北京市海淀区2024−2025学年高二上学期10月阶段考试数学试题含答案

北京市海淀区2024−2025学年高二上学期10月阶段考试数学试题一、单选题（本大题共12小题）1．在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（

）

A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（

）A． B． C． D．3．若，，且，则（

）A．， B．，C．， D．，4．长方体中，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．5．正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（

）A． B．a C． D．6．如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取60名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（

）A．10 B．12 C．18 D．248．“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：借书数量（单位：本）5678910频数（单位：人）58131194则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（

）A．8 B．8.5 C．9 D．109．下列四个说法：①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底；②空间的任意两个向量都是共面向量；③若两条不同直线的方向向量分别是，则////；④若两个不同平面的法向量分别是且，则//．其中正确的说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为（

）A． B．1 C． D．11．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（

）（1）中位数为3，众数为2

（2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4

（4）均值为2，标准差为A．（1）（3） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）12．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（

）①存在点，使得

②不存在点，使得平面③三棱锥的体积是定值

④不存在点，使得与所成角为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题）13．已知两条异面直线对应的方向向量分别是，，则异面直线的夹角为．14．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为分.15．已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为.16．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是.17．已知空间向量（1）若，且，则；（2）若共面，在以下三个条件中①，②，③选取一个作为已知，则的值可以为．18．如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：①存在点，使得；②的面积越来越大；③四面体的体积不变．所有正确的结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题）19．某市举办“强国有我，爱我中华”科技知识竞赛，赛后将参赛的2000名学生成绩分成4组：①，②，③，④，并进行统计分析，公布了如图所示的频率分布直方图．(1)估计这2000名学生科技知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；(2)某同学获知自己的成绩进入本次竞赛成绩前，估计该同学的成绩不低于多少分？20．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.(1)求B；(2)若时，求的面积.21．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．(1)以为一组基底表示向量；(2)若，，，求．22．如图所示，点分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求二面角的余弦值.23．如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求三棱锥的体积．24．对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量.对于两个维向量定义.（1）若,求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3)现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.

参考答案1．【答案】D【详解】点A的坐标为.故选：D2．【答案】A【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.3．【答案】B【详解】由题意，向量，，因为，可得，即，解得.故选：B.4．【答案】A【详解】，，到直线的距离为.故选：A.5．【答案】C【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的长即为棱到面的距离，而，所以所求距离为．故选：C．6．【答案】B【详解】设向量，且，可得，则，所以，，所以，且，所以.故选：B.7．【答案】A【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.【详解】，，三所学校教师总和为540，从中抽取60人，则从学校中应抽取的人数为人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.8．【答案】C【详解】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，又，故四分位数（第75百分位数）是9.故选：C9．【答案】D【详解】试题分析：：①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底，正确．②空间的任意两个向量都是共面向量，正确．③若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则∥∥，正确．④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，∵，则∥．其中正确的说法的个数是4考点：空间向量的概念10．【答案】D【详解】根据题意：，，向量在上的投影向量的模为.故选：D.11．【答案】D【详解】将7个数由小到大依次记为、、、、、、.对于（1）选项，反例：、、、、、、，满足中位数为3，众数为2，与题意矛盾，（1）选项不合乎要求；对于（2）选项，假设，即该公司发生了群体性发热，因中位数为1，则，平均数为，矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（2）选项合乎要求；对于（3）选项，反例：、、、、、、，满足众数为4，均值为3，与题意矛盾，（3）选项不合乎要求；对于（4）选项，假设，即该公司发生群体性发热，若均值为2，则方差为，即，与（4）选项矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（4）选项合乎要求.故选：D12．【答案】A【详解】对于①，在正方体中，，，则四边形为平行四边形，所以，，而为线段的中点，即为的中点，所以，若存在点，使得，且、不重合，则，这与矛盾，假设不成立，①错；对于②，若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，因为，、面，则面，所以存在使得平面，②错；对于③，在正方体中，，，所以，四边形为平行四边形，则，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值，③错；对于④，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图示空间直角坐标系，则、，且，所以，，则，整理可得，解得，合乎题意，所以，存在点，使得与所成角为，④错.故选：A.13．【答案】【详解】由已知，由于异面直线夹角的取值范围为所以异面直线的夹角为.故答案为：14．【答案】95【详解】设所求平均成绩为，由题意得，∴.故答案为：9515．【答案】【详解】依题意.所以方差为.故答案为.16．【答案】.【详解】根据平行四边形法则可得，所以，所以，故答案为：.17．【答案】或或(只需写出一个)【详解】(1)当时，，因为，所以，因为，所以，解得；(2)因为共面，所以由空间向量的基本定理可知，，选①，则，故，解得；选②，则，故，解得；选③，则，故，解得；综上所述，的值可以为或或.故答案为：；或或.18．【答案】①③【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，设，则，令，解得：，所以存在点，使得，故①正确；，，设点到直线距离为，则，所以，因为，动点沿着棱从点向点移动，所以从逐渐变到，随着的变大，的面积越来越小，②错误；以为底，高为点到上底面的距离，因为底面，所以不变，所以四面体的体积不变，③正确．故答案为：①③．19．【答案】(1)83.5(2)92分【详解】（1）因为，所以这2000名学生竞赛成绩的平均数可以估计为83.5．（2）因为这组数据占总数的，该同学的成绩进人本次竞赛成绩前，所以．所以可以估计该同学的成绩不低于92分．20．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由余弦定理得，则，又因为，可得，因为，所以.（2）由（1）知，且，因为，由正弦定理，可得，又由，所以的面积为.21．【答案】(1)；(2).【详解】（1）∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴；（2）．22．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）解：以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，则，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为，所以，又因为平面，所以平面.（2）解：由（1）知，平面的一个法向量为，且，可得，所以点到平面的距离为.（3）解：在正方形中，可得，因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，由（1）知，平面的一个法向量为，设二面角所成角的角为，且，所以，所以二面角所成角的余弦值为.23．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】(1)利用面面垂直的性质定理来证明线面垂直；(2)建立空间直角坐标系，然后利用向量发求线面角；(3)先利用向量法求点到面的距离，然后利用体积公式求解棱锥体积.【详解】(1)因为是等边三角形，是的中点，所以．平面，又平面平面，平面平面，所以平面；(2)记的中点为，易知两两互相垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以，设平面的一个法向量为，则

令，此时．设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角为；(3)设点到平面的距离为，，则．由平面几何知识，易知在直角梯形中，所以．

24．【