相似三角形---射影定理的运用精选

1、相似三角形射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握弁灵活地运用 它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非 直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结 论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握弁巧妙地运 用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中 项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

2、如图（1） : RtABC中，若CD为高，则有C D2 = B D?、B C 2 = BD?AB或AC 2 = AD?ABo （证明略）二、变式推广1 .逆用如图（1 ）:若AAB C中，心4图C D为高，且有DC =BD?AD或AC 有/d C B = /A或/A C D = Z B,= AD?AB或BC =BD?AB,则 ，均可等到ABC为直角二角形。（证明略）2. 一般化，若 ABC不为直角二角形,当点D满足一定条件时,类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（如图（2） :中，D为A B上一点，若/ （DB = Z AC B, 或/ D C B = / A, 则有： D Bs4

3、 ACB,可得BC 2 = BD?;反之，若ABC中，D为 AB 上一点，且有 BC：2 = BD?AB,则有CDBs42)、cADHz、ACB,可得到/ C D B = /A C B ,或/DCB = /A J图C W )故有结论成立。（证明略）例2 如图（4）:已知OO中，D为弧AC中点，过点D的弦BD被弦A C分为4和1 2两部分，求DC。分析：易得到/DBC=/ABD=/DCE, 满足射 影定理变式（2）的条件，故有CD 2=DE?DB,易求得 DC= 8（解略）例3 已知：如图（5）, AAB AD平分/BAC , A D的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交B C

4、的延长线于点F,求证：DF 2 = C F ?B Fo证明：连AF,.FH垂直平分D,F A= F D, / F AD = FDA,AD平分/ B AC , / C D = Z B AD,/.ZFAD-ZCAD = ZFDA-ZBAD, ./B = /FDA /BAD,. / F A C = / B ,又/ A F C公共，.A F Csb F A, 卫=B F AF2_ _2_AF =CF?BF,.DF =CF?BF。射影定理练习【选择题】DE AB交于E,且1、已知直角三角形VABC中，斜边52, D为上的一点,word.A、1.24 B 、1.26 C 、1.28 D 、1.32、如图1

5、-1 ,在VABC中，是斜别 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长A 1B、2C 3D 、43、在VABC中，BAC 90。，AD BC于点D,若竺 3 则里AB 4 CDA -B、4C、D、439164、如图 1-2,在矩形中，DE AC, ADE 1 CDE ,贝U EDB (3A 22.5o30o45oD 、600【填空题】5、VABC 中， A 90, AD BC 于点 D, 6, 12,则, AB2: AC2=6、如图2-1 ,在VABC中,ACB 90。，CD AB , 6, 3.6 ,则2-1word.【解答题】7、已知是 VABC 的高，D

6、E CA,DF CB ,如图 3-1 ,求证：VCEFVCBA8、已知 CAB 90。，AD CB , VACE , VABF 是正三角形，求证： DE DF9、如图3-2,矩形中M是的中点,是垂足，求证：de 2ab4a2 b2DE3-210、如图，在中，是斜边上的高，点M在上，且与的延长线交于点 E.求证：(1) “；？word.11、已知：如图，等腰中，,，于D,过点B做射线，交、于E、F两点, 与过点C平行于的直线交于点Q求证：（1） 2?（2）若过点B的射线交的射线A D、AC的延长线分别于E、F两点，与过C平行于A B的直线交于点G,则（）的结论是否成立，若 成立，请说明理由。参考

7、答案1、C2、B3、C4、C5、3,3 5,4:16、87、证明：在VADC中，由射影定律得，CD2 CEgAC ,在 RtVBCD 中，CD2 CF gBCword.CEgAC CF gBC,CE BCAC又 Q ECF BCA, VCEF : VCBA8、证明：如图所示，在RtVBAC 中，AC2 CDgCB, AB2 BDgBCACCD : CD2,CD2 CDAB . BDCDgBDAD2 ADADBDAE ADQ AC AE, AB AF , BF BD又 FBD 60oABD, EAD 60o CAD, ABD CADFBD EAD, VEAD : VFBD,BDF ADEFDE FDA ADE FDA BDF 90oDE DF9、证明：在 RtVAMB 和 RtVADE 中f,AMB DAE, ABMAED 90o所以 RtVAMB RtVADE所以ABAMDEAD所以昨甯谭b10、证明：（1） .是直角三角形， / 90 ,二，word.90 ,即/ 90 ,，/ / ,二，/.Z 2+Z90 ,二，. /