河海大学弹性力学徐芝纶版 第十一章(本科)

1、第十一章 弹性(tnxng)力学的变分原理 7/28/20221共八十四页问题(wnt)的引入弹性力学问题的两种基本(jbn)解法1、建立偏微分方程边界条件（直接法）2、建立变分方程（泛函的极值条件）优点：最终可以转化为求函数的极值问题，化为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是数值方法的理论基础。两种方法具有等价性,且力学问题中的泛函多为能量,是标量,应用方便。共八十四页11 1 变分法的预备(ybi)知识数学(shxu)上的变分法：求泛函的极值方法弹性力学中的变分法：以能量为泛函，求能量泛函的极值方法，又称能量法。严格地，能量法与变分法不尽相同，变分法含义更广。共八十四页关于(guny)变

2、分法的若干基本概念：一、函数(hnsh)与泛函1、函数函数是实数空间到实数空间的映射2、泛函是函数空间到实数空间的映射共八十四页例：设面内有给定的两点和，如图 所示，连接(linji)这两点的任一曲线的长度为共八十四页 显然(xinrn)长度L依赖于曲线的形状，也就是依赖于函数y(x)的形式。因此，长度就是函数y(x)的泛函。 在较一般的情况(qngkung)下，泛函具有如下的形式共八十四页二、函数(hnsh)的变分1、自变量的微分(wi fn) dx2、函数的微分3、函数的变分共八十四页共八十四页注意(zh y)到：与(*)式比较(bjio)，可见：即：结论：导数的变分等于变分的导数，或变分

3、 记号与求导记号可以互换。共八十四页三、泛函的变分一般(ybn)情况下，泛函可写为：1、按照泰勒(ti l)级数展开法则，被积函数 f 的增量可以写成 上式中, 右边的前两项是f 的增量的主部，定义为 f 的一阶变分，表示为共八十四页2、再考察(koch)定义(dngy)泛函I 的变分共八十四页结论(jiln)：变分运算和积分运算可以交换次序与上式比较(bjio)，可得：共八十四页四、泛函的驻值与极值(j zh)1、函数(hnsh)的驻值和极值如果函数y(x)在xx0的邻近任一点上的值都不大于或都不小于y(x0)，即 y(x)y(x0)或 则称函数 y(x)在xx处达到极大值或极小值。极值的必

4、要条件为 共八十四页极值(j zh)必是驻值，但驻值不一定是极值(j zh)。取极值(j zh)的必要条件为 ，其充分条件由二阶导数来判定共八十四页2、泛函的驻值和极值(j zh)共八十四页其中(qzhng)：五、欧拉方程(fngchng)与自然边界条件 ( , )共八十四页因为(yn wi)取驻值，所以共八十四页为欧拉方程，可见上述泛函的驻值问题(wnt)等同于欧拉微分方程边值问题(wnt)的解。如果(rgu)问题是：共八十四页自变函数事先满足的边界条件称为(chn wi)本质边界条件。共八十四页11 2 应变(yngbin)能与余应变(yngbin)能1.应变能: 物体因变形(bin xn

5、g)储存的能量。功和能的关系：可逆过程外力做功动能、应变能不可逆过程热能、声能 共八十四页在弹性力学中，仅研究可逆过程。对于静力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功全部(qunb)转化为弹性体的应变能，并贮存于弹性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出全部(qunb)的应变能，并恢复其未受载时的初始状态。 共八十四页分析(fnx)：从A状态到B状态外荷载做功的增量(zn lin)：弹性体应变能增量:对于弹性静力学问题，根据热力学第一定律： 共八十四页微元体在某一应变(yngbin)状态获得的应变(yngbin)能增量为其中， 为弹性体变形过程(guchng)中的位移增量。 利用高斯公式得：共八十四页

6、考虑(kol)到应力张量的对称性，有共八十四页定义：单位体积(tj)弹性体的应变能(或称应变能密度)为 与前式比较(bjio)有：得共八十四页比较(bjio):此式称为格林(Green)公式(gngsh)，它适用于一般材料，不局限于线弹性材料。由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定，它是状态函数，与变形过程无关，故有:共八十四页在状态(zhungti) 的应变能密度为 、 为 0 、 的某个(mu )中间状态。共八十四页 弹性体应变能是状态函数，故上式积分与路径无关。 对于线性问题(wnt)，可假设在变形过程中应力、应变分量等比例增长。 共八十四页2. 余应变(yngbin)能、余应变(yng

7、bin)能密度对于(duy)单向拉伸问题应变能密度为 引入另一标量函数：即余应变能密度。 余应变能共八十四页一般(ybn)地，应变能密度和余应变能密度满足关系 对于(duy)线弹性体共八十四页11 3 广义(gungy)虚功原理一、真实位移(wiy)、真实应力和真实应变即几何连续条件共八十四页即平衡条件它们(t men)构成弹性力学问题的解。共八十四页二、容许(rngx)位移、容许(rngx)应变共八十四页 只对应于一个连续的位移场，但不一定对应于一个平衡的应力(yngl)状态，即与 对应的应力(yngl)不一定满足平衡条件；而真实位移必对应一个平衡的应力(yngl)状态。 容许位移和应变不一

8、定是真实的位移和应变。但反之，真实的位移和应变必然是容许的。 比较(bjio)共八十四页3、容许(rngx)应力共八十四页比较(bjio)与容许应力对应的应变与位移不一定满足协调方程和位移边界条件，不保证(bozhng)物体内部存在单值连续的位移场，但真实应力对应于单值连续的位移场。容许应力不一定是真实的应力。但反之，真实的应力必然是容许的。 共八十四页4、虚位移、虚应变(yngbin)弹性体平衡位置附近，几何约束条件容许(rngx)的微小位移，记为共八十四页5、虚应力(yngl)弹性体平衡位置附近，平衡条件所容许(rngx)的微小应力状态.但在位移边界上引起一个容许的面力共八十四页6、广义(

9、gungy)虚功原理外力在容许位移上所做的功等于容许应力(yngl)在与该容许位移相应的容许应变上所做的功。简述为，外力虚功等于内力虚功。 共八十四页证明(zhngmng)：移项(y xin)后，得证。 共八十四页说明(shumng)： 1、证明中，涉及到平衡、几何方程，并未涉及到物理方程。故在小变形及连续性条件(tiojin)下，适用于任何材料。 2、容许应力与容许位移、容许应变可以是同一弹性体中不同的受力状态和变形状态，彼此独立。 3、（a）平衡条件、（b）几何条件、（c）广义虚功方程三者间的关系由其中任两个条件可得第三个。共八十四页由（b）、（c) (a) 表述为：若有一组内外力，对于任

10、意容许位移和相应的容许应变，使广义虚功原理成立(chngl)，则这组内外力是平衡的。证明(zhngmng)：因为广义虚功原理共八十四页共八十四页由（a）、（c) (b) 表述为：若有一组位移和应变(yngbin)，对于任意容许应力，使广义虚功原理成立，则这组位移和应变(yngbin)是可能的。关系(gun x)：平衡条件几何条件平衡条件几何条件广义虚功原理共八十四页7、虚位移原理(yunl)共八十四页由广义(gungy)虚功原理：并取共八十四页虚位移原理(yunl)外力虚功(x n)=内力虚功(x n)即为：或称：虚位移原理 平衡方程应力边界条件共八十四页8、虚应力(yngl)原理由广义(gu

11、ngy)虚功原理：共八十四页由广义(gungy)虚功原理：外余虚功(x n)=内余虚功(x n)共八十四页表明(biomng)在已知位移的边界(binji)上，虚面力在真实位移上作的功，等于整个弹性体的虚应力在真实应变上作的功。即虚应力原理。虚应力原理 几何方程位移边界条件共八十四页9、功的互等定理(dngl) 广义虚功方程应用于同一弹性体两种不同(b tn)受力和变形状态下的解答。共八十四页若取第一种应力，第二种位移(wiy)和应变，则：若取第二种应力，第一种位移(wiy)和应变，则：故有：共八十四页注意(zh y)：1、功的互等定理(dngl)仅适用于线弹性体2、可进一步得到位移互等、反力

12、互等定理。共八十四页114 最小势能原理(yunl)、位移变分方程虚位移原理(yunl)称为位移变分方程，也称lagrange变分方程。共八十四页表示：弹性体应变能的变分等于(dngy)外力的虚功。另：外力大小和方向(fngxing)在 过程中不变。共八十四页对于(duy)线弹性体： 由此可见，在满足几何条件的所有可能的位移中，实际存在的位移使总势能变分为零，即：使总势能取驻值。 进一步可以证明，对于稳定平衡(wndng pnghng)状态， ，这个驻值为极小值。又解具有唯一性，由此可以导出：共八十四页最小势能原理：在所有变形可能的位移中，实际存在的位移使总势能取最小值。它等价于平衡(pngh

13、ng)方程和应力边界条件。证明如下：共八十四页必要性也成立(chngl)。所以变分问题 的欧拉方程为 ，自然边界(binji)条件为应力边界(binji)条件。共八十四页证明(zhngmng)是极小值 对于(duy)线弹性体，其总势能为共八十四页又：共八十四页对于(duy)稳定平衡，应力存在变分由：而：得：所以(suy)共八十四页115 最小余能原理(yunl)、应力变分方程1、在第二节已经(y jing)证明了同样，可以证明共八十四页共八十四页2、由虚应力(yngl)原理即应力(yngl)变分方程共八十四页3、由于 是边界(binji)u上给定的已知函数， 所以右端项中变分可以(ky)移到积

14、分号前面，并记 由此可见，在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取驻值，进一步可以证明，对于稳定平衡状态，这个驻值为极小值。又解具有唯一性，由此可以导出最小余能原理：在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取最小值。 得到:弹性体总余能共八十四页证明(zhngmng)：最小余能原理等价(dngji)于几何方程和位移边界条件。 共八十四页反之(fnzh)，必要性也成立 变分问题 的欧拉方程为几何(j h)方程，自然边界条件为位移边界条件。共八十四页118 基于最小势能(shnng)原理的近似计算基于最小势能原理，如果能够列出所有变形可能的位移，其中使总势能取最小值的

15、那个位移，就是真实的位移。问题在于：我们(w men)不可能列出所有变形可能的位移，一般只能选其中的一组，故解具有近似性。但：如果事先给出的变形可能位移中含有真解的形式，则一定可以求出真解。共八十四页1. Ritz 法不失(b sh)一般性,设可能位移为上式所示的位移(wiy)总能满足位移(wiy)边界条件 共八十四页求位移的问题(wnt) 求系数m,m,m其中,含有(hn yu)应变能和位移的变分,如何实现?共八十四页代入,有:共八十四页m，关于(guny)m,m,m的3m个线性代数方程组 共八十四页2.伽辽金法 由:得到(d do):共八十四页如果(rgu)选择的位移不仅满足位移边界条件，

16、而且还满足应力边界条件，则上式成为共八十四页关于(guny)m,m,m的3m个线性代数方程组 得到(d do):共八十四页例1.求简支梁的挠曲线(qxin)满足(mnz)端点基本边界条件:分析:关键是求J 的表达式,设:w()， w(l）共八十四页由最小势能(shnng)原理，得到:代入:所以(suy)有:共八十四页例2.平面矩形薄板(bo bn)受均布压力作用1) 写出位移(wiy)边界条件2) 设满足位移边界条件的位移函数共八十四页具体(jt)可先取一项3) 计算(j sun)共八十四页得到(d do):求出:根据(gnj):共八十四页119 基于(jy)最小余能原理的近似计算1) 设定容许(rngx)应力共八十四页2) 根据(gnj)最小余能原理得到(d do):共八十四页3) 讨论(toln):m，当位移边界(binji)上的位移全为零，或全部边界为应力边界条件，有：m，共八十四页内容摘要第十一章。两种方法具有等价性,且力学问题中的泛函多为能量,是标量,应用方便。函数是实数空间到实数空间的映射。是函数空间到实数空