随机时变信道的数学建模与特性分析

1、随机时变信道的数学建模与特性分析摘要：关键词：目录1. 概述无线通信系统的性能在很大程度上取决于无线信道。无线信道不像有线信道那样固定并可预测，而是具有极大的随机性，分析难度较大。由于无线信道中电磁波受到反射、绕射、散射、多径传播、移动台的运动速度、环境物体的移动速度以及信号的传输带宽等因素的影响，无线信道的建模历来是无线系统中的难点。在实际无线通信系统的性能仿真中，人们使用了很多的信道模型，在众多的信道模型中，每一种模型都不是万能的，都受一定的条件的制约，有着不同的前提假设，甚至有些参数的定义也各不相同，从而导致了不少无线通信系统性能仿真结果的不可比性。本文以信道的时变冲激响应为主线归纳总结

2、了比较经典的，常用的信道模型，并对这些模型进行归类和简单的分析比较，力求给信道模型一个统一的表述，为无线通信系统的仿真提供有益参考。信道模型分为数学模型和仿真模型。信道的数学模型是从理论的角度去研究信道对无线通信系统的影响，研究信道输入输出信号的关系，有确定性模型和随机性模型两大类。最早的信道数学模型由Zadeh提出，并由Bello在他的经典文章1中详细阐述。Bello把信道建模为一个具有时变冲激响应的时变线性滤波器，在对信道作了宽平稳非相关(WSSUS)假设的基础上分析了它的统计特性。在这以后几乎所有的信道模型都是基于Bello的WSSUS信道理论。一般人们讲信道模型实际上是指信道的仿真模型

3、，信道的仿真模型是数学模型的计算机模拟方法， Bello并没有给出信道的仿真模型，为此文献2-16研究了大量的信道仿真模型。最早的仿真模型是Jakes在1974提出的3，该模型基于平坦衰落信道，把信道描述为个传播路径的叠加。但是Jakes模型产生的信道是固定不变的，且其相关统计特性与理论值匹配不准确，于是人们对Jakes模型进行改进11,13，以克服Jakes模型的上述两个缺点。对于频率选择性衰落信道，最常用的仿真模型是抽头延时线模型2,9,15，一些已经作为标准的信道仿真模型，如COST207模型15，IMT2000模型，二径模型，都是抽头延时线模型的特例。与抽头延时线模型相比，Peter

4、Hoeher提出的蒙特卡洛信道仿真模型4实现方法比较简单，计算量较少，但是精度比抽头延时线模型差一些。另外基于Karhunen-Loeve(KL)展开的信道仿真模型8在高精度信道仿真中体现了优势。在实际进行无线通信系统的仿真时，应当针对载波频率、信号带宽、所在地区地形等不同的条件和要求选择合适的信道仿真模型。本文的后续部分结构安排如下，第二节归纳总结了确定性模型和随机性模型两种信道数学模型，给出了描述信道的参数以及信道的分类；第三节分析比较了平坦衰落信道和频率选择性信道的各种仿真模型；最后给出结论。2. 无线信道的数学模型与仿真模型2.1信道的数学模型（1） 确定性模型假如在一种理想情况下，基

5、站、移动台和周围环境都是静止不动的，信道可以被看作一个冲激响应的等效低通形式为的非时变线性滤波器。但实际的信道是随时间变化的，此时的信道可建模为一个具有时变冲激响应的时变线性滤波器。若发送的信号表示为，其中，是发送信号的等效低通形式，是载波频率，则经过信道后，接收信号的等效低通形式为2： (1)时变冲激响应在信道模型中扮演了一个很重要的角色，可以将理解为时刻施加的冲激在时刻的信道响应，Bello在文献1中将称之为输入时延扩展函数。Bello一共用了8种系统函数描述信道，本文中我们主要讨论其中的4种，除了之外还有时变传输函数，输出多普勒扩展函数以及时延多普勒扩展函数(简称扩展函数)。这四种系统函

6、数的关系如下：这四个系统函数可以通过傅立叶变换相互推导，只要知道了其中一个，另三个就都确定下来，也就是说这四个系统函数其中的任何一个都能完整地描述信道。式(1)表示的是用时变冲激响应来描述信道输入输出的关系，同样我们也可以写出另外三种系统函数表示的信道输入输出的关系： (2) (3) (4)其中，分别是的傅立叶变换。（2） 随机性模型以上是将信道看作是一个二元的确定性函数，信道的输入输出关系由这个二元函数完全确定。在实际信道中，电磁波受到反射、绕射、散射、多径传播、移动台的运动速度、环境物体的移动速度以及信号的传输带宽等因素的影响。其中前3种因素主要表现为大尺度路径损耗，后4种因素主要表现为小

7、尺度衰落 10，本文主要讨论后者。由于这些因素的存在，此时的信道不应该看作是一个二元的确定性函数，应该看作是以时间为变量的随机过程。具体来讲，就是将建模为以为变量的随机过程。研究一个任意的随机过程难度比较大，为此，文献1提出了宽平稳非相关(WSSUS)的信道模型，并获得了广泛的应用6-11。WSSUS假设随机过程是宽平稳(WSS)的，且对于不同的,之间是不相关(US)的。有了这个假设，利用宽平稳随机过程的性质，我们可以写出的自相关函数： (5)其中，表示冲激函数，定义为时延互功率谱密度。同样可以推导出其余三个系统函数的自相关函数： (6)其中，定义为时频相关函数，定义为多普勒互功率谱密度，定义

8、为散射函数，易知，这四个函数互相之间也是傅立叶变换和反变换的关系。在和中，令，利用和，该变换关系是 (7)式(7)中的为时延功率谱1，也称功率延时剖面7(Power Delay Profile, PDP)，称为频率相关函数，两者的变换关系为傅立叶变换。一般来说，只在0到取非零值，其中是最大时延。同理，在和中，令，利用和，该变换关系是 (8)文献1中称为多普勒功率谱(Doppler Power Spectra, DPS)，称为时间相关函数两者的变换关系为傅立叶变换。一般来说，只在到取非零值，其中是最大多普勒频移。功率延时剖面与多普勒功率谱是描述WSSUS信道极为重要的两个特性函数，有的典型信道模

9、型(如COST207)就规定了这两个函数的典型分布。（3） 信道参数本文中主要讨论的信道参数有平均附加时延，均方根时延扩展，最大附加时延(X dB)，相干带宽，多普勒扩展以及相干时间。其中，前四者属于描述信道时间色散特性的参数，后两者属于描述信道时变特性的参数。下面分别给出这些信道参数的表达式。平均附加时延是功率延时剖面的一阶矩，定义为： (9)均方根时延扩展是功率延时剖面的二阶矩的平方根，定义为： (10)均方根时延扩展的典型值对于户外无线信道为微秒级，而对于室内无线信道为纳秒级。附加时延扩展(X dB)定义为，多径能量从初值衰落到低于最大能量X dB处的时延。时延扩展与功率延时剖面有关，而

10、相干带宽与频率相关函数有关。相干带宽是一定范围内的频率的统计测量值，在该范围内，两个频率分量有很强的相关性。Jakes在文献3中给出了相干带宽与均方根时延扩展的关系： (11)以上四个参数描述的是信道的色散特性，并未反映信道的时变特性。信道的时变特性或是由移动台和基站间的相对运动引起的，或是由信道路径中物体的移动引起的。多普勒扩展以及相干时间就是描述信道时变特性的两个参数。多普勒扩展定义为一个频率范围，在此范围内接收的多普勒功率谱有非零值。相干时间是多普勒扩展的时域表示，定义为10 (12)其中，是多普勒频移，是移动台移动速度，为无线电波的波长。（4） 衰落信道的分类以上所述参数只是针对信道本

11、身而言的，并没有考虑到发送信号的带宽、符号周期等参数对它的影响，通过对信道参数与信号参数的比较，得出了不同类型的衰落。基于功率延时剖面，信道可分为平坦衰落和频率选择性衰落。当信号带宽远小于相干带宽时为平坦衰落，也称为频率非选择性衰落。此时可近似认为是函数，结合(1)式可以写出信号通过平坦衰落的输入输出关系 (13)一般来说，为一个复高斯随机过程。若该随机过程为零均值的，令，可以证明任何时刻的包络服从瑞利分布，概率密度函数(pdf)为 (14)其中，是高斯过程的方差。相位与包络互相独立，服从的均匀分布。它成立的条件是存在大量统计独立的散射体，并且没有一个占主导地位。如果有一个散射体占主导地位，通

12、常称之为视距(LOS)分量，则均值不为零，此时服从莱斯(Rice)分布，概率密度函数为 (15)其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，为占主导地位分量的信号幅度。除了瑞利分布和莱斯分布之外，近来研究较多的一种概率分布是Nakagami-m分布，它是从实际测量中总结出来的，概率密度函数为 (16)其中，为均方值。与瑞利分布相比较，瑞利分布可以用单一参数来匹配衰落信道统计数据，而Nakagami-m分布包含两个参数，即参数和。因此，Nakagami-m分布比瑞利分布更灵活、更精确。已经证明，Nakagami-m分布最适合用于郊区无线多径信道2。无论是瑞利分布，莱斯分布还是Nakagami-m分布，都是

13、针对平坦衰落而言的。当信号带宽大于相干带宽时为频率选择性衰落。此时的信道输入输出关系不再是(13)式，而应该是最一般的(1)式。基于多普勒功率谱，信道可分为快衰落和慢衰落。当信道的相干时间小于符号周期时为快衰落。在快衰落信道中，信道冲激响应在符号周期内变化很快，从而导致信号失真。当相干时间远大于符号周期时为慢衰落。在慢衰落信道中，信道冲激响应变化比发送信号的变化慢得多，因此可假设在一个或若干个相干带宽倒数间隔内，信道均为静态信道。总的来说，通过信号参数与信道参数的比较可将信道分为四类：平坦慢衰落，平坦快衰落，频率选择性慢衰落以及频率选择性快衰落。其中对于平坦衰落而言，根据其包络概率分布的不同，

14、一般有瑞利分布，莱斯分布以及Nakagami-m分布。2.2. 信道的仿真模型上一节我们主要讨论了信道的数学模型，主要是从理论的角度去研究信道各种统计特性，但是实际在无线通信系统的研究中需要对信道进行计算机仿真，为此文献2-16研究了大量的信道仿真模型。总的来说这些模型分为两类，一类是平坦衰落信道的仿真模型，另一类是频率选择性衰落信道的仿真模型。（1） 平坦衰落信道的仿真模型平坦衰落信道的仿真的目标就是产生(13)式中随机过程。平坦衰落信道的许多仿真模型都是基于Clarke信道模型12，该模型把信道描述为个传播路径的叠加： (17)其中，是常数，和分别是第个路径的增益，传播角度和初相位。根据中

15、心极限定理，当时，为复高斯随机过程。若假设和，经推导，任何时刻的包络服从瑞利分布。Jakes在1974年提出了一种平坦衰落信道的仿真模型，这就是著名的Jakes模型3。Jakes模型基于Clarke信道模型，(17)式中令，和，即为Jakes模型，即 (18)其中，。Jakes信道模型的缺点在于每次仿真时信道都是固定不变的，这样就不能用于同时产生多个不同的信道(例如用于MIMO系统中)。为了克服这个这个缺点，文献13改进了Jakes模型，即在 Jakes模型的基础上将改为是在上均匀分布的随机数，这样改进Jakes模型为(19)无论是Jakes模型还是它的改进模型，都存在一个共同的缺陷，就是由(

16、18)式或(19)式产生信道的自相关和互相关统计特性都与Clarke信道模型的统计特性匹配不准确11。近来，C. Xiao提出了进一步改进了信道仿真模型11，表达式如下： (20)其中，、互相独立，服从上的均匀分布。该模型克服了Jakes及其改进模型的相关统计特性匹配准确的缺点，并且在较小时也能比较好的接近理论特性。（2） 频率选择性衰落信道的仿真模型对于频率选择性衰落信道，有许多不同的仿真模型，本文就其中常用的几种模型进行讨论。一种广泛应用的是抽头延时线模型2。它是以为间隔的函数的叠加： (21)其中，是信号带宽，是时变抽头系数，是一个复平稳随机过程，且互不相关。抽头延时线模型的另一种形式为

17、9 (22)其中，是抽头的个数，是第个抽头的时延，对于每个抽头系数都有一个多普勒功率谱来描述其随时间的变化。COST207模型就是抽头延时线模型的一个特例，它给出了四种典型环境下的PDP或抽头系数和多普勒功率谱15。四种典型环境分别是乡村地区(没有山坡)(RA)、城市地区(没有山坡)(TU)、有山坡的城市地区(BU)和山区地形(HT)。抽头延时线模型的另一个特例是二径模型，在二径模型中，它是考虑了时延扩展效应的最简单的模型，因而得到了广泛的应用，还被建议成为一个标准模型。Peter Hoeher在文献4提出了一种信道的蒙特卡洛仿真，如果把抽头延时线模型看作是幅度调制衰落仿真的话，那么该蒙特卡洛

18、仿真应当是相位调制衰落仿真： (23)其中，和是第径的相位，多普勒频移和时延。服从上的均匀分布，和服从联合概率密度函数，可以证明，与散射函数成比例关系。该信道模型的优点在于实现方法比较简单，计算量较少，但是该信道模型的精度比抽头延时线模型差一些。另一个信道仿真模型基于Karhunen-Loeve(KL)展开8，它将信道的时变冲激响应表示为一系列正交函数集的加权： (24)其中， 之间相互正交，且都是时延互功率谱密度 的特征函数 (25)其中，是相对应的特征值。是零均值复高斯随机过程，其自相关函数满足。KL模型的优点在于在同等的均方误差条件下，比抽头延时线模型所需的值小，所以计算量就小，尤其在高

19、精度仿真中KL模型的优势更加明显。3Rayleigh衰落信道仿真报告3.1 Jakes仿真模型Jakes仿真模型模拟的是在均匀散射环境中非频率选择性衰落信道的复低通包络。它用有限个（³10个）低频振荡器来近似构建一种可分析的模型。Jakes仿真模型（类模型）可表示为： （1） （2） （3）其中，N4M1，且 （4） （5） （6） （7）平坦衰落信道的仿真目标就是用有限个低频振荡器产生式（8）中的随机过程来逼近Clarke信道模型。逼近方法有多种，上面所提到的Jakes模型就是一种典型方法，这里将主要介绍Jakes仿真器的基本原理。 根据Clarke信道模型，接收端信号可表示为经历

20、了N条路径的一系列平面波的叠加： （8） （9） 式中，E0是余弦波的幅度；Cn表示第n条路径的衰减；表示第n条路径的到达角；表示经过路径n后附加的相移；wc是载波角频率；wm是最大多普勒角频移。不同路径的附加相移是相互独立的，且是在均匀分布的随机变量。将电场余弦波功率归一化，得： （10） （11） （12）假设平面波有N个入射角，在均匀分布，并且入射能量也在内均匀分布，则模型中的参数为 （13） （14） （15） （16）将这些参数代入（3-10）可得： （17）由此可得出，描述平坦衰落的随机信号S(t)可以用N个随机变量（Cn，an，）表示，且它们都是相互独立的。将式（17）表示成复数

21、形式的 （18）令N/2为奇整数，则有 （19）由式（19）可见，当n从变到时，第一项对应的多普勒角频移从变到-，第二项对应的多普勒角频移从-变到。可见，前两项的频率产生了重叠。第三项表示时的最大多普勒角频移，第四项表示时的最大多普勒角频移。利用这些特性可以减小振荡器的数目，由式（3-120）可得频率不重叠的振荡器数目为。也就是说，我们可以用个多普勒角频移和一个最大多普勒角频移来模拟瑞利衰落。假设 （20）则式（19）可简化为 （21）所以 （22）式中 （23）从上面的讨论可见，Jakes仿真器是由N01个低频振荡器来生成的。3.2仿真结果与分析对Jakes模型进行计算机仿真，画出了其幅度、

22、相位与时间的关系图，及各种相关统计特性曲线如下图所示。从仿真图可以清楚的看出，Jakes仿真器产生的信号并不是广义平稳的，也不是各态历经的，且其统计特性并未达到Clarke模型的要求，即其产生的包络并未严格服从瑞利分布。导致这种结果的根本原因是附加的相移之间具有相关性。为了克服这个缺点，人们提出了许多改进方法，可归纳为上面所提到的另外三种类型，即类、类、类。4. 山区条件下信道特性以及信道质量评价指标4.1 山区条件下超短波频段电磁传播特点在实施无线电组织应用时，用户位置会产生变化，在利用无线电通信联络时，信道的传输特性也会发生不可预知的改变。而且不同用户信号在传输过程中也会产生相互干扰。首先

23、山区工作环境十分复杂，电波不仅随着传播的距离的增加而发生弥散损耗，并且会受到植被，地形植被的遮蔽而发生“阴影效应”，而且信号经过多点反射，会从多条路径到达接收地点，这种多径信号的幅度、相位和到达时间都不一样，它们相互叠加会产生电平快衰落和时延扩展；其次，天气等原因对信号的衰减也会产生变化，从而使通信造成影响。因此可以认为，无线电传播环境是一种随时间，环境和其他外部因素而变化的传播环境。图2-1小尺度衰落和大尺度衰落示意图通常，无线信道的传播模型可分为大尺度（Large-Scale）传播模型和小尺度（Small-Scale）传播模型两种Error! Reference source not fo

24、und.。大尺度模型用于描述发射机与接收机（T-R）之间长距离（几百或几千米）上的信号强度变化。小尺度模型用于描述短距离（几个波长）或短时间（秒级）内接收信号强度的快速变化（见图2.1）。但这两种模型不是相互独立的，在同一个无线信道中，既存在大尺度衰落，也存在小尺度衰落。大尺度衰落的研究主要解决信道的可用性、载波频率选择以及切换等问题；而讨论小尺度衰落则决定了传输技术的选择和接收机的设计。大尺度衰落描述了接收信号在一定时间内的均值随传播距离和环境的变化呈现的缓慢变化，小尺度衰落描述了接收信号短时间内的快速波动。因此，在实际的无线信道中，衰落因子可表示为： t=t*t (2-1) 式中t表示信道

25、的衰落因子；t表示小尺度衰落；t为大尺度衰落。山区条件下，对信号产生影响原因诸多：地形，植被，天气，气候等。但主要因素有两个：地形起伏，植被较多。一方面电波在山区传播时，由于地形地物的阻挡，破坏了收发天线之间的直射条件，接受信号由许多反射波和散射波叠加而成，这种现象称为多径传输，这时场强的信号幅度变成一随机变量。同时，树木和枝条对超短波频段造成了明显的衰减。在测量中发现，在869MHz频段，当低发射角的波束通过大型单棵树木时的衰减超过了10dB，平均衰减为1.1dB/m。衰减值取决于所在频段，树木的类型、大小、叶片和枝条的分布等。（1）多径效应明显在山区通信时，在任何一点接收到的信号可能是由直

26、射波、折射波、绕射波、以及大量山体树木的反射电波叠加而成的。由于这些电波到达接收天线的路径不同，故信号到达时间与信号相位都是随机的，从而导致合成信号的幅度急剧变化，也就是所谓的多径效应。如下图所示：图2-2多径效应示意图（2） 通信衰落效应明显山区山高林密，地形多样，无线电波传播环境复杂，造成较大的传输损耗以及传输信号的随机衰落，使信号衰落起伏大，场强分布不均匀，甚至出现信号盲区。下图为实地测试场强：图2-3某位置A的接收信号场强图2-4某位置B的接收信号场强（3）信道具有频率选择性在山区进行超视距通信时，不同频率电磁波的绕射能力不同，导致传输损耗不一样；山体、树木等对不同频率电磁波的反射系数

27、也不同。因此，山区条件下，无线信道呈现一定的频率选择性。如下图所示：图2-5某接收点频率选择性示意图4.2信道质量评价指标从以上实测数据可以看出，通信频段质量的好差具有复杂多变性，立足于现有装备基础，如果通过信道质量感知，利用感知结果进行选频和调整发射参数（比如调整发射信号码元速率和载波频率等）来解决山区复杂信道对通信带来的影响。（1）系统模型介绍与分析项目研究对象如下图2-6所示，在某山区有三个中心基站，基站之间是以有线方式进行通信，每个基站下属多个接收台，基站与下属台之间采用超短波电台进行通信，下属之间通信通信联络依靠中心基站进行转发。在与中心基站通信联络时下属台位置不发生改变，但由于部队

28、转场等原因，结束联络后，下属台位置会发生改变。通信联络中，位置不发生改变，则在信道质量评价中就不需要考虑多普勒频移。从军事层面上考虑：哪些信道上是受到了干扰（包括敌方和己方）。从技术层面上考虑：1.多径效应产生频率选择性衰落造成了哪些频点已不适合通信。2.多径时延的大小情况肯定会使限制信号传输速率 。影响通信效果的主要因素是信道，而从不同的信道分析模式出发，评价信道质量有不同的指标，下面对其进行总结。图2- 6系统模型示意图（2）基于大尺度衰落的信道评价标准大尺度描述了电波功率上的传播特性，对其影响程度最大的是信道上的干扰以及噪声。干扰有可能是信道上敌方人为造成的，也可能是其他设备应用噪声的无意的干扰，例如（临