8-高阶紧致格式

1、 10.高阶紧致差分格式先考虑导数的差分近似。若某一差分近似的精度是p阶的，则近似的误差就是OChp)。要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小h(h-version)或是提高p(p-version)。但由于计算机资源的限制，h不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形(如，粘性边界层、湍流等)，就要考虑采用高阶格式。通常情形，构造高阶格式需要更多的点。例如：两点差分近似只有一阶精度。而使用三个点，就可以构造出二阶近似-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)-2h精度越高，需要的点就更多。对于中心差分近似也有类似的结果。但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加

2、之外，还会造成其他困难。例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。设a0。du+au=0(00，导数采用向后差分近似，就有u-ujj-_L+au=0(j=1,2,3,L,M)hj实际的计算方案为1u=uj1+haj-1j=1,2,3,L,M)上述格式用到两个点，但只有一阶精度。如果采用二阶差分近似则成为3u-4u+ujj-i+au=0(j=2,3,L,M)hj这个格式具有二阶精度。可是由于涉及三个点，所以只能从j=2开始计算。而初始条件只提供了u=a。因此u的计算就需要补01充另外的等式。对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。现在我们从另外一个角度来考察

3、上述问题。将导数的近似值记作/duu0一jdx，则差分格式就可写成ju0+au=0jj我们刚才所做的不过是用不同的差分来代替u0。因此，我们遇到的j困难就是：用高阶差分代替u0，就会涉及更多的点。而我们的问题j也就是：有没有不涉及更多点的高阶差分？ 234 我们借助算符演算来讨论这一问题。例2：由?I-E-1可推出E-1=I-，于是有TOC o 1-5 h zD=ZinE=-1lnE-1=-Lln(I-)hhh1骣111亠=-1?i?2i?3丄？4LZh桫234Z?2?323!?44LZZ上式右端取第一项，就得到一阶差分近似=1G-E-1)，即f厶)/C)-fC-h)hh如果取前两项，就得到二

4、阶近似2Z1犏-E-J+(-E-J2h臌臌=(2I-2E-1+I-2E-1+E-2)=(3I-4E-1+E-2即-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)2h这些就是前面用到的向后差分近似。但如果继续演算，有D=?2!?3?4LZZ11hn22虫4?4L11hn21?221?331?,4?2!?34?46UL再八U1?12上式中N2的系数为零,因此取第一项相当于取了前两项，也能得到二阶精度的近似。即D1Nhn2注意到此式中只出现了N的一次方,因此只涉及两个点。上面导出了一个新的差分近似,是用差分算子的有理分式表示的，因此称为微分算子的有理函数近似（Pade逼近）。而通常的差分近似都是用多项式

5、表示的。例3：由(p5=p53-p2+E-2)33臌41(E+2I+E-1)33臌4=03-犏1(E-2/+E-1)03=卩03+4卩05(0)5=05-4)05=05-1(E2+E-；)05臌162=05-2+4E+6I+4E-1+E-2)05犏16=LIO5-1_22I+E-1)2-4E+6I-4E-1+E-205uu111604倉5=卩05+尹07+于是有D=MG0)=16鮒訥0-L1骣珑6暑丄卩09-L1611亠口03+口05-L士630_上式右端取第一项，就得到二阶精度的中心差分近似(E-E-1)，即f(x+h)-f(x-h)2h而取前两项，就能得到四阶精度的中心差分近似 6 D?1

6、8骣h桫5112h(E2-8E+8E-1-E-2)f(x+2h)-8f(x+h)+8f(x-h)-f(x-2h)12h但又有11lx53+lx55-6卩30卩11hT1oI+_52仏6珑+652鼢11lx53+lx55-L630_li53+6130|lx55-LWTOC o 1-5 h z骣1龙+8_卩53-卩55+L却磅5-0 x53+1636严議毎卩55-Li=11=hrrI+526和前一个例子一样，上式中只取第一项，就能得到四阶精度的中心差分近似D而且该差分近似只涉及三个点。以上的讨论表明，有理函数近似可以达到我们原来的目的，即有理函数近似具有更高的精度，又不涉及更多的点。面考虑微分算子

7、有理函数近似在数值格式中的应用。这种有理函数的表达式只是一种算符操作，在实际应用中就需要将有理分式化为整式，过程如下。例4：由D1Nhn2作用在函数f(x)上-牙鸦Df(x)Lf(x)桫2一h即桫一2葩)hf(x)将算子展开，就是f佢)+fC-h)fC)-fC-h)2h对中心差分近似也有类似地的结果。例5：由门1MDh11只I+_026有骣+1o2ioLm桫6一h作用在函数f(x)上，夢+-02iof(X)1y0fC)桫6ih即骣+102ifXx)丄|10f(x)桫6ih将算子展开，就是f紅+h)+4f(x)+f(x-h)f(x+h)-f(x-h)62h以上两个例子表明，有理函数给出的差分近似

8、，会同时有多个点处的导数值出现，需联立求解。而通常的差分近似，只出现一个点处的导数值，可逐点计算。这两者之间的区别，类似于隐式格式与显式格式的区别。正因为如此，微分算子的有理函数近似也称为隐式差分近似。同时，由于涉及较少的点，通常又称为紧致差分近似。例6：将例4中的紧致差分近似应用于例1中给出的初值问题，(u0+au=0jj1iu1+uu-ujj-1=jj-12hj=1,2,3,L,M)整理后，得到未知解的近似u及其导数值近似u0的联立方程组jju0+au=0jj-hu1+2u=hu+2ujjj-1j-1解得u=j1u0=j2u+hu0j-12+ha2au+hau0j-12+haj=1,2,3

9、,L,M)对于j=0，利用原方程可给出初值u=a,u0=-au=-aa000由此可见，在紧致差分格式的求解过程中，未知解的近似及其导数值的近似都是未知量，是需要联立在一起求解的。上面的例子是一个两点紧致格式，最终得到了一个递推关系式，逐点计算。对于涉及三个甚至更多点的高阶紧致格式，就需要将未知解的近似u、u、L、u及其导数值的近似u0、u0、L、12M12u0（如果原方程还包括二阶导数，则还有二阶导数值的近似u1、M1u1、L、u1）全部放在一起联立求解。因此，高阶紧致格式中需2M要求解的未知量比较多，这是它的一个弱点。1.2.3.4.5.面列出一阶导数和二阶导数高阶紧致差分近似的一些结果。P

10、ade逼近（三点四阶）uii+4u+uj+1ji-16uj+1j-12hu1+10u1+u1U1jji12uj+12u+uh2对称紧致格式（五点六阶）14u3j+ij3j-192h11u11+u+u对称紧致格式（五点八阶）j+1144u1+u+u1+u36j+29j+ij9j-11u1+2j-294h1u36j-240u272hj+1j+25u54j-2.4h迎风紧致格式（三点三阶）21_u1+uu+j+14u-5u/-13j3j-16h迎风紧致格式五点五阶）32u1+_u5j5j-1u+12u+36u-44uj+2j+1jj-1j+160h3uj-26.广义紧致格式（对称三点六阶）上面给出的

11、紧致差分近似，计算一阶导数的紧致差分里不会出现二阶导数的近似值，计算二阶导数的紧致差分里也不会出现一阶导数的近似值。如果突破这个限制，就成为广义紧致差分近似。例如h2(u1-4u1)-仝(8u1+8u-u)24j+1j24j+1jj-1+_1(39u-48u+9u)=048j+1jj-1冬（u1-u1)-h(7u1+16u+7u)+(39u-u)=015j+1j-115j+1jj-1j+1j-17.广义紧致格式（迎风两点三阶）u11-u11u11+uu-uj+1j-j+1j+j+1j=0122hh2u1-u1u1+uu-u-J.-_Ji-L+i-=0122hh2最后给出一个实例。例7：考虑Bu

12、rgers方程（对流扩散方程）两点边值问题0 x1u2ua=vx勺x2Pu4：=ax=0将空间区域臌轾犏0,1均匀划分成M个网格，则空间网格的尺寸为1h=M网格点坐标为xj=jh（丄八M）在tn=nDt时刻（n=1,2,3,Dt是时间步长），将未知函数及其空间导数在网格点上的近似值分别记作uu(x,tn)jjFjt=tnt=tnx=xj的近似解已经求出，记成=(n-1)Dt现假设上一时刻tn-1bu（x,tn-1），在计算过程中视为已知。jj于是，在空间区域轾1内的第j个网格点（j=1,2,L,M-1）处，有原方程的差分近似u-b/L+aF-vS=0Dtjj和空间导数的Pade逼近u-uF+4F+Fj+1j-1-j+1jj-1=02h6u-2u+uj+1jj-1-h2S+10S+Sj+1ij-1=012在左边界j=0处，有边界条件Pu+F=a00原方程的差分近似u-b_oo+aF-vS=0Dt00以及空间导数的广义紧致格式u-uF+FS-S1o-1o+10=0h22h12在右边界j=M处，有边界条件u=UM在此处，原方程成为aF-vS=0MM还有空间导数的广义紧致格式u-uF+FS-SMM-1-MM-1+MM-1=0h22h12将所有这些集成在一起，就得到线性方程