考研 线性代数 笔记精华 打印

1、一章 行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则kA= knA 2、若A、B均为n阶方阵，则AB=A·B 3、若A为n阶方阵，则A*=An-1 若A为n阶可逆阵，则A-1=A-1 4、若A为n阶方阵，i（i=1,2,n）是A的特征值，Ai 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1）利用定义

2、 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 逐次行（列）相加减，化简行列式。 把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =A0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A判别方程组

3、解的问题 1）当A0时，齐次方程组Ax0有非零解；非齐次方程组Axb不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当A0时，齐次方程组Ax0仅有零解；非齐次方程组Axb有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章 矩阵 一、重点 1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法 3）矩阵的初等变换方法 二、难点 1、矩阵的求逆矩阵的初等变换 2、初等变换与初等矩阵的关系 三、重要公式及难点解析 1、线性运算 1）交换律一般不成立，即ABBA

4、 2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵 (A+B)2=A2+AB+BA+B2A2+2AB+B2 (AB)2=(AB)(AB)A2B2 (AB)kAkBk (A+B)(A-B)A2-B2 以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。 3）由AB=0不能得出A=0或B=0 4）由AB=AC不能得出B=C 5）由A2=A不能得出A=I或A=0 6）由A2=0不能得出A=0 7）数乘矩阵与数乘行列式的区别 2、逆矩阵 1）(A1)1A 2）(kA) 1=(1/k)A1，（k0） 3）(AB)1=B1A1 4）(A1)T=(AT)1 5）A1=A1 3、矩阵转置 1）(AT

5、)TA 2）(kA) T=kAT，（k为任意实数） 3）(AB)T=BTAT 4）(A+B)T=AT+BT 4、伴随矩阵 1）A*AA A*=AI (AB)*=B*A* 2）(A*)*=An-2 A*=An-1 ,(n2) 3）(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)* 4）若r(A)=n，则r (A*)=n 若r(A)=n-1，则r (A*)=1 若r(A)5）若A可逆，则(A*)-1=(1/A)A，(A*)-1(A-1)*，A*AA-1 5、初等变换（三种） 1）对调二行（列） 2）用k（k0）乘以某行（列）中所有元素 3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素 注意：用

6、初等变换求秩，行、列变换可混用 求逆阵，只能用行或列变换 求线性方程组的解，只能用行变换 6、初等矩阵 1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵 2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换 3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵 E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k) 7、矩阵方程 1）含有未知矩阵的等式 2）矩阵方程有解的充要条件 AX=B有解<=>B的每列可由A的列向量线性表示 <=>r(A)=r(AB) 四、题型及解题思路 1、有关矩阵的概念及性质的命题 2、矩阵的运算（加法

7、、数乘、乘法、转置） 3、矩阵可逆的判定 n阶方阵A可逆<=>存在n阶方阵B，有AB=BA=I <=>A0 <=>r(A)=n <=>A的列（行）向量组线性无关 <=>Ax=0只有零解 <=>任意b，使得Ax=b总有唯一解 <=>A的特征值全不为零 4、矩阵求逆 1）定义法：找出B使AB=I或BA=I 2）伴随阵法：A-1=(1/A)A* 注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏(-1)i+j，当n>3时，通常用初等变换法。 3）初等变换法：对(AI)只用行变换化为(IA

8、-1) 4）分块矩阵法 5、解矩阵方程AX=B 1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X (AB)初等行变换(IX) 3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。 第三章 线性方程组 一、重点 1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。 2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。 3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断

9、，齐次、非齐次线性方程组的解法。 二、难点 线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。 三、重点难点解析 1、 n维向量的概念与运算 1） 概念 2） 运算 若(a1,a2,an)T，(b1,b2,bn)T 加法：(a1+b1 ,a2+b2 ,an+bn)T 数乘：k(ka1,ka2,kan)T 内积：（·）a1b1+a2b2+,+anbnTT 2、线性组合与线性表出 3、线性相关与线性无关 1）概念 2）线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 1,2,s线性相关 <=>齐次方程组(1,2,s)(x1,x2,xs)T0有非

10、零解 <=>向量组的秩r(1,2,s)s (向量的个数) <=>存在某i(i=1,2,s)可由其余s-1个向量线性表出 特别的：n个n维向量线性相关<=>12n0 n+1个n维向量一定线性相关 线性无关 1,2,s线性无关 <=>齐次方程组(1,2,s)(x1,x2,xs)T0只有零解 <=>向量组的秩r(1,2,s)s (向量的个数) <=>每一个向量i(i=1,2,s)都不能用其余s-1个向量线性表出重要结论 A、阶梯形向量组一定线性无关 B、若1,2,s线性无关，则它的任一个部分组i1,i2,i t必线性无关，它的任

11、一延伸组必线性无关。 C、两两正交，非零的向量组必线性无关。 4、向量组的秩与矩阵的秩 1）极大线性无关组的概念 2）向量组的秩 3）矩阵的秩 r(A)r(AT) r(A+B)r(A)r(B) r(kA)r(A)，k0 r(AB)min(r(A)，r(B) 如A可逆，则r(AB)r(B)；如B可逆，则r(AB)r(A) A是m×n阵，B是n×p阵，如AB0，则r(A)r(B)n 4）向量组的秩与矩阵的秩的关系 r(A)A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）A的列秩（矩阵A的列向量组的秩） 经初等变换矩阵、向量组的秩均不变 若向量组（）可由（）线性表出，则r()r()。特别的，等价

12、的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。5、基础解系的概念及求法 1）概念 2）求法 对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r(A)个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n- r(A)个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。 6、齐次方程组有非零解的判定 1）设A是m×n矩阵，Ax0有非零解的充要条件是r(A)n，亦即A的列向量线性相关。 2）若A为n阶矩阵，Ax0有非零解的充要条件是A0 3）Ax0有非零解的充分条件是mn，即方程个数未知数个数 7、非齐次线性方程组有解的判定 1）设A是m×

13、;n矩阵，Axb有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r(A)r(A增) 2）设A是m×n矩阵，方程组Axb 有唯一解<=> r(A)r(A增)n 有无穷多解<=> r(A)r(A增)无解<=> r(A)+1=r(A增) 8、非齐次线性方程组解的结构 如n元线性方程组Axb有解，设,2,t是相应齐次方程组Ax0的基础解系，是Axb的一个解，则k11+k22+ktt+是Axb的通解。 1）若1，2是Axb的解，则1-2是Ax0的解 2）若是Axb的解，是Ax0的解，则+k仍是Axb的解 3）若Axb有唯一解，则Ax0只有零解；反之

14、，当Ax0只有零解时，Axb没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解） 四、题型及解题思路 1、有关n维向量概念与性质的命题 2、向量的加法与数乘运算 3、线性相关与线性无关的证明 1）定义法 设k11+k22+kss0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！） 由BC可得ABAC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A 展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，ks的取值，得出所需结论。 2）用秩（等于向量个数） 3）齐次方程组只有零解 4）反证法 4、求给定向量组的秩和极大线性无关组 多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。 5、求矩阵

15、的秩 常用初等变换法。 6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组第四章 线性空间 一、重点 1、理解：线性空间、基、维数、内积、长度、夹角和距离的概念，正交向量组及标准正交基的概念，正交矩阵 2、掌握：Rn及其中向量的运算规则。 内积、长度、夹角、距离的计算。 3、运用：两个向量的正交。 二、难点 正交矩阵的性质及应用。 三、重点难点解析 1、线性空间与基的概念和性质 2、内积、距离与夹角 1）内积：·a1b1+a2b2+anbn 2）长度：（·）的平方根（a12+a22+an2）的平方根 3）距离：d(a1-b1)2+(a2-b2)2+(an-bn)2的平方根 4）夹角：

16、cos（·）/（） arccos（·）/（） 5）正交：与的夹角为90°，记为 与正交<=>·0 6）正交向量组：任意两个向量都互相垂直 任一组非零正交向量组必线性无关 Rn中任一非零正交向量组的向量个数不大于n 3、向量的正交化 1）标准正交基的概念 2）施密特正交化（先正交化，再单位化） 4、正交矩阵 1）概念 2）性质 若A为正交阵=>A1或-1 =>A1仍为正交阵 =>若BBTI，则AB(AB)TI => A1AT 3）n阶方阵A是正交阵<=>A的n个行向量构成Rn的一组标准正交基 <=>

17、;A的n个列向量构成Rn的一组标准正交基 四、题型及解题思路 1、判定给定集合是否为线性空间 一般由线性空间的定义与性质来判断 2、求线性空间的基与维数 3、验证n维向量组为Rn的一组标准正交基 步骤：1）证向量两两正交，即内积为零 2）证各向量都是单位向量，即长度为1 4、计算两向量的内积、向量间的夹角及距离 5、把给定向量组标准正交化 步骤：1）判断向量组的线性相关性，只有线性无关的向量组才能标准正交化2）正交化（施密特正交化方法） 3）标准化vii /i 6、证明有关正交矩阵的命题 7、正交矩阵的判定 1）定义法：若AATIn =>A为正交阵 若AATIn =>A不是正交阵

18、该方法多用于抽象矩阵的证明。 2）n阶方阵A是正交阵<=>A的n个行向量（或列向量）构成Rn的一组标准正交基<=>A的行（列）向量都是单位向量且两两正交 该方法多用于给出具体数值的矩阵。第五章 特征值与特征向量 一、重点 1、理解：特征值与特征向量的概念及其基本性质。 相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角阵的条件。 约当型矩阵。 2、掌握：计算特征值与特征向量的方法。 求相似的对角阵。 二、难点 相似对角化及其应用。 三、重点难点解析 1、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质 1）概念 注意：若是A的特征值，则I-A0，因此I-A是不可逆矩阵 若不是A的特征值，则I-A0

19、，因此I-A是可逆矩阵 特别地，0是A的特征值<=>A0<=>A不可逆 Ax0的基础解系就是0的线性无关的特征向量 对n阶阵A，若r(A)=1，则1aii, 2=3=n=0 2）性质 若x1，x2都是特征值i所对应的特征向量，则x1，x2的线性组合k1x1+k2x2（非零）仍是属于i的特征向量。i的特征向量不是唯一的，反过来，一个特征向量只能属于一个特征值。 不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当i是A的k重特征值时，A属于i的线性无关的特征向量的个数不超过k个。 特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A行列式的值。 2、相似矩阵的概念及性质 1）

20、概念 2）性质 若AB=>ATBT => A1B1（若A、B均可逆） => AkBk（k为正整数）=>I-AI-B，从而A、B有相同的特征值 =>AB，从而A、B同时可逆或不可逆 =>r(A)r(B) 3、矩阵可相似对角化的充要条件 1）相似对角化的概念 2）充要条件 A与对角阵相似<=>A有n个线性无关的特征向量 <=>A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数 3）A与对角阵相似的充分条件是A有n个不同的特征值 4、对称矩阵的相似 1）实对称阵必可对角化 2）特征 特征值全是实数，特征向量都是实向量 不同特

21、征值的特征向量互相正交 k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有r(I-A)n-k 四、题型及解题思路 1、特征值与特征向量的求法 1）对抽象矩阵 由特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值。 2）对数字矩阵从特征方程I-A0求出特征值i（应有n个，含重根） 解齐次方程组(I-A)x0，其基础解系就是所对应的线性无关的特征向量。2、判断A是否可对角化 1）方法一：n阶方阵A可对角化<=> A有n个线性无关的特征向量 方法二：对n阶方阵A的任一特征值i（设为ki重根），有n-r(iI-A)= ki 2）化A为对角阵的步骤先求出A的特征值1,2,n 再求所对应的线性无关

22、的特征向量x1,x2,xn1 构造可逆矩阵P（x1 x2 xn），则P1AP 2 n 3、利用特征值与相似矩阵求行列式1）A12n 其中：1,2,n为A的n个特征值 2）若AB，则AB4、利用相似对角化求An 若A，即存在可逆阵P，使得P1AP，则APP1，从而AnPnP1 其中：是A的相似标准型 5、有关特征值与特征向量的证明 第六章 实二次型 一、重点 1、理解：二次型的概念，二次型同对称阵的关系，矩阵合同的概念，标准型与规范标准型的概念，正定二次型与正定矩阵的概念。 2、掌握：从二次型求对称阵及从对称阵求二次型。 合同与讹传西变量变换之间的关系。 正定二次型、正定阵的判断。 3、应用：正

23、交变换法、配方法及初等变换法化二次型为标准型，从标准型求规范标准型。 二、难点 化二次型为标准型。 三、重点难点解析 1、二次型的概念及其标准型 1）二次型 二次型的矩阵是唯一的，由二次型应能立即写出其二次型矩阵，反之，给出实对称矩阵要能构造出二次型。 2）二次型的标准型 概念 正、负惯性指数，r(f)=r(A)=p+q 正交变换化二次型为标准型时，标准型中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性。 3）惯性定理 二次型的正、负惯性指数是唯一不变的，它反映了二次型的本质特征。 2、合同矩阵与正定矩阵 1）合同矩阵 概念 充要条件： 实对称阵AB<=>二次型xTAx与x

24、TBx有相同的正、负惯性指数。 AB的必要条件是r(A)= r(B) 2）正定二次型与正定矩阵 概念 充要条件 n元二次型xTAx正定<=>xTAx的正惯性指数p=n <=>A与I合同，即有可逆阵D使ADTD <=>A的特征值全是正数 <=>A的顺序主子式全大于零 正定的必要条件：aii>0，（i=1,2,n）；A>0可帮助排除非正定的二次型。 3）注意：若A为正定矩阵，则kA（k>0），AT，A1，A*也是正定矩阵。 若A为正定矩阵，则有A>0，从而A可逆。 若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素aii>0，（i=

25、1,2,n）。 四、题型及解题思路 1、有关二次型基本概念的命题 2、化二次型为标准型 1）配方法 2）正交变换法 必须先正确写出二次型矩阵，二次型矩阵是对角线aii为xi2的系数，aij=aji为xixj系数的一半； 求出二次型矩阵的特征根及对应的特征向量； 将重特征根的特征向量正交化，再将所得特征向量单位化，以此为列构成的矩阵即为正交矩阵Q； 作变换XQY，即可将二次型化为标准型。 3）初等变换法 注意：用正交变换化标准型时，平方项系数是特征值，且是唯一的。 由配方法所得的标准型是不唯一的。 不论用那种方法，正、负惯性指数是一致的。 3、判别二次型的正定 方法：1）用定义 2）正惯性指数p

26、=n 3）顺序主子式全大于零 4）特征值全大于零 5）对任意x0，恒有xTAx>0。 4、有关正定性的证明 1）方法：特征值法 定义法 2）正定是对实对称阵而言，证明A是正定矩阵时，要验证ATA。线性代数知识点框架（一） 线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。 线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。 关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组

27、有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。 高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。 任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。 由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。 对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成

28、一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。 可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。 系数矩阵和增广矩阵。 高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。 阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。 对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，

29、可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。 在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。 常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。 齐次方程组的方

30、程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。 利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题（1）解的存在性问题和（2）如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。 对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。 通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质（如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等），这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。&#

31、160;用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。 总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。  线性代数知识点框架（二） 在利用高斯消元法求解线性方程组的过程中，涉及到一种重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上，也就是说，为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解，有多少解的问题，需要定义这样的运算，这提示我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算。 数域上的n元有序数组称为n维向量。设向量a=(a1,a2,.,an)，称ai是a的第i

32、个分量。 n元有序数组写成一行，称为行向量，同时它也可以写为一列，称为列向量。要注意的是，行向量和列向量没有本质区别，只是元素的写法不同。 矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联系。 对给定的向量组，可以定义它的一个线性组合。线性表出定义的是一个向量和另外一组向量之间的相互关系。 利用矩阵的列向量组，我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题。同时要注意这个结论的双向作用。 从简单例子（如几何空间中的三个向量）可以看到，如果一个向量a1能由另外两个向量a2、a3线性表出，则这三个向量共面，反之则不共面。为

33、了研究向量个数更多时的类似情况，我们把上述两种对向量组的描述进行推广，便可得到线性相关和线性无关的定义。 通过一些简单例子体会线性相关和线性无关（零向量一定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等）。 从多个角度（线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度）体会线性相关和线性无关的本质。 部分组线性相关，整个向量组线性相关。向量组线性无关，延伸组线性无关。 回到线性方程组的解的问题，即一个向量b在什么情况下能由另一个向量组a1,a2,.,an线性表出？如果这个向量组本身是线性无关的，可通过分析立即得到答案：b, a1, a2, ., a

34、n线性相关。如果这个向量组本身是线性相关的，则需进一步探讨。 任意一个向量组，都可以通过依次减少这个向量组中向量的个数找到它的一个部分组，这个部分组的特点是：本身线性无关，从向量组的其余向量中任取一个进去，得到的新的向量组都线性相关，我们把这种部分组称作一个向量组的极大线性无关组。 如果一个向量组A中的每个向量都能被另一个向量组B线性表出，则称A能被B线性表出。如果A和B能互相线性表出，称A和B等价。 一个向量组可能又不止一个极大线性无关组，但可以确定的是，向量组和它的极大线性无关组等价，同时由等价的传递性可知，任意两个极大线性无关组等价。 注意到一个重

35、要事实：一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出。这是不难理解的，例如不共面的三个向量（对应线性无关）的确不可能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将这个数目r称为向量组的秩。 向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目。等价的向量组有相同的秩。 有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得到线性方程组的有解的充分必要条件：若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，则有解，若不等，则无解。 向量组的秩是一个自然数，由这

36、个自然数就可以判断向量组是线性相关还是线性无关，由此可见，秩是一个非常深刻而重要的概念，故有必要进一步研究向量组的秩的计算方法。线性代数知识点框架（三） 为了求向量组的秩，我们来考虑矩阵。矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组的秩称为行秩。 对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。 矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。 任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即对任意一个矩阵来说，其

37、行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。 通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。 考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。 矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。 满秩矩阵的行列式不等于零。非满秩矩阵的行列式必为零。 既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵

38、的秩等于增广矩阵的秩。另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，r<n，有无穷多解。 齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。 通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。 非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。  线性代数知识点框架（四） 在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位

39、和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。 矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。 矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。 矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。 矩阵乘法的特点：若C=AB，则C的第i行、第j列的元素是A的第i行与B的第j列的元素对应乘积之和；A的列数要和B的行数相同；C的行数是A的行数，列数是B的列数。需要主义的是矩阵乘法不满足交换律，满足结合律。 利用矩阵

40、乘积的写法，线性方程组可更简单的表示为：Ax=b。 对于C=AB，还可作如下分析：将左边的矩阵A写成列向量组的形式，即意味着C的列向量组能由A的列向量组表示，从而推知C的列秩小于等于A的列秩；将右边的矩阵B写成行向量组的形式，即意味着C的行向量组能由B的行向量组表示，从而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩，最终可得到结论，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩。 关于矩阵乘积的另外一个重要结论：矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积。 一些特殊的矩阵：单位阵、对角阵、初等矩阵。尤其要注意，初

41、等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵。 每一个初等矩阵对应一个初等变换，因为左乘的形式为PA（P为初等矩阵），将A写成行向量组的形式，PA意味着对A做了一次初等行变换；同理，AP意味着对A做了一次初等列变换，故左乘对应行变换，右乘对应列变换。 若AB=E，则称A为可逆矩阵，B是A的逆阵，同样，这时的B也是可逆矩阵，注意可逆矩阵一定是方阵。 第一种求逆阵的方法：伴随阵。这种方法的理论依据是行列式的按行（列）展开。 矩阵可逆，行列式不为零，行（列）向量组线性无关，满秩，要注意这些结论之间的充分必要性。 单位阵和初等矩阵都是可逆的。 若

42、矩阵可逆，则一定可以通过初等变换化为单位阵，这是不难理解的，因为初等矩阵满秩，故最后化成的阶梯型（最简形）中非零行数目等于行数，主元数目等于列数，这即是单位阵。进一步，既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵，而初等变换对应的是初等矩阵，即意味着：可逆矩阵可以通过左（右）乘一系列初等矩阵化为单位阵，换言之可逆矩阵可看作是一系列初等矩阵的乘积，因为单位阵在乘积中可略去。 可逆矩阵作为因子不会改变被乘（无论左乘右乘）的矩阵的秩。 由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵的乘积，可以想象，同样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上，结果是将这个单位阵变为原来矩阵的逆阵，由此引出求逆阵的第二种方法：初等变换。需要注意的是这个过程中不能混用行列变换，且同样是左乘对应行变换，右乘对应列变换。 矩阵分块，即可把矩阵中的某些行和列