行合理的分类讨论，既不能遗漏， 也不能重复。解：原不

7、等式化为(x a)( x2)0,a1，相应万程的根为 a、。 a当 a1,即一1a1 时，解集为x| 1 x 1时，解集为x| 1 v xv a;a当a= 1时，解集为0 ；1当 0vav 1 或 av 1 时，解集是x| xaoa评注：解含字母参数的不等式时，要弄清为何要分类讨论、分类讨论的标准是什么、如 何分类讨论三个问题。【考点突破】【考点指要】重点考查集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用文氏 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。另外，以集合

8、语言与集合思想为载体，考查函数的定义域、函数的值域、方程、不等式、曲线间的 相交问题。高考命题以考查概念和计算为主，题型主要是选择题、填空题，以本节的知识作 为工具和其它知识结合起来综合命题的可能性相对大一些。高考所占比重5分。【典型例题分析】例 5. (1) (05苏，1)设集合 A=1 , 2, B=1, 2, 3, C=2, 3, 4,则(A Q B) 1 C = ( )A. 1 , 2, 3B. 1 , 2, 40. 2 , 3, 4D. 1 , 2, 3, 4答案：D解析：AB=1Z(A B) C =1,2,3,4点评：本题考查了集合间的关系(交、并) ，属简单题，几乎每年都有一个选

9、择题。(05 哈东辽 II , 1)已知 A=0, 1, B=y|x2 +y2 =1, xwA,则 A与 B 的 关系为()A. A=BB. A 二 B C. A 二 B D. A = B答案：B评析：B=y|y=1,1,0 =1, 1,0,故选 Bo点评：本题考查对数集的认识及两个集合之间的包含关系。( 06江苏，7)若A、B、C为三个集合，AU B= BA C,则一定有()A. A Ccb. CMa C. aWC d. a =?解析：1. bC (AU B), (BAC) Ub,( Bn C)B - (AU B)而 AU B= BA C.AU B=Bn C= B 于是 A = B, BCA

10、 C。故选 A( 06 上海，1)已知集合 A= - 1, 3, 2m- 1 ,集合 B= 3, m2,若 A。B, 则实数m=解析：若 A 口 B,则 m2 = 2nn- 1,解得 mi= 1,当 m= 1 时，A= - 1, 3, 1 , B=3 , 1满足 A= B,所以取 m= 1。( 05湖南十校，13)某班有50名学生报名参加两项比赛，参加A项的有30人,参加B项的有33人，且A B都不参加的同学比 A B都参加的同学的三分之一多一人，则 只参加A项，没有参加B项的学生有 人。解析：设A、B都参加的有x人，都不参加的有 y人，则r30-x + x+ 33-x+y=50 x+1解得x

11、=21,只参加A项，没有参加B项的学生有3021 = 9人，故填9。例 6. （ 1999上海，17）设集合 A=x| xa|2 , B= x| 2x 11,若代 B,求实数x 2a的取值范围。解：由|xa|2,得 a-2xa+2,所以 A= x| a2xa+2。2x -1- x 3由1,得0,即一2x3,所以 B= x|2x3。x 2 x 2因为A三B,于是0w aw 1。十 2 3评述：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法。体现了数形结合的思想方

12、法。一.选择题（本大题共 6小题，每小题5分，共30分）1.设集合21 , 2, 3, 4, 5, A= 1 , 2, 3, B=2 , 5,则 An 9旧等于（）A. 2B. 2 , 3 C. 3D. 1 , 3已知 M= x| -1C. x| x1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document k1k1（2002 全国又 6,理 5）设集合 M= x|x= - + - , kCZ , N= x|x= + , kC Z, HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 2442则（）A.M= NB.麻NC. MND.

13、MP N=-（1997 上海，1）设全集是实数集RM=x IxW1+ J2 , xCR,N=1,2, 3, 4,43, 42, 3, 45.（1995全国理,A. C iM= CN1, 2, 3, 41）已知I为全集，集合M N笑I,若MP N= N,则（B. M 二CNC. C iM CND. M = CN设全集I =0, 1, 2, 3, 4,集合 A= 0, 1, 2, 3,集合 B= 2, 3, 4,则 CAUCB等于（）0C.0, 1, 40, 1D. 0, 1, 2, 3, 4二.填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）（2003 上海春，5）已知集合 A= x| x| a,

14、且 婚 B,则实数a的取值范围是。已知集合 M= 0 , 1, 2, N= x|x=2a, aC M,则集合 Mn N=。（1997 全国，1 改编）设集合 M= x I 0Wx2,集合 N= x I x22x3v 0,集合MT N等于。下列5个命题，其中正确的个数为 aC- aCAU B A2 B= AU B= B aeaeAn B AU B=An B= A AU B= BU C ： A= C三.解答题(本大题共 4题，共50分)已知集合 A= x|x2-5x+6 0, B= x|x2-4ax+3a20( a0 , A= x| x-2| 1, B= x| x _1 0,求 An B, AU

15、B, x-2(CuA) UB, An (CuB)。(13 分) HYPERLINK 一. 选择题D解析：. U= 1 , 2, 3, 4, 5 , B= 2 , 5,，GjB= 1 , 3, 4。. . AH (CuB)=1, 3。B解析：M= xx 1或x0,两个集合都是数集，集合中的元素是数, 易知 MT N= x| x1。B解析：集合 M的元素为:k 1 2k 1x = + = ( k e Z),集合 N的元素为：x =2 44k 1 k 2+= (kCZ),而2k+1为奇数，k+2为整数，因此 MNLMN4 24B解析：CRM= x|x1+ 2 , x C R,又 1 + V23。故O

16、W N= 3 , 4。故选区C解析一：. MT N= N, . N M CNCM解析二：画出韦恩图如下，显然：CM CZ故选CoC解析：. CA= 4 , CB= 0, 1 ,CAU CB= 0 , 1, 4。答案：a- 2o解析：: A= x| -2xa,又Al B,利用数轴上覆盖关系: 如图因此有aw 2答案：0, 2解析：M= 0 , 1, 2, N= x|x= 2a, aC M , /. Nl= 0 , 2, 4。.MT N= 0 , 2。x | 0 x 2解析：方法一：N= x I x22x3v0 = x I 1vx3,所以 MA N= x I 0 x 2三个解析：正确；错误，例如

17、A= 0 ;错误，例如 A= 1 , 2 , B= 3 , 4 , C= 1 , 2, 3,显然有 AU B= BU C, (1 A C。解：A= x| x2- 5x+6 0 = x|2 x0 时，B= x|ax3a。a 2. A B, 一3a _3解得1 w aw 2。(2)当 a 0 时，B= x|3axa。由A2 B,彳导3a 解集为0。 a23,(3)当 a=0 时，B= x|x2v0 = 0 ,不合题意。综上(1) (2) (3)可知 1w a2o2一 一-解：A= x|x-3x+2=0=1 , 2,由 x2-ax+3a- 5= 0,知 A = a2-4(3 a-5) = a2- 1

18、2a+20= (a- 2)( a10)。(1)当 2vav10 时，A 10 时，A 0,则 Bw 0。若 x = 1,则 1 -a+3a- 5= 0,得 a= 2,此时 B= x| x2-2x+1 = 0 =1 = A;若 x = 2,贝U 4-2a+3a- 5= 0,得 a= 1,此时 B= 2 , 1#Ao综上所述，当2Wa0,得 上心 0O x 1x 1x1,即 A= (8, 1) u 1, +8)。(2)由(xa 1)(2 a- x)0 ,得(x a- 1)( x-2a)0。- a2a。 B= (2 a, a+1)。- BA,2a 1 或 a+1w 1,即 a 1 或 a- 2。2.1 一而 a1, 一 & a0=x|( x-2)( x-1) 0 = x|x2 或 x1 =x| x21 或 x 2v1 =x