《数值分析》第五章答案

1、- - -习题51导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。左矩形公式：bf(x)dx沁f(a)(b-a)a右矩形公式：bf(x)dx沁f(b)(b-a)a中矩形公式：Jbf(x)dx祖f(孚b)(b-a)a2解：(1)f(x)沁f(a),卩f(x)dxujbf(a)dx二f(a)(b-a)aaTOC o 1-5 h zfbf(x)dx-f(a)(b-a)=fbf(x)dx-fbf(a)dx=Jb(f(x)-f(a)dxaaaa=fbfg)(x-a)dx=广(!)fb(x-a)dx=(b-a)广)，gRw(a,b)aa2(2)f(x)祖f(b)，卩f(x)dxufbf(b)dx二f(a)(

2、b-a)aafbf(x)dx-f(b)(b-a)沁fbf(x)dx-fbf(b)dx二fbf(x)-f(b)dxaaaa=fbf)(x-b)dx=广们)fb(x-b)dx=-(b-a)2f),g,!w(a,b)aa2a+b、(3)法1f(x)uf(-),fbf(x)dxufbf()dx=f()(b-a)aa22fbf(x)dx-f()(b-a)=fbf(x)dx-fbf()dxa2aa2=fbf(x)-f()dx=fbf()2dx竽)(x-竽)+2化)(x-孚f，(讐)fb(x2a)dx+1f(耳)fb(x-/dx22a2124小)(b-a)3法2满足可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多

3、项式H(x)a+ba+ba+ba+bH(丁)=f(丁)，H(丁)=f(丁)，贝惰a+ba+ba+bH(x)=f()+f()(x-)f(x)H(x)=)(x+)2，Ee(a,b)卩H(x)dx=H(a+b)(ba)=f(a+b)(ba)a22于是1)112)J-1f(X)dXf(-帀)+f(詁解：1)当f(x)=1时，左=1，右=1+0=1，左=右；TOC o 1-5 h zfbf(x)dxf(a+b)(ba)=fbf(x)dxfbH(x)dxa2aa=fbf(x)H(x)l/x=fbf(xa+b)2dxaa2!2=22)fb(x竽)dx=-4f(n)(ba)32a2242考察下列求积公式具有几

4、次代数精度：111当f(x)=x时，左=2，右=0+2=2，左=右;当f(x)=x2时，左=3，右=1,左工右，代数精度为1。2)当f(x)=1时，左=2,右=2,左=右;当f(x)=x时，左=0，右=(=0，左=右；耳33当f(x)=x2时，左=2，右=1+1=3，左=右;当f(x)=x3时，左=0，右=3+G)3=0，左=右；2112当f(x)=x4时，左=5，右=(g)2+(3)2=9，左丰右。代数精度为3。3确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。1)Uf(x)dx!f(T)+2f(a)+3f(0儿2)b-af(x)dxuf(a)+f(b)+a(ba)2f

5、(a)f(b)；3)f(x)dxua0f(-1)+alf(0)+a2f(1)o解：当f(x)=1时，左=2，右=3(1+2+3)=2，左=右；当f(x)=x时，左=0，右=3(_1+2a+30),当f(x)=x2时，左=3，右=1(1+2a2+302)；要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当、0满足(13(-1+2+30)=0即+2a2+302)=I2a2+302=1卩=1(1-2a)32a2+1(1-2a)2=136a2+4a2-4a+1=310a2-4a-2=05a2-2a-1=0a1,21,21-5(1+同求积公式(1)：J-1f(W1f(-1)+2f(容)+3f(1-等)求积公式

6、(2)：J-1f(x)dx1f(-1)+2f()+3f(1+等)15IT（A）（B）当f(x)=x3时，(A)的左端为1。(A)的右端=31+2x(一5_)3+3(5一15)31(b)的右端=3一1+2x(一)3+3(5+15)31(A)和(B)的代数精度均为2。(2)Ibf(x)dx沁baf(a)+f(b)+a(b-a)2f(a)-f(b)a2当f（x）=1时，左=b一a，右=b-a1T(1+1)=b-a丁a+b=A2-a2)1当f(x)=x时，左=2(b2一a2)，右=当f(x)=x2时，左=3(b3-a3),b-a右二丁(a2+b2)+a(b-a)(oa-2b)=(b-a)2(b2+a2

7、)-2a(b-a)2要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当(b-a)2(b2+a2)-2a(b-a)2=1(b3-a3)2(b2+a2)-2a(b-a)2=3(b2+ab+a2)2a(b-a)2=(b2-2ab+a2)6112卩f(x)dx字f(x)+f(b)+l(b-a)2八a)-f(b)a212当f(x)=x3时，左=fbx3dx=1(b4-a4),a4b-a右二丁a3+b3+12(b-a)23a2-3b2炉-a)2a2-2ab+2b2-(b-a)24=1(b2-a2)(a2-ab+b2)-1(b2-a2)(b-a)224=1(b2-a2)2a2-2ab+2b2-(b2-2ab+a2)4=

8、1(b4-a4)4当f(x)=x4时，左=jbx4dx=(b5-a5),b5的系数=；。a5511右二a4+b4+_(b-a)2(4a3-4b3),51111其中b5的系数=卞+X(-4)=主。因而代数精度为3。212655.设函数f(x)由下表给出：x1.61.82.02.22.42.6f(x)4.9536.0507.3899.02511.02313.464x2.83.03.23.43.63.8f(x)16.44520.08624.53329.96436.59844.701解：x1.82.02.22.42.62.83.03.23.4f(x)6.0507.3899.02511.02313.46

9、416.44520.08624.53329.964(1)复化梯形公式h0.2，x=1.8+iih，i=0,1,2,817T=灿2(f(x0)+f(x8)+Xf(xi)i=11=0.22x(6.050+29.964)+7.389+9.025+11.023+13.464+16.445+20.086+24.533=23.91492)h=0.40.40.4S4=f(1.8)+4f(2.0)+f(2.2)+f(2.2)+4f(2.4)+f(2.6)4660.46-f(3.0)+4f(3.2)+f(3.4)0.4+f(2.6)+4f(2.8)+f(3.0)+60.4=f(1.8)+f(3.4)+2xf(2

10、.2)+f(2.6)+f(3.0)6+4xf(2.0)+f(2.4)+f(2.8)+f(3.2)=罕6.050+29.964+2x9.025+13.464+20.086+4x7.389+11.023+16.445+24.533=23.9149(3)RombergT1T2T4T8算法S1S2S4C1R1C2T2T43.4-1.8f(1.8)+f(3.4)=28.8112=2百+1.6xf(2.6)=25.1768=!T2+0.8x(f(2.2)+f(3.0)=24.2328221T=尹4+0.4x(f(2.0)+f(2.4)+f(2.8)+f(3.2)=23.9944S1=4T2-3t1=23-

11、9653S2机=2391811T=23-9149C1=HS2-丄S.=23-91495C216厉S4-右S2=2346963C1=23-91469兀7试用复化梯开公式计算曲线f(x)=tanx在区间才上这一段的弧长，取解：f(x)=tanx,f，(x)=_cos2x冗，ff(x)2dx=J4；10+dxcos4x|1g(x)=1+cos4xg(0)=J2gQ)=J51_0兀.=g(0)+g(才)=1.43346g(8)=1+81=.2.37255583=1.540324兀cos4一8T2=A1+丁Xg(8)=21.433461.54032=1.321613兀327325兀323兀16兀g0)=

12、144246g(西)=1.758481631T=!T+1(g()+g()164228g16g16=1.32161+-(1.44246+1.75848)=1.2893128T4-tJ=O.。1077T(/兀、门兀5兀7兀)厉g(32)+g(32)+g(32)+g(32)J=11.28931+2(1.42109+1.48071+1.62881+1.94953)21616=1.28084T-T=0.00282T16=2+32(g(/g(64)+g(詔+g(存15兀、+g(加g(岩)+g(詈)+g(石)丿=土】28084+寻3592+心86+1-45925+1-50746+1.58033+1.6874

13、7+1.84462+2.07792)1=1.27869T167|=0.72x10-31281281281289兀112132152)+g()+g()+g()128128128128172192212232+g(+g(亦)+g(1)+g(1)+善g(工)+g(竺)+g(竺)+g(匹128)TOC o 1-5 h z/25兀、/27兀、/29兀、+g+g(H8)+g+g(H8)丿兀=J1.27869+(1.41464+1.41807+1.42501+1.4356664+1.45031+1.46936+1.49338+1.52307+1.55935+1.60341+1.65675+1.72128+1

14、.79946+1.89446+2.01043+2.15281) -=2(1.27869+1.27762)=1.27816T32一-16T16=o177X1032X103所求弧长为T32=1.2789利用积分弓扑=ln4计算ln4时若采用复化梯形公式，问应取多少节1点才能使其误差绝对值不超过2x10-5。11解：a=2，b=8，/(x)=，f(x)=一一,2x2卩f(x)dxT(f)=害/()h2,匕e(2,8)要使-X10-52只要-h2-2-x10-52232h222X10-56丫3X1n=949答：取950个等距节点，则有J*1f(x)dxT-X10-5-1方法2I(f)-Tn(f)沁亠八

15、a)-广(b)h2=丄丄-丄h2n12121_8222I1(f)-T(f)-占4-642s1x*10-5丄X15h21X10-512642h24X64X10-6h2X8X10-363x103=3x125=37588110.用Romberg方法求Idx,2x1要求误差不超过2x10-5。从所取节点个数与上题结果比较中体会这2种方法的优缺点。8-23解：将区间2,8作16等分，二168f(x)f(x)=1x22+3_19222528313437888888888888888?192225283134374346495255586164?88888888f(x)40?8丁8888888840，435

16、46495255宛6T64竽f(2)+fL2x18+-264二1.87540二1x1.5375+3x+2I2852丿二1.4280906591(223446T-T+1.5x|f()+f(曰+f(-)+f(亍)8888丿82二1.3971262491(1925T6-T8+0.75xf(g)+f(-)+88163二1.38903085T二1.8751二1.5375二1.4280906593743+f(亍+f()495561Y+f(J+f(p)+f(p)888丿S二1.4251C二1.3893956041R二1.386437481二1.391620879C二1.3864837012R二1.38629

17、7992二1.386804775C二1.3863008924二1.397126246二1.386332385T16二1.38903085C1=(4T2-R1=(16S2-=(64C2-255(R2-R1）二-5.47010549x10-711x10-52I沁1.38630实际上ln4二1.386294361沁1.3863012.用3点Gauss-Legendre公式求1J0e-Xdx。解：j1e-xdx0 x=2(1+t)三点Gauss公式j1g(t)dt5g(-：)+8g(0)+5g(-)-195995e-xdx、0.6f1f(x)dx05+_e291-1=e2x18寸0.65e2+8+5e

18、2=0.63212025521.根据下列f(x)=tanx的数值表:x1.201.241.281.321.36f(x)2.572152.911933.341353.903354.67344解：f(x)=tanxf(x)=1=1+tan2xcos2xf(x)=2tanx-(tanx)=2tanx-(1+tan2x)=2tanx+2tan3x2hD(x0,h)=f(x0+h)二f(x0-h),f(x0)-D(x0,h)=6h2f(),ge(x0-h,x0+h)Dd.28。08)=1.36-1.20f36)一f(120)=467344一257215=13.13306250.16D(1-28A04)=1.32-1.24f(1.32)-f(1.24)=3.90335-2.91193=12书巧0.08f(x)=(2+6tan2x)(tanx)=(2+6tan2x)(1+tan2x)f(1.28)=1+tan21.28=12.16461982f(1.28)-D(1.28,0.08)|=6x0.082x|f他)6x0.082x|f(1.36)|