高等机构学第二章-高等机构学的数学基础课件

1、本章引言:一切问题可化为数学问题,一切数学问题可化为代数问题,一切代数问题可化为方程组的求解问题。 _ R.Descartes一切机械运动都可用矩阵运算来描述,机构学是研究机构运动的科学,矩阵运算是机构学的重要工具。第二章 高等机构学的数学基础 机构学中的位置、位移、速度、加速度、角速度、角加速度、力等物理量，都可以用矢量表示。由于矢量可代表多个物理量，故本书中抽去其物理意义，把空间的有向线段看作矢量，就产生了经常使用的几何矢量的概念。第一节 矢量与其运算如矢量A在直角坐标系中的表示如下图可表示为 A=ax,ay,azB矢量可用 B=bx,by,bz表示。A(ax, ay,az)xyzoB(b

2、x, by,bz)矢量也可以用矩阵形式表达一、矢量运算(1) 两个矢量的点积设矢量 若A=B 或该方程说明Aj点到A0之距相等，j=1，2n，称为定杆长约束方程，是机构综合中的最常用方程。若矢量： 令矢量 A=Aj - A0，代入Aj(ajx, ajy,ajz)xyzo(a0 x, a0y,a0z)A02、 矢量的叉积该行列式的展开式与下列矩阵运算等值 矢量的叉积也可以用矩阵方式表达，该方程也是机构综合中的常用方程（含有移动构件的机构综合）3 、矢量常用运算1) AB=0 说明A矢量垂直B矢量 （常用）2) AB=0 说明A矢量平行B矢量 （常用）3) A(BC)=(AC)B -(AB)C4)

3、 (AB)C=(CA)B -(CB)A5) (AB)B=06) A(BC)=B(CA)=C(AB)= -A(CB)上述矢量运算在角速度、角加速度的矢量运算中应用。4、矢量的复数表示法r为矢量的模，为幅角，表示矢量的方向。该矢量也可以用极坐标简化表示，R= r。用复数表示矢量时，其运算更加方便。由Euler公式可知：Euler公式是复数运算中的最基本公式当幅角5、复数表示的矢量运算矢量加法矢量乘法矢量减法矢量除法矢量微分第二节 常用坐标变换写成矩阵形式一、平面坐标变换1、平面坐标旋转变换：P点在坐标系中的旋转也可以看 作点P不动，坐标系旋转角，到达x2Oy2P点坐标在两个坐标系中变换关系为：y1

4、x1y1x1y2Py2x2x2Oy1x1Ox1P1(x1,y1)y1y2P2(x2,y2)x2Xy2、平面坐标平移变换点P由P1移动到P2，表达式为：写成矩阵形式 二、常用空间坐标变换1、坐标平移变换x、y、z为沿坐标轴的移动量。 简写为：P=Dp 二维空间中ZzyxP1(P1X,P1Y,P1Z)P(PX,PY,PZ)x2、共原点的坐标旋转变换（1）绕Z轴的旋转变换坐标系oxiyizi绕zi轴逆时针转过角，到达oxjyjzj位置xiyiziojxzjyjrp（2)绕 y 轴转角的旋转变化 ri及rj为同一点p在坐标系oxiyizi和新系oxjyjzj中 的坐标变换 xiyiziojxzjyjr

5、p（3)绕X轴旋转的坐标变换xiyiziojxzjyjrp（4) 坐标系i先绕Zi转过角后到k, k, 再 绕xk转角xiyiziokxzjykrpyj上式中：坐标系i先绕Zi转过角，得到坐标系k, k绕yk转过角后，得到坐标系L , L 绕XL转过g角，到j 。（5) i先绕Z 转过角，绕y转角，再绕X 转 角。（6) 绕空间任意轴u的旋转变化 绕u轴转过j角的过程可按下述变换来实现。 u轴绕y轴转过-，到达u位置。 u轴绕X轴转过g角，到达u位置，u与Z重合。 u轴绕Z轴转过j角。 u轴绕X轴转回-g角，返回u位置。 u轴绕y轴转回角，返回u原位。设u轴上单位向量为u，在x,y,z三个轴上

6、的投影为ux、uy、uz。-zyx（4）uzuuyuxU轴uu（3）（2）（1）（5）为绕u轴转过j角的旋转矩阵。 为绕y轴转过-b角的旋转矩阵。为绕X轴转过g角的旋转矩阵。为绕z轴转过j角的旋转矩阵。为绕x轴转过-g角的旋转矩阵。为绕y轴转过b角的旋转矩阵。绕U轴的坐标变换可表示为：为矩阵绕z、y、x轴的变换可以看作绕u轴变换的特例当u与z轴重合时,当u与z轴重合时,绕u轴的变换与绕z轴的变换结果完全一致。xiyiziou当u轴与y轴重合时xiyiziou当u与y轴重合时,绕u轴的变换与绕y轴的变换结果完全一致。将代入绕U轴的转动矩阵中:xiyiziou当u轴与x轴重合时当u与x轴重合时,绕

7、u轴的变换与绕x轴的变换结果完全一致。将代入上述坐标旋转变化都是通过坐标原点，当坐标系i首先移动一距离，即坐标原点由Oi到Oj，然后以Oj 为共原点发生旋转变化。3.空间不共原点的坐标变换坐标系i的原点为Oi ，j的原点为Oj,P点在i中向量为ri，在j中向量rj。 Rij为方向余弦矩阵xiyizioprjzjxjyjojriziyixioiojriprjyixiois1oja1 在不共原点的坐标变换中，经常用到以下情况: j中的Xj沿着Zi和Zj的公垂线方向 设Zi和Zj之公垂线距离为a1，Xi和Xi之间距离为S1。i到j的变换过程如下 绕转沿移动 到绕转到与重合i沿Zi平移S1到ziyix

8、ioiojriprjyixiois1oja1改写为下式：Hartenberg-Denavit Matrix为著名的又称 H-D 变换第三节 常用矩阵运算 (1)平面刚体位移矩阵 1.刚体位移矩阵刚体由位置 运动到位置 ，其运动过程可以看作p点的移动和绕p点的转动的合成。 再平动到pq绕p转过角,到达 p1q1pqq1xy0E1E写成分量形式:由位置1到位置j的刚体位移矩阵可简写为空间刚体位移矩阵空间刚体位移矩阵,为44矩阵写成分量形式：空间刚体位移矩阵刚体由位置运动 到位置E，可用刚体上的标线p1q1和标线pq 表示该刚体的运动。2.螺旋矩阵 平动到 ，然后绕过 点的某个u轴转过 角度，到达

9、。 oyupq1qp1q1suzxoyupq1qp1q1suzxu为u轴上单位矢量 称螺旋矩阵 整理并简化后写出其分量形式有限螺旋位移矩阵为44阶矩阵 3.数值位移矩阵 为解决这一矛盾，可对给定刚体上点的坐标值进行数据处理，构成与 等阶的数值位移矩阵，然后根据数值位移矩阵中的已知元素求出螺旋矩阵中的运动参数。即求 螺旋矩阵可方便地描述刚体的空间运动，但是，工程中给出的刚体运动参数通常不是螺旋运动参数，而是给出刚体上不共面的几个点的直角坐标值。 设刚体E在坐标系中作有限位移运动，刚体上不共面的四个点A、B、C、D可决定刚体在空间的位置。刚体上A、B、C、D四个点与它们在前一个位置1的坐标关系，可

10、利用刚体位移矩阵求解。 oyzxDCBAEA（Ax，Ay，Az）B（Bx，By，Bz）C（Cx，Cy，Cz）D（Dx，Dy，Dz）把上述四个方程写成矩阵形式，则有 把A、B、C、D四点坐标值代入上式，可求数值位移矩阵的各元素值。 数值位移矩阵和螺旋矩阵均为44阶矩阵，二矩阵均用来描述刚体的有限位移，当位移相同时，它们的矩阵元素必定对应相等。因此，可以按照已知数值的位移矩阵求解螺旋矩阵中的有关参数。 由数值位移矩阵求解螺旋矩阵的参数oyzxR1R角速度矩阵 向量R 的旋转可通过坐标旋转来实现。可以是平面旋转矩阵，也可以是空间旋转矩阵由为正交矩阵。向量R 的位置变化可通过以下式来实现称角速度矩阵由

11、于对二维空间 对于三维空间，可以用 旋转矩阵代替代入旋转运动矩阵方程，为求解方便，令：，将三维空间的可求出空间角速度矩阵。 ，代入其角速度矩阵：角加速度矩阵对于二维空间： 进行二次微分，可求解角加速度把旋转矩阵矩阵对于三维空间：微分位移矩阵由前面已经讨论的刚体旋转矩阵和角速度矩阵 ，写出刚体上任意点的关系式：设刚体上有一点 p 和另一点 q，可按上述公式写出下式：整理上式，则有 写成矩阵方程： V称之为速度矩阵二维空间中，V为33阶矩阵，三维空间中， 为44阶矩阵。 加速度矩阵可从下式求出。 为角加速度矩阵A称之为加速度矩阵二维空间中，A为33阶矩阵；三维空间中A为44阶矩阵。 第三节 非线性

12、方程的解法一、Newton-Raphson 法非线性方程组的基本形式为：写成一般形式为： 为书写简便，也可记作:设该方程组的待求根为:假定在待求根 x* 附近任选一值xk，方程组的初值为xk则x*=xk+，为误差矢量。趋近零，则有下式。把方程 在 xk 处按Taylor级数展开，并略去二阶偏导数及以后各项，使:为误差矢量，当:可获得一线性方程组写出分量方式如下：简记为:J称为Jacobian矩阵。当赋初值时，即把赋定的初值 分别代入上述方程中，可求出时方程右边的的值。Jacobian矩阵的各值，可通过对求偏导数获得。因此，利用求解线性方程组的方法可求出校正矢量。令 ，再代入方程组，又一次求出校

13、正矢量，反复进行多次，直到小于规定的数值，可求出该方程组的迭代近似解。Nweton-Raphson方法的的致命缺点是对初值的要求非常严格，如果取值不当，导致计算失败。另外，迭代过程中，必须计算雅可比矩阵，当函数f（x）很复杂时，需要改善雅可比矩阵。二、求解非线性方程组的其他解法简介:1、Sylvester结式消元法简介:设有方程组方程1两边乘方程2两边乘得到m-1个方程得到n-1个方程联立求解，写成矩阵方程：可按齐次方程组解法求解变量2、Dixon结式消元法简介: 在消元过程中，构造一个行列式当x=时，行列式的值恒为零。该行列式能被X-整除，可有下式：当x取公共根时，第一列为零，无论取何值，该

14、行列式值均为零。这样的各级幂系数为零。而的各级幂系数是关于x的多项式方程，构成方形结式，称Dixon结式。3、Groebner法简介:将非线性方程组的多项式环进行变量多项式排序,进行约简和消元,生成一个与原系统等价的标准基.4、同伦连续法简介:若方程组A的解已知,将其参数做微小变化,则其解也做微小变化;当方程组A的参数变化为方程组B的参数时,其解也变化为方程组B的解.5、吴方法利用逐次消元，得到一个高次方程并求解的过程。第六节 常微分方程的数值解法一、微分方程表示未知函数、未知函数的导数与其自变量关系的方程，称之为微分方程。 为一阶微分方程为二阶微分方程。如果方程中的未知函数仅含有一个自变量，称为常微分方程如果方程中出现多元函数的偏导数，称为偏微分方程，如 为偏微分方程。常微分方程的一般式为：在微分方程中若：均为自变量 x 的函数，该方程为线性微分方程f(x)=0， 称之为齐次线性微分方程。 f(x)0， 称之为非齐次线性微分方程。称常系数非齐次线性方程。 称常系数齐次线性方程。机构学中出现的常微分方程中，一般有常系数线性微分方程组和非线性微分方程组。 对于非线性微分方程组，一般不易直接积分求解。常用Euler法和Runge-kutta-Merson法。本节介绍Runge-Kutta-Merson法。二、Runge-Kutta-Merson法设微分方程为给定初值为t