SI.SIR.SIS模型

1、数学模型实验实验报告10学院：专业：姓名：学号：实验时间：实验地点：、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求求解微分方程的解析解求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。模型一(SI模型)：模型假设1在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻

2、t这两类人在总人数中所占比例为s(t)和i(t)。2每个病人每天有效接触的平均人数是常数a,a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。建立模型根据假设，每个病人每天可使as(t)个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni(t),所以每天共有aNs(t)i(t)个健康者被感染，即病人的增加率为：Ndi/dt=aNsi又因为s(t)+i(t)=1再记时刻t=0时病人的比例为i0则建立好的模型为：=ai(1-i)dti(0)=i0模型求解(代码、计算结果或输出结果)symsaitiO%a：日接触率，i：病人比例，s：健康人比例，iO：病人比例在t=O时的值i=dsolve(Di=a*i*(1-

3、i),i(O)=iO,t);y=subs(i,a,iO,);ezplot(y,O,1OO)figurei=str2double(i);i=0:1;y=*i.*(1-i);plot(i,y)SI模型的it曲线SI模型的di/dti曲线结果分析由上图可知，在i=o：1内，di/dt总是增大的，且在i=时，取到最大值，即在t-inf时，所有人都将患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS模型模型二(SIS模型)(1)模型假设假设条件与SI模型相同；3每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u,成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/u是平均传染期。

4、(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且i(t)+s(t)=1；则有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定义k=a/b，可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。则建立好的模型为：di=-aii-(1-1/k)dti(0)=i0;(2)模型求解(代码、计算结果或输出结果)symsaiutiO%a：日接触率，i：病人比例，u：日治愈率，iO：病人比例在t=O时的值dsolve(Di二a*i*(1-i)-u*i,i(O)=iO,t)%求用u表示的it解析式symsk%k：接触数k=a/u;i=dsolve(Di二-a*i*i+a*i*(1T/k),i(O

5、)=iO,t)%求用k表示的it解析式%k1的情况，以k=2为例%*it图，分析随时间t的增加，i的变化%作di/dti的图像%给k、a、iO指定特殊值，作出相关图像y=subs(i,k,a,iO,2,);ezplot(y,O,1OO)pausegtext(1/k)legend(k1本例中k=2)figurei=str2double(i);i=O：1;y=*i.*i-1/2;plot(i,y)gtext(1-1/k，在此图中为)legend(k=2)3)%ky=subs(i,k,a,i0,);ezplot(y,0,100)legend(kl本例中k=)figurei=str2double(i)

6、;i=0:1;y=*i.*i-(1-1/;plot(i,y)legend(k=)SIS模型的di/dti曲线(k1)SIS模型的it曲线(k1)SIS模型的di/dti曲线(k1)(4)结果分析SIS模型的it曲线(k1时，i(t)的增减性取决于iO的大小，但其极限值i(s)=11/k随k的增加而增加；当k0)和i0(i00)(不妨设移出者的初始值rO=O)，则SIR模型的方程可以写作di二Xsi|ni,i(0)二tdt0二-九si,s(0)二s、dt0(3)模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算设X=1,r=0.3,i(0)=0.02,s(0)=0.98，用MATLAB软件编程:funct

7、iony=ill(t，x)a=1;b=;gtext(k0,i0,s+i卩再由(1),对于充分大的t有dt2，这将导致，与J存在相矛盾。2最终未被感染的健康者的比例是洼，在(5)式中令i=0得到，洼是方程7)在(0,1/b)内的根。在图形上，sg是相轨线与s轴在(0,1/b)内交点的横坐标。3.若S01/b，则先增加，当s=1/b时，达到最大值i=s+i(1+lnbs)g00b0然后l(t)减小且趋近于0，s(t)则单调减小至sg。4若s0-/b，则l(t)单调减少至0,s(t)单调减少至sg。如果仅当病人比例l(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么/b是一个阈值，当s0/b(即b/s0)时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数b，即提高阈值1/b，使得s0-/b(即b-/s0)，传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可认为s0接近1)。并且，即使s01/b，从(7),(8)式可以看出，b减少时，sg增加(通过作图分析)，lm降低，也控制了蔓延的程度，我们注意到，在b=x/卩中，人们的卫生水平越高，日接触率九越小；医疗水平越高，日治愈率卩越大，于是b越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。从另一方面看，bs=xs1/卩是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被bs个健康者交换，所以当s0