阿氏圆最值模型

1、阿氏圆最值模型中考数学几何模型：阿氏圆最值模型在前面的 胡不归”问题中，我们见识了 “kPA+PB最值问题，其中P点轨迹是直线，而当 P点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的阿氏圆”问题.【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图所示，已知 A、B两点，点P满足PA： PB=k (kwi),则满 足条件的所有的点 P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏 圆”.【模型建立】如图1 , OO的半径为R,点A、B都在。O外，P为。O上一动点，已知R=- QB,连接PAPB,则5当“pa+2pb”的值最小时，P点的位置如何确定?5解决办法：如图2所示，在线段

2、OB上截取OC使OC=2r,则可说明ABPO与APCO相似，则有ZpB=PC。55故本题求“PA+2PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、 5P、C三点共线时，“ PA+PC”值最小。阿氏圆最值模型【技巧总结】计算PA k-PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PA kPB的值最小，解决步骤具体如下:1.如图所示，将系数不为 1的线段两端点与圆心相连即 OP, OB2,计算出这两条线段的长度比0P kOB3.在 0B 上取一点 C,使得 0c k,即构造POMsBOP,则 EC k, PC k，PB

3、 OPPB4,则PA kPB=PA PC AC,当A、P、C三点共线时可得最小值例题1.如图所示，在RtAABC中，/ C=90 , AC=4 , BC=3 ,以点C为圆心，2为半径作圆 C,分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则 1PA PB的最小值为2阿氏圆最值模型变式练习1.如图1所示，在 RTA ABC中，/ ACB=90 , CB=4, CA=6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点，连接APBP,1求AP BP ,2AP BP ,AP BP ,AP 3BP的最小值.3例题2.如图所示，点 C坐标为(2,5),点A的坐标为(7,0), O C的半径为V10，点B在O C上

4、一动点,J5 ，一，OB AB的最小值为5变式练习2.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1),M(4,4),以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，P阿氏圆最值模型是。M上一动点，则 PO+2PA的最小值为 .例题3.如图所示，半圆的半径为 1, AB为直径，AC、BD为切线，AC=1, BD=2, P为标上一动点，求C+PD的最小值.变式练习3.如图所示，四边形 ABCD为边长为4的正方形，OB的半径为2, P是。B上一动点，则PD看PC的最例题4.如图所示，已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点，则PD - PC2的最大值为.阿氏圆最值模型变式练习4.

5、 (1)如图1所示，已知正方形 ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PD+看FC的最小值为 ，pd-的最大值为 -(2)如图2,已知菱形 ABCD的边长为4, ZB = 60,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，那么PD1匚的最小值为方-pc的最大值为例题5.如图所示，抛物线 y=-x2+bx+c与直线AB交于A (- 4, -4) , B (0, 4)两点，直线 AC: y= - - x 2-6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点 E作EFL x轴交AC于点F,交抛物线于点 G.(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；(2)连接GB, EO,当四边形

6、GEOB是平行四边形时，求点 G的坐标；阿氏圆最值模型变式练习5.如图1所示，抛物线 有一动点E ( m, 0)B ,在x轴上 P,过点P作y=ax2+ (a+3) x+3 (aw。与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点 (0m4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N ,交抛物线于点PMLAB 于点 M.(1)求a的值和直线 AB的函数表达式;设4PMN的周长为Ci, 4AEN的周长为02,若,求m的值;a 90),连如图2,在(2)条件下，将线段 OE绕点O逆时针旋转得到 OE,旋转角为接EA、EB,求EA+2eB的最小值.3阿氏圆最值模型当堂训练.如图所示，在 RTA ABC中，/ B=90 , AB=CB=2,以点B为圆心作圆与 AC相切，圆C的半径为 近，点P为圆B上的一动点，则AP.如图所示，边长为 4的正方形，内切圆记为 OO, P是。O上一动点，则 J2 PA+PB的最小值为 .如图所示，等边4ABC的边长为6,内切圆记为OO, P是。O上一动点，则2PB+PC的最小值为 .1 .如图所示，在RtA ABC中，/ C=90 , CA=3,CB=4, OC的半径为2,点P是0c上的一动点，则AP - PB