勾股定理和方程

1、关于勾股定理与方程第一张，PPT共四十页，创作于2022年6月BCA直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理第二张，PPT共四十页，创作于2022年6月勾股定理的常见表达式和变形式第三张，PPT共四十页，创作于2022年6月在直角三角中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢？第四张，PPT共四十页，创作于2022年6月感受新知1第五张，PPT共四十页，创作于2022年6月（二）例题【问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面

2、l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 第六张，PPT共四十页，创作于2022年6月例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 设计意图： 1.能利用勾股定理解决简单的实际问题；2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；4

3、.本题是我国古代数学著作九章算术中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果.第七张，PPT共四十页，创作于2022年6月第八张，PPT共四十页，创作于2022年6月 解决与勾股定理有关的实际问题时，先要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾股定理求解.小结：第九张，PPT共四十页，创作于2022年6月AB的中垂线DE交BC于点DAD=BDBC=3BD+CDAD+CD=3 如图，在RtABC中，C=90, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD，则AD的长为.x3-x感受新知2第十张，PPT共四十页，创作于2022年6月在直

4、角三角形中（已知两边的数量关系）设其中一边为x 利用勾股定理列方程 解方程求各边长 基本过程第十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.CBADE66例 1第十二张，PPT共四十页，创作于2022年6月解：在RtABC中 AC=6cm，BC=8cm AB=10cm设CDDExcm，则BD（8-x）cm 由折叠可知AEAC6cm，CDDE, C= AED=90 解得x3 CD=DE=3cmBE10-64cm, BED=90在RtBDE中由勾股定理可得（8-x）2

5、 x2+42CBADE66例 1第十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.第十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.方法一第十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月方法二第十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C

6、落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.1.如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常数），在这个三角形中利用勾股定理求解. 2.解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量.小结： 第十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.注意： 1.基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形”知二推一 2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好在图中标出相等的线段和角.第十八张，PPT共四十页，创作于20

7、22年6月练习第十九张，PPT共四十页，创作于2022年6月思考11、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？CAEBD第二十张，PPT共四十页，创作于2022年6月解：设AE= x km，则 BE=（25-x）km根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：E站应建在离A站10km

8、处。x25-xCAEBD1510思考1第二十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月 在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ABCD5m10m思考2第二十二张，PPT共四十页，创作于2022年6月ABCD解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m. 设AD长为x m，则树高为(x+5)m. AD + DC = AB + BC, DC = 10 + 5 x = 15 - x.在RtABC中，根据勾股定理得解得x=2.5 答：树高为7.5米。5m10m x+

9、5=2.5+5=7.510 2+ (5 + x )2= (15 x)2思考2第二十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有直角，怎么利用勾股定理求解？设计意图： 经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想;第二十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 方法一：第二十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月例3. 已知：如图，ABC中

10、，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 方法二： 第二十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 小结： 1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直角三角形; 2. “斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解. 第二十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 注意： 1.本题可选择列方程或方程组求解，当列方程组求解时，要注意开平方时，是两种情况，要舍去负值；当列方程求解CD时，最好

11、写“ ”，可以省去后面的讨论; 2.本题也可以过A或B作对边的高. 第二十八张，PPT共四十页，创作于2022年6月【问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？第二十九张，PPT共四十页，创作于2022年6月设计意图： 【问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？1.经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用“补”图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想;2.题目中设置的已知量并不是整数，意在增强学生的计算能力.第三十张，PPT共四十页，创作于2022年6月第三十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月小结： 题目中没有直角三角形，

12、但存在直角，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上，本题利用“割”也有多种做法. 第三十二张，PPT共四十页，创作于2022年6月小结： 题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上，本题利用“割”也有多种做法.第三十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月注意： 1.本题的解法很多，但是解法上却有的简单，有的复杂，要选择好方法; 2.注意不要跳步.不能直接用结论：“含有30的直角三角形的三边的比为： ”;如：要求CE，需先求DE，再由勾股定理求CE. 第三十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月【问题5】如果将勾股定理中“直角三角形”改为“斜三角形”， 的关

13、系会是怎样呢？思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则 ，若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论. 第三十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则 ，若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论. 设计意图： 1.从证明方法角度看，通过利用“割”、“补”图形构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理的结论，它是本节课所学知识的综合应用； 2.从结论上看，三角形的边长由具体的数变成了字母，结论具有普遍性，它也是本章第18.1小节勾股定理的推广，体现了特殊与一般的转化思想.第三十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则 ，若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论. 小结： 若ABC是锐角三角形，则有 ，若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有 . 第三十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月思考题：在ABC中，BC=a，A