等比数列通项公式的常用方法

1、求等比数列通项公式的常用方法等比数列的通项公式是研究等比数列的性质与其前n项和的基础，也是研究数列问题的基石，所以等比数列通项公式的求法在等比数列的研究中占有重要的 地位，下文就介绍求等比数列通项公式的常用方法 .一.定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式。例1,求下列数列的通项公式5, 15,45,-135, 405, -1512解：所给的数列是等比数列，且是首项为5,公比为-3。所以通项an 5 （ 3）n1二.公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数 列的通顶公式an a1qn1来求.例2:数列an为等比数列，若

2、a1 a2 a3 7,aa2a3 8,求通项an解，由已知得a3a1a2a38 （利用等比数列的性质）a22aa2a37,a2a2 a2q q解：由已知得：an1 12（ana11）,.曳2数列an1是首项为an 1a1 1 2,公比为2的等比数列. an1 (a1 1)2n 12n。即 an2n 1 0对于 pan 1 qan r(pq）形式的递推关系式，可以配常数，即p(an 1k) q(an k),这里 k从而转化为等比数列，再求通项也可以用 q p迭代法。an 12an 1,2an 1122an 2 2,22an 2八3八2八n 22 an 322a2n 12ai2n 2an 1将上列

3、各式相加得an2n（二）取倒数转化为等比数列例5.已知数列an 中 aia1(12 222n 2) 2n 1 1解：易知an1 1 -(1)2 anan四.，从而再求通项.2 a2an2 , an 1an 1,求通项公式an .an2a两边取倒数得1是首项为。a11 / 1 n 12 (2)故an1n112利用Sn与an的关系：an与&的关系为4S1(n为an的递推关系式，再求通项.例6.已知数列an的前n的和为sn,且(3 m)sn常数，m 3 ,求通项公式an 0解：(3 m)sn 2man mn 2 时，(3 (3 m)an 2man 2man 1ana n 1，-1，即 an 122

4、a n公比1为的等比数列，21)Sn Sn1(n2man m2）,把Sn转化m)sn 1 2man 1 m 3的常数），数列an是首项为ai 1,公比为 &的等比数列 an (2m)n1.m 3m 3五.实际问题中，根据题中的含义建立数列模型后，再研究 an与an 1的关系, 求等比数列的通项例7.从盛满a升(a 1)纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1 升混合溶液后又用水填满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？1解：开始白浓度为1,操作一次后溶减的浓度是a1 1 1为的等比数列，an a/1(1 -)noaa等比数列通项的求法很多，而且也比较灵活。但最根本一点是要抓住等比

5、数 列的定义去求通项。这样才能在根本上解决问题 . ,操作n次后溶液a的浓度为an,由题意知:an 1 an(1二)，数列an是首项为a1 1 -,公比 aa221-2q 5 0 2q 5q 2 0 ,解得 q 2或q -q2当q 2时，得41,4 2n 1当q 1时，得为4,an 22 3 * * * n2评：等比数列的通项公式有时为了需要，不一定非得由&与q来表示，也可以用其他项来相互表示如anamqnm例3:已知等比数列an中，a3 3,a10 384,则该数列的通项 烝= 解：a10 a3q10 3, q7 * * a10 384 128 q 2, an a3qn 3 3 2n 3 a33注:此类题目都会很醒目的出现等比数的字眼，目的求首项与公比，当然求首项和公比可灵活一些，如用等比数列的性质以及变换式an amqnm。三.