2022年函数值域最值单调性奇偶性周期性知识总结

1、函数的单调性云南镇雄县母享中学 2013 年 10 月 20 （1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间 ( , )内，若总有 f ( ) 0，则 f x 为增函数；反之，若 f x 在区间 ( , ) a b 内为增函数，则f ( ) 0，请注意两者的区别 所在。如已知函数 f x ( ) x 3 ax 在区间 1, ) 上是增函数，则 a 的取值范围是 _( 答： (0,3 ）) ；在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 y ax b ( a 0 xb 0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ( ,

2、b , b , )，减区间为a a b ,0),(0, b . 如（ 1）若函数 f ( x ) x 22 ( a 1 ) x 2 在区间（， 4 上是减函a a数，那么实数 a 的取值范围是 _( 答：a 3）) ；（2）已知函数 f x ( ) ax 1 在区x 2间 2, 上为增函数，则实数 a 的取值范围 _（答：( 1, )）； （3）若函数2f x log a x a4 a 0, 且 a 1 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 _( 答：x0 a 4 且 a 1）) ；2复合函数法：复合函数单调性的特点是 同增异减 ，如函数 y log 1 x 2 x 的单2调递增区间是 _(

3、 答：（ 1,2 ）)。（2）特别提醒： 求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数f( )log (2 xax3)在区间 (,a上为减函数，求a 的取值范围（答：(1,2 3) ）；二是在多个单调区间之间2不一定能添加符号“” 和“ 或” ；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示（3）你注意到函数 单调性与奇偶性的逆用范围） . 如已知奇函数 f ( x ) 是定义在 ( 2 , 2 )实数 m 的取值范围。（答：1m 2）2 3函数单调性的常用结论：了吗 ?（比较大小； 解不等式； 求参数上的减函数 , 若 f ( m )1 f ( 2 m )1 0，求1、若f x ( ),g x

4、 均为某区间上的增（减）函数，则f x ( )g x 在这个区间上也为增（减）函数2、若f x 为增（减）函数，则f x 为减（增）函数3、若f x 与g x 的单调性相同，则yf g x ( )是增函数；若f( ) x 与g x 的单调性不同，则yf g x ( )是减函数。4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。四、函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的 定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数 f (x ) 2

5、sin(3 x )，x 2 5 ,3 为奇函数，其中 ( 0 2, )，则 的值是（答： 0）；（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：判断定义法： 如 判断函数y|x94 | 4的奇偶性 _（答：奇函数） 。f x ( )0）。如2 x利用函数奇偶性定义的等价形式：f x ( )f(x)0或f(x )1（f x ( )f x ( )x (2111)的奇偶性 _. （答：偶函数）x2图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称

6、的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 . 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数 . 若 f x 为偶函数，则 f ( x ) f x ( ) f (| x |) . 如若定义在 R上的偶函数 f x 在( ,0) 上是减函数，且 f ( 1 ) =2，则不等式 f (log 1x ) 2 的解集为 _. （答：3 8(0,0.5) (2, ) ）若奇函数 f x 定义域中含有 0，则必有 f (0) 0 . 故 f (0) 0 是 f x 为奇函数的既x不充分也不必要条件。如若 f x ( ) a 2x a 2为奇函数，则实数 a _（答： 1）. 2 1定义在关于原点对称区间上的

7、任意一个函数，都可表示成 “ 一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ” 。如 设 f (x ) 是定义域为 R的任一函数，F x ( ) f x ( ) f ( x )，2G x ( ) f x ( ) f ( x )。判断 F (x ) 与 G (x ) 的奇偶性；若将函数 f ( x ) lg( 10 x1 )，2表示成一个奇函数 g (x ) 和一个偶函数 h (x ) 之和，则 g ( x ) _（答： F (x ) 为偶函数，G (x ) 为奇函数； g (x )1 x ）2复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶则偶，内奇同外”. 一、复合函数奇偶性f(g) g(x) fg(x) f(x)+

8、g(x) f(x)*g(x) 奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非奇偶偶奇偶非奇非奇偶偶偶偶0偶偶. 既奇又偶函数有无穷多个（f x ( )，定义域是关于原点对称的任意一个数集）函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在x0处有定义，则f(0)0，如果一个函数yf x 既是奇函数又是偶函数，则f x ( )0（反之不成立）2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。4、两个函数yf u 和ug x 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。5、若函数f( ) x 的定义域关

9、于原点对称，则f x 可以表示为f x ( )1f( )f(x)1f x ( )f(x )，该式的特点是：右端为一个奇函数22和一个偶函数的和。12. 函数的对称性 。满足条件 f x a f b x的函数的图象关于直线 x a b对称。如已知二次函2数 f ( x ) ax 2bx ( a 0 ) 满足条件 f ( 5 x ) f ( x 3 ) 且方程 f ( x ) x 有等根， 则 f (x )_( 答：1 x 2 x ) ；2点 ( , ) x y 关于 y 轴的对称点为 ( x y ；函数 y f x 关于 y 轴的对称曲线方程为y f x；点 ( , ) x y 关于 x 轴的对

10、称点为 ( , y ；函数 y f x 关于 x 轴的对称曲线方程为y f x；点 ( , ) x y 关于原点的对称点为 ( x , y ；函数 y f x 关于原点的对称曲线方程为y f x；点 ( , ) x y 关于直线 y x a的对称点为 ( ( y a ), x a ；曲线 f x y ( , ) 0 关于直线 y x a 的对称曲线的方程为 f ( ( y a ), x a ) 0。特别地，点 ( , ) x y 关于直线y x的对称点为 ( , ) y x ；曲线 f x y ( , ) 0 关于直线 y x 的对称曲线的方程为 f y x ( , )0 ；点 ( , ) x

11、 y 关于直线 y x 的对称点为 ( y , x ；曲线 f x y ( , ) 0 关于直线 y x 的对称曲线的方程为 f ( y , x ) 0。如己知函数 f x ( ) x 3 ,( x 3 ) , 若 y f (x )1 的2 x 3 2图像是 C , 它关于直线 1 y x 对称图像是 C 2,C 2 关于原点对称的图像为 C 3, 则 C 3 对应的函数解析式是 _（答：y x 2）；2 x 1曲线 f x y ( , ) 0 关于点 ( , ) a b 的对称曲线的方程为 f (2 a x ,2 b y ) 0。如若函数2 2y x x 与 y g ( x ) 的图象关于点

12、 （-2 ，3）对称，则 g (x ) _（答：x 7 x 6）形如 y ax b ( c 0, ad bc ) 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 x dcx d c( 由分母为零确定 ) 和直线 y ac( 由分子、 分母中 x 的系数确定 ) ，对称中心是点 ( d ac c , )。如已知函数图象 C 与 C : y x a 1) ax a 21 关于直线 y x 对称，且图象 C 关于点（2， 3）对称，则 a 的值为 _（答： 2） | f x ( ) | 的图象先保留 f x 原来在 x 轴上方的图象， 作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称图形，然后擦去 x 轴下方的图象得到

13、；f (| x |)擦去 y 轴左方的图象，然后作出 y 轴右方的图象关于的图象先保留 f x 在 y 轴右方的图象，y 轴的对称图形得到。如（ 1）作出函数 y | log ( x 1) | 及 y log 2 | x 1| 的图象；（2）若函数 f (x ) 是定义在 R上的奇函数， 则函数 F ( x ) f ( x ) f ( x ) 的图象关于 _对称 （答： y 轴）提醒 ：（ 1）从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题； （2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像 C 与 C 的对称性

14、， 需证两方面 ：证明 C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 C 上；证明 C 上任意点关于对称中心（对称轴） 的对称点仍在 C 上。如（1）已知函数 f ( x ) x 1 a( a R )。求证： 函数 f (x ) 的a x图像关于点 M a ( , 1) 成中心对称图形；（ 2）设曲线 C的方程是 y x 3 x , 将 C沿 x 轴, y轴正方向分别平行移动 ,t s 单位长度后得曲线 C 。写出曲线 C 的方程（答：y ( x t ) 3( x t ) s ）；证明曲线 C与 C 关于点 A t , s对称。2 213. 函数的周期性 。（1）类比“ 三角函数图像” 得：

15、若 y f x 图像有两条对称轴 x a x b a b ，则 y f x 必是周期函数，且一周期为 T 2 | a b ；若 y f x 图像有两个对称中心 A a ( ,0), B b ( ,0)( a b ，则 y f x 是周期函数，且一周期为 T 2 | a b ；如果函数 y f x的图像有一个对称中心 A a ( ,0) 和一条对称轴 x b a b，则函数y f x 必是周期函数，且一周期为 T 4 | a b ；如已知定义在 R 上的函数 f x 是以 2 为周期的奇函数，则方程 f x ( ) 0 在 2,2 上至少有 _个实数根（答：5）（2）由周期函数的定义 “ 函数

16、f x 满足 f x f a x ( a 0)，则 f x 是周期为 a的周期函数”得：函数 f x 满足 f x f a x，则 f x 是周期为 2 a 的周期函数；若 f x a ) 1( a 0) 恒成立，则 T 2 a ；f x ( )若 f x a ) 1 ( a 0) 恒成立，则 T 2 a . f x ( )如(1) 设 f (x ) 是 ( , ) 上的奇函数，f ( x 2 ) f ( x )，当 0 x 1 时，f ( x ) x，则 f ( 47 . 5 ) 等于 _( 答：0 5. ) ；(2) 定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f x 2) f x ，且在 3,

17、 2 上是减函数， 若 , 是锐角三角形的两个内角，则 f (sin ), f (cos ) 的大小关系为 _( 答：f (sin ) f (cos ) )；（3） 已知 f x 是偶函数，且 f (1) =993，g x =f x1)是奇函数， 求f(2005)的值 ( 答：993) ；（4）设 fx 是定义域为R的函数，且fx21fx1fx ，又f222，则f2006= ( 答：22) 218. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数T（T0），在定义域内总有f xTf x ( )，则f x ( )为周期函数， T 是一个周期。）如：若f xaf x ( )，则2 a 为f x ( )的一个

18、周期）（答：f x ( )是周期函数，T我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你 过来，这时说这个函数周期 2t. 推导：f(x)+f(x+t)=0, 我们要马上反应f(x)t)f(x(t)00f(x)f(x2 )，xa，xbf(xfx2 )同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思：函数f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如， f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线x=a 对称。又如：若f x ( ) 图象有两条对称轴即 f a

19、 x ) f a x )，f b x ) f b x )f x ( ) f (2 a x )f (2 a x ) f (2 b x )f x ( ) f (2 b x )令 t 2 a x , 则 2 b x t 2 b 2 , a f t ( ) f t 2 b 2 )即 f x ( ) f x 2 b 2 )所以 函数 f x ( ) 以 2| b a | 为周期 因不知道 a b 的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值如：且例 7f(x )a2x21是 R 上奇函数，解关于x 的不等式f1 x )1f(y )，函数f(x )的定义域为R，对任意 x ，yR，都有f(xy)f(x)x0时，

20、f(x )0，f1( )2。求f(x )在x3,3 上的最值。a解： f( x )是奇函数，对任意xR，f(x)f(x )即)12221a221，xx故2 a22122122xx222x)122 ( 2x2xxfxx(21 )(2x( 2x1 )(2)1a1f(x )1221x 11设x 1x2，则(x 1)f(x2) 12x 12 112x2 12212122112x 22 x 1x 22x 122x 112x 212(2x 12x 12x2)1由于x 1x2，2x 12x20(2x 21 )(2x 1)11 )(2x 1f(x1)f(x2)故f(x)在 R 上是单调增函数，其值域为(1,1

21、 )又由y12x21f1(x)log21x(1x1 )1x由f1 x)1 即log21xlog221x0 xR|1x1f1 x)11x1x1x231x故f1 x)1 的解集是xR|1x13说明 ：本题在求 a 值也可由f(0 )0直接求出a1，更加便捷。另外在解时，也可如下处理：f(x )节 R 上单调增，由f1 x )1则f(f1(x)f( 1 )即xf( )112133f( x )是奇又x()1,1f1 x)的解集是(,11 )3由于对任意x 、yR，都有f(xy)f(x )f(y )f(0 )f( 0 )f( 00 )f(0 )f(0 )又f(xx )f(x)f(x )f(x )f(x)

22、0f(x )f(x )函数。又设x 1x2x 1x20f(x1x2)0即f(x 1)f(x2)0即f(x1)f(x2)(3 )f( 3 )6f(x )是 R 上单调减函数fm a x (x )f(3 )，fmin(x)f(3 )而f( 3 )f(2)1f(2 )f( 1 )f( )1f1( )f( )16ffmaxx)6，fminx)6B、C、D，再回到 A，例 8动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过设 x 表示点 P 的行程， y 表示 PA 的长，求 y 关于 x 的函数式。解： 如图，当点P 在 AB 边上运动点，PAx；当点 P 在 BC 边上运动时，P

23、A1(x1 2)；PA1( 3x 2)；P 当点 P 在 CD 边上运动时，当点 P 在 DA 边上运动时，PA4x故所求函数式为D xxP xC xx2)y(01 )22x2( 14x26x10(23 )x(3x4 )P A B 式(例 9已知f(x )是定义在2 2,上偶函数，当x,02时f(x )是减函数，如果不等f1(m )f(m )恒成立，求实数m 的取值范围。f解：f(x )是偶函数f(x)f(x)不等式f( 1m )f(m )等价于1m)f(m)1m2即21m2解之得：1m1m2m2m221m( 1m )22 m说明： 本题充分利用偶函数的性质：f(x )f(x)，简化分解过程中

24、繁琐的讨论。f(例 10已知二次函数f(x )ax2bxc(a0)满足f(x5 )f(x)3，2 )0，且方程f(x )x有等根。求 a 、 b 、 c ；是否存在实数m 、n( mn)，使得函数f(x )在定义域内m ,n 值域为3 m 3, n 。如果存在，求出 m 、 n 的值，如果不存在，请说明理由。解：f(x5 )f(x5 )f(x)的图象关于直线x1对称， 即b12af(2 )04a2 bc0 f(x )x即ax2( b)1xc0有等根，( b1 )24ac0由三个式得a1，b1，c02由得f(x )1x2x1(x)12113n1 2，n122226mn11f(x)在m ,n上是单

25、调增函数1x2x3 x的两个不等根。623 m即1m2m3 mm、 n 是方程f(m )2f(n )3 n1n2n3 n2解得m n2n00 或m4mn1m4，0 或n46答：存在m4，n0满足条件21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ ）x R，f x ( ) 满足 f x y ) f x ( ) f y ( )，证明 f x ( ) 为奇函数。（先令 x y 0 f ( ) 0 再令 y x， ）（ ）x R，f x ( ) 满足 f xy ) f x ( ) f y ( )，证明 f x ( ) 是偶函数。（先令 x y t f ( t )( t ) f tt )f (

26、 t ) f ( t ) f t ( ) f t ( )f ( t ) f t ( ) ）（ ）证明单调性：f x 2 ) f x 2 x 1 x 2 （对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代 y=x，x+y=x 12、令 x=0 或 1 来求出 f(0) 或 f(1)3、求奇偶性，令y=x；求单调性：令几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数f（x） kx（k 0）- f（x y） f（x） f（y）2.幂函数型的抽象函数f(x)f（x） xa- f（ xy）f（x）f（y）； f（x ）yf(x)3.f(y )指数函数型的抽象函数f（x） ax-f（xy） f（x

27、）f（y）； f（xy）4.f(y)对数函数型的抽象函数f（x） logax（a0 且 a 1）- f（ xy） f（ x） f（y）；f（x ） f（x） f y（y）5.三角函数型的抽象函数f(x)x )f(y)f（x） tgx-f（x y）1f(f(y)f（x） cotx-f（xy）f(x)f(y)1f(x)f(y)例 1 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） f（x） f（y），且当 x0时， f(x)0， f(1) 2 求 f(x)在区间 2,1上的值域 . 分析：先证明函数 f（ x）在 R 上是增函数（注意到 f（x2） f（x2x1） x1f（x2x1） f（

28、x1）；再根据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f（x）对任意实数x、 y 均有 f（xy） 2 f（x） f（y），且当x0 时， f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a 22a 2）0,xN； f（ab） f（a）f（b），a、 bN； f（2） 4.同时成立？若存在，求出不存在，说明理由. x；再用数学归纳法证明. 分析：先猜出f（x） 2例 6 设 f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足f（y），f（3） 1，求：（1）f（1）；（2）若 f（x） f（x8） 2，求 x 的取值范围 . 分析：（1）利用 31 3；（2）利用函数的单调性和已知关系式 . f（x）的解析式

29、，若f（x y） f（x）例 7 设函数 y f（x）的反函数是 yg（x）.如果 f（ab） f（a） f（b），那么 g（ab） g（a） g（b）是否正确，试说明理由 . 分析：设 f（ a） m，f（b） n，则 g（ m） a，g（n） b，进而 mn f（a） f（b）f（ab） f g（m）g（n） . 例 8 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2 是定义域中的数时，有f（x1x2）f(x 1)f(x2)1；f(x2)f(x 1)f（a） 1（a0，a 是定义域中的一个数） ；当 0 x2a 时， f（x） 0. 试问：（1）f（ x）的奇偶性如

30、何？说明理由；. （2）在（ 0，4a）上， f（x）的单调性如何？说明理由分析：（1）利用 f （ x1x2） f （x1x2），判定 f（x）是奇函数；（3）先证明 f（x）在（ 0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意 .有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数 .因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题 . 例 9 已知函数 f（x）（x 0）满足 f（ xy） f（x） f（ y），（1）求证： f（1） f（ 1） 0；f（x） f（x