高等数学多元复合函数的求导法则课件

1、高等数学多元复合函数的求导法则 那么为什么还要介绍多元复合函数的微分呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如它是由复合而成的由于 f 没有具体给出，一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此要引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量且有链式法则有增量u ,v ,( 全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号)推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时, 有注意:这里表示固

2、定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀 :分线相加,连线相乘与不同,设, 求令则 例解例2.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解设求 例解设求 例解设求 自己做 例解设函数均可微, 求gg 例解设函数均可微, 求gg 例解为简便起见 , 引入记号例 . 设 f 具有二阶连续偏导数,求解: 令则二、全微分形式不变性全微分形式不变性的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的，从

3、而为解题带来很多方便，而且也不易出错。设应用全微分形式不变性求与比较, 得 例解设应用全微分形式不变性求与比较, 得 例解总结：关于多元复合函数求偏导问题 这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式：用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成） 的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键 弄清 仍是复合函数且复合结构与原来的 f (u,v) 完全相同即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量的复合函数因此，求它们关于

4、x , y 的偏导数时必须使链式法则在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步 是与 f ( u , v ) 具有相同结构的复合函数，易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导 的合并问题视题设条件而定。三、小结1、链式法则（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性（理解其实质）思考与练习解答提示:P31 题7P31 题7; 8(2); P73 题11机动 目录 上页 下页 返回 结束 P31 题8(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P31

5、 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 P73题 11第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题1. 已知求解: 由两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求在点处可微 , 且设函数解: 由题设(2001考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 不悲伤，定会快乐。不犹豫，定会坚持。不过，一切纪律都当小心地施用，除了诱导学生去把他们的工作完全作好以外，没有别种目的。夸美纽斯成功永远属于一直在跑的人。假如你从来未曾害怕受窘受伤害，那就是你从来没有冒过险。抛弃时间的人，时间也抛弃他。莎士比亚天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。认真可以把事情做对，而用心却可以做到完美。不要在你的智慧中夹杂着傲慢。不要使你的谦虚心缺乏智慧。要想人前显贵，必得人后受罪。如果你不知道从哪里来，那么你就不知道到哪里去；如果你不知道该到哪里去，那么你就不能够持久的走在一条正确的道路上。名人之所以能够