1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题：点面距离等 学案（Word版含答案）

1、空间向量专题13-1 点面距离等（5套，5页，含答案）知识点：点面距离：利用法向量求点到面的距离定理： 如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.典型例题：在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( 答案：A；解析：以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a，则A1(a,0，a)，A(a,0,0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(a，0，f(1,2)a)，B(a，a,0)，D(0,0,0)，设n(x，y，z)为平面BMD的法向量，则neq o(BM,sup6()0，且neq o(DM,sup6(

2、)0，而eq o(BM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，a，f(1,2)a)，eq o(DM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，0，f(1,2)a).所以eq blcrc (avs4alco1(yf(1,2)z0，,xf(1,2)z0，)所以eq blcrc (avs4alco1(yf(1,2)z，,xf(1,2)z，)令z2，则n(1,1,2)，eq o(DA1,sup6()(a,0，a)，则A1到平面BDM的距离是deq f(|o(DA1,sup6()n|,|n|)eq f(r(6),6)a.)A.eq f(r(6),6)a B.eq f(

3、r(30),6)a C.eq f(r(3),4)a D.eq f(r(6),3)a如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4.求点B到平面PCD的距离 答案：eq f(4r(5),5)；解析：如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)，eq o(PD,sup6()(4,0，2)，eq o(CD,sup6()(0，2,0)，eq o(BC,sup6()(4,0,0)，设面PCD的一个法向量为n(x，y,1)，则eq blc

4、rc (avs4alco1(no(CD,sup6()0no(PD,sup6()0)eq blcrc (avs4alco1(2y04x20)eq blcrc (avs4alco1(y0，xf(1,2)，)所以面PCD的一个单位法向量为eq f(n,|n|)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)，0，f(2r(5),5)，所以eq blc|rc|(avs4alco1(o(BC,sup6()f(n,|n|)eq blc|rc|(avs4alco1(4，0，0blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)，0，f(2r(5),5)eq f(4r(5),5)，则点B到平面P

5、CD的距离为eq f(4r(5),5).随堂练习：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，E为AB的中点，则到平面 的距离 答案：； 如图：已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.（ 答案：；）AA1DCBB1C1空间向量专题13-2 点面距离等已知正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为a，E、F、G分别是CC1、A1D1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离 答案：eq f(r(3),6)a；解析：如图建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，a，f(a,2)，Feq blc(rc)(av

6、s4alco1(f(a,2)，0，a)，Geq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，0)，eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，a，f(a,2)，eq o(EG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，f(a,2)，eq o(GA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，0)，设n(x，y，z)是平面EFG的法向量，则eq blcrc (avs4alco1(nEo(F,sup6()0,nEo(G,sup6()0)，eq blcrc (avs4alco1(x2yz0,2

7、xyz0)，xyz，可取n(1,1,1)，deq f(|o(GA,sup6()n|,|n|)eq f(f(a,2),r(3)eq f(r(3),6)a.即点A到平面EFG的距离为eq f(r(3),6)a.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，CA2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为eq f(2r(6),3)？（ 答案：eq f(2r(6),3)；解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1

8、)，B(0,2,0)，设eq o(BE,sup6()eq o(BA1,sup6()，(0,1)，则E(2，2(1)，2)又eq o(AD,sup6()(2,0,1)，eq o(AE,sup6()(2(1)，2(1)，2)，设n(x，y，z)为平面AED的法向量，则eq blcrc (avs4alco1(nAo(D,sup6()0,nAo(E,sup6()0)eq blcrc (avs4alco1(2xz0,21x21y2z0)，取x1，则yeq f(13,1)，z2，即neq blc(rc)(avs4alco1(1，f(13,1)，2).由于deq f(|o(AA1,sup6()n|,|n|)

9、eq f(2r(6),3)，eq f(2r(6),3)eq f(4,r(5blc(rc)(avs4alco1(f(13,1)2)又(0,1)，解得eq f(1,2).所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为eq f(2r(6),3).）如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，若已知AB3，AD4，PA1，则点P到BD的距离为_ 答案：eq f(13,5)；解析：作AEBD于E，连结PE，PA面ABCD.PABDBD面PAEBDPE，即PE的长为点P到BD的距离在RtPAE中，AEeq f(12,5)，PEeq r(12blc(rc)(avs4alco1(

10、f(12,5)2)eq f(13,5)._空间向量专题13-3 点面距离等如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( 答案：B；解析：取B1C1的中点E，连结OE，则OEC1D1.OE面ABC1D1，O点到面ABC1D1的距离等于E点到平面ABC1D1的距离过E作EFBC1，易证EF面ABC1D1EFeq f(r(2),4)，点O到平面ABC1D1的距离为eq f(r(2),4)，故选B.) A.eq f(1,2) B.eq f(r(2),4) C.eq f(r(2),2) D.eq f(r(3),2)如图,在四棱锥中,

11、平面,且,求点到平面的距离.（ 答案：；解：取的方向分别为的正方向，建立空间直角坐标系，则，.,设平面的法向量为，.所以可令，点到平面的距离=.）在正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，利用向量法求点C1到A1C的距离 答案：eq f(r(6),3)；解析：如图所示，以A点为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)，所以A1C的方向向量为eq o(A1C,sup6()(1,1，1)，C1与直线A1C上一点C(1,1,0)的向量eq o(CC1,sup6()(0,0,1)所以eq o(

12、CC1,sup6()在eq o(A1C,sup6()上的投影为：eq o(CC1,sup6()eq f(o(A1C,sup6(),|o(A1C,sup6()|)eq f(1,r(3).所以点C1到直线A1C的距离deq r(o(sup7(),sdo5(|o(CC1,sup6()|2blc|rc|(avs4alco1(o(CC1,sup6()f(o(A1C,sup6(),|o(A1C,sup6()|)2)eq r(1f(1,3)eq f(r(6),3).空间向量专题13-4 点面距离等如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求

13、点B到平面EFG的距离。（ 答案：；） ABCDEFG已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点。（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离。（ 答案：；解：（1）建立如图直角坐标系，见例2，证略。 （2）设平面BDE的方程是mx+ny+pz+q=0，把D(0,0,0),B(1,1,0),E(0,1,1)代入得，m=p=-n，p=0，平面BDE方程为x-y+z=0 。故点D1（0,0,2）到面BDE的距离为： ）zyADCBA11B11C11D11FEx直角ABC的两条直角边BC3，AC4，PC平面ABC，PC

14、eq f(9,5)，则点P到斜边AB的距离是 答案：3；解析：以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(4,0,0)，B(0,3,0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(9,5)，所以eq o(AB,sup6()(4,3,0)，eq o(AP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(4，0，f(9,5)，所以eq o(AP,sup6()在AB上的投影长为eq f(|o(AP,sup6()o(AB,sup6()|,|o(AB,sup6()|)eq f(16,5)，所以P到AB的距离为deq r(|AP|2blc(rc)

15、(avs4alco1(f(16,5)2)eq r(16f(81,25)f(256,25)3._长方体中则与间的距离为( 答案：C；)(A)1 (B) (C) (D) 2空间向量专题13-5 点面距离等如图，在多面体中，平面平面，DEAC，AD=BD=1.()求AB的长；()已知，求点E到平面BCD的距离的最大值. 答案：；(本小题满分12分)()平面ABD平面ABC，且交线为AB，而ACAB，AC平面ABD.又DEAC，DE平面ABD，从而DEBD.注意到BDAE，且DEAE=E，BD平面ADE，于是，BDAD.而AD=BD=1，. 5分()AD=BD，取AB的中点为O，DOAB.又平面ABD

16、平面ABC，DO平面ABC.过O作直线OYAC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.记，则，.令平面BCD的一个法向量为.由得.令，得.又，点E到平面BCD的距离.，当时，取得最大值，.12分如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1.(1)求证：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离 答案：eq f(2,3)，eq f(1,3)；解析：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为

17、x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，1,0)，B(1,0,1) (1)证明：设C1Dx，ACPC1，eq f(C1P,AC)eq f(C1D,CD)eq f(x,1x).由此可得D(0,1，x)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，1f(x,1x)，0).eq o(A1B,sup6()(1,0,1)，eq o(A1D,sup6()(0,1，x)，eq o(B1P,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1f(x,1x)，0).设平面BA1D的一个法向量为n1(a，b，c)，令c1，得n1(1，x，1)PB1平面BDA1，n1eq o(B1P,sup6()1(1)xeq blc(rc)(avs4alco1(1f(x,1x)(1)00.由此可得xeq f(1,2).故CDC1D.(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，1).又n2(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，cosn1n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,1f(3,2)eq f(2,3).故二面角AA1DB的平面角的余弦值为eq