椭圆双曲线知识点总结(汇编)

1、椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念：在平面内到两定点 Fi、F2的距离的和等于常数(大于| FiFa|)的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点, 焦点间的距离叫做焦距.当动点设为M时，椭圆即为点集 P =. M | MF.-|MF2a?注意：若(PR |+阡2 |= F1F2 )，则动点P的轨迹为线段F1F2 ；若(PFi |+|PF2 |c|FiF2 )，则动点P的轨迹无图形。【知识点2】椭圆的标准方程2 2焦点在x轴上椭圆的标准方程：=1 a b 0，焦点坐标为(c, 0), (-c, 0)a b2 2焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：冷=1 (abO )焦点坐标为(0, c,) (0, -

2、c)b a【知识点3】椭圆的几何性质：标准方程2 2xyr +厶=1 (a Ab AO ) a b2 2x y=1 (a b0 ) ba、图形J竺加*性 质范围a乞x兰ab兰y兰b对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A( 一 a,0),A2(a,0)B1(0, b), B2(0, b)A1 (0, a), A2(0, a)B1( b,0), B2(b,0)轴长轴A1A2的长为 21；短轴B1B2的长为2b焦距1 F1F2 |=2c离心率e=-c (0,1)aa, b, c的关系2 J K2 c = a b规律:(1)一椭圆焦点位置与一.X2, y2系数间.的关系.：焦点在分母大的那个轴上一椭

3、圆上任意一点M_到焦点.F. 的所有距离中).长轴端点到焦点的距离分另U为最大距离和最小距离).且最大距离一. 为一 a土 c)一最小距离为.a 一二c.在椭圆中，离心率 enhfEy =恋 一2a V a V a椭圆的离心率e越接近1椭圆越扁；e越接近于0,椭圆就接近于圆；住sin(a + P )离心率公式：在F1PF2 中， PF1F2 , PF2F1 = ： , e =sin。+sin P二、椭圆其他结论1、若Po(xo,yo)在椭圆22笃爲=1上，则过Fo的椭圆的切线方程是a bxox-2a若已知切线斜率K ,切线方程为y = kxa2k2 b22、若P0(x0,y0)在椭圆2 2务為

4、=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为a bPl、P2,则切点弦P1P2的直线方程是xoxyoy 1a b223、椭圆冷社-1a b(ab0)的左右焦点分别为Fi, F 2,点P为椭圆上任意一点 FiPF)，则椭圆的焦点2 二=b tan 2以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切角形的面积为S,F1PF2过焦点的弦中,2b2通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短a过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, Ai、A2为椭圆长轴上的顶点,AiP和A2Q交于点M , A2P和A1Q交于点N ,贝U MF丄NF。2AB是椭圆 =笃=1的不平行于对称轴的弦，M(Xo,y)为AB的

5、中点，则a bX2kOMkABb22 ，aK ABb X。a yo8、Po(xo,yo)在椭圆2x_2a每=1内，则被bPo所平分的中点弦的方程是ayoyb22 Xo 2 a2b2Po( Xo, yo)在椭圆2x . y_2a22=1内，则过b22Po的弦中点的轨迹方程是 务丿2二逆 迅 a ba2 b2io、若P为短轴顶点，则 F1PF2最大【知识点4】椭圆中的焦点三角形：定 义：IPF1 I + IPF2 1= 2aIF1F2 I = 2c余弦定理：IF1F2 I 2=I PF1 I 2+ IPF2I2-2 I PF1 I I PF2I cos F1PF2= 0)2 2面积公式：在椭圆 务

6、占=1 ( a b o)中，焦点分别为 f1、F2，点P是椭圆上任意一点, a bF1 PF2 二 T，贝“ S F1PF2 - b2 2【知识点5】点(百狗与椭圆笃爲2 tan 22= 1(ab0)的位置关系：a b点P在椭圆上二2 2X。y。2ab=1点P在椭圆内部二2X2a点P在椭圆外部二【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断:2 2 2= (m k2n)x2 2kbnx b21 = 0 =1y = kx + b直线斜率存在时 22、mx +ny直线与椭圆相交u - ： - 0直线与椭圆相切 u .: =0直线与椭圆相离U .: : 0 x = m直线斜率不存在时x22y_b2判断y有几个

7、解=12 2例1.M 1,1，求直线I的方程已知：椭圆x 匚=1与直线I交于A、B两点，A、B中点为169(点差法：9x 16y -25 = 0)例2.2求过点2, .、3且与椭圆 52y1有相同焦点的椭圆方程32J 1)62丄=13 kx2设：所求椭圆方程为5 +k例3.求过点2,2、2且与椭圆-2 2-1有相同离心率的椭圆方程482匕=1、162 2yxd1)1020设：所求椭圆方程为2x4k2丄=18k例4.2已知椭圆5=1的离心率25，求m的值(m二53例5.2若椭圆22= 1上存在A、3B两点，关于直线 y = 4x m，对称。求m的取值范围。22 22双曲线知识点【知识点1】双曲线

8、的概念：在平面内到两定点 Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|FiF2|)的点的轨迹叫双曲线. 这两定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.当动点设为M时，椭圆即为点集 P 一M | MFi| |MF2| 2a?注意：若(|MFi MF2I = Fi F2 )，则动点P的轨迹为两条射线; 若(MFi - MF Fi F2 )，则动点P的轨迹无图形。【知识点2】双曲线的标准方程2 2焦点在x轴上双曲线的标准方程：冷一*=1 (a0,b0 )，焦点坐标为(c, 0), (-c, 0) a b2 2焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：占-务=1 (a 0,b 0 )焦点坐标为(0, c

9、,) (0, -c)b a【知识点3】双曲线的几何性质标准方程221 字j= i(a0, b0)22 a p= i(a0, b0)图形A性 质范围x 辿或 xa0, c b0)规律:1双曲线为等轴双曲线.？双曲线的离心率e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直.(位置关系).2.区分双曲线中的.a，b，c大小关系与椭圆.a，.b，C关系，在椭圆中a2b2+ -C2,而在双.曲线中c2亍a2 + b2.(2)双曲线的离心率大于一.1,而椭圆的离心率一e. (0,1).双曲线的离心率e越大开口越阔【知识点4】双曲线中的焦点三角形定 义：I PFi 1-1 PF2 I = 2a I F1F2 1= 2c

10、余弦定理：IF1F2I2=IPFiI2+IPF2I2-2IPFiI IPF2 IcosFiPF2= 0)2 2面积公式：在双曲线x2 与=1 ( a b 0)中，焦点分别为 FF2，点P是双曲线上任意一点, a bSZF1PF2F1PF2 ，则b2etan 2【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：2 2设直线丨：y =kx - m(m = 0)，双曲线笃 y2 =1(a 0, b 0)联立解得a b八 22.2、 22.2 22.2(b -a k )x -2a mkx-a m -a b 022 2b(1 )若b -a k =0即k，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a(2)若 b2 - a2k2 尸 0 即 k - b 时，：-(-2a2mk)2 - 4(b2 - a2k2)( -a2m2 - a2b2