第26讲导数在研究函数中的应用

1、第21课导数在研究函数中的应用(2)一、教学目标理解导数在函数单调性、极值、最值方面的应用的原理，深化导数在函数问题中的应用，会处理简单的含参问题。二、知识梳理321、已知函数f(x)=x-3ax+a(a0);(1)若f(x)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是西什.(2)若f(x)在(-1,1)上是减函数，则实数a的取值范围是a之1.【教学建议】第一问帮助学生复习极值的概念，通过此题，学生应了解极大值、极小值的判定和求法。前面第25讲对极值的概念已进行了解析，所以该题一定要让学生自己动手去做。并引导学生在下列问题的指引下解决。(1)求函数极值的解题步骤是什么？(2)若把条件a0改为

2、a0,答：a2或a-1题2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是.【分析与点评】对函数求导后，由导函数大于零得(2,一).题3.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+b(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切x线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.【分析与点评】根据题意，只要得到关于a、b的关系式就行。题4.已知函数f(x)=x3+ax2+bxa2-7a在x=1处取得极大值10,则g的值为b【分析与点评】(1)在x=1处取得极大值10包含两层信息，一是导数值为0,二是函数值为10.(2)求出2笛的值以后要注意验证是否为极大值，舍去增根。3、要点归纳：(1

3、)在求参数的取值范围问题中，如何将已知条件转化成合理的不等关系，这要求同学们牢固掌握导数与函数单调性、极值的概念，如诊断练习题1、题2.(2)导数问题中关于三次多项式函数出现较多，三次多项式函数求导后导函数是二次函数，这要求我们对二次函数的图象，二次方程根判定，根与系数的关系，解一元二次不等式等知识非常熟悉，要体会画二次函数图象抛物线在解决此类问题中的作用。如知识梳理题3、诊断练习题4.(3)很多综合题需要学生具有画出三次多项式函数的草图的能力，利用导数求出单调区间，极值，从而画出草图，如基础知识梳理中题4,这对解导数中的综合题大有帮助.四、范例导析例1、已知定义域为R的函数f(x)=axx3

4、在区间(0,五)内是增函数(1)求实数a的取值范围；(2)若f(x)的极小值为-2,求实数a的值.【教学处理】本题考查了导数在函数研究中两个最典型的应用：单调性问题和极值问题。指名学生板演，教师点评【引导分析与精讲建议】1、强调用导数解决函数单调性、极值问题的一般解题步骤一2、强调f(x)A0是f(x)为增函数的充分不必要条件，要注意参数取值范围区间端点的取舍._.3、强调f(x)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件例2、设函数f(x)=x33ax+b(aw0).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切，求a,b的值；(2)求函数f(x)的单

5、调区间与极值点.答案：(1)f(x)=3x23a.因为曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切,f2)=0,3(4a)=0,所以iIP!解得a=4,b=24.f(2)=8,186a+b=8.(2)f(x)=3(x2a)(aw0).当a0,函数f(x)的单调递增区间为(8,+oo)；此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由f(x)=0得x=7a.当xC(一0,一g)时，f(x)0;当x(g,g)时，f(x)0.函数的单调递增区间为(8,_悯,(g,+),递减区间为(一ya,Va)-止匕时x=qa是f(x)的极大值点，x=ga是f(x)的极小值点.【教学处理】第一问，让学生独立完成，并

6、让学生板演。【引导分析与精讲建议】第二问和学生一起分析，可提如下问题：对于三次函数的单调性和极值，一般用什么方法做；在a00时，导数的正负与a的哪个值有关。例3、已知函数f(x)=alnx-ax-3(aWR).当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45*,且函数1g(x)=x+nx+mf(x)(m,nR)当且仅当在x=1处取得极值，其中f(x)为f(x)的导函数，求m的取值2范围.【教学处理】要求学生独立思考并解题，老师巡视指导了解学情，可留充分时间由学生分析，教师对各种解法进行点评.【引导分析与精讲建议】对于第一问，主要学生自己

7、完成，第二问，关键在于“当且仅当”的含义，尤其是反映在解题过程中，应该是列出什么条件？即：x2-2mx-2m0在(0,+如)上恒成立，从而利用函数的单调性求出。如学生考虑用分离参数的方法，也可以求解。从而让学生了解用分离参数法求参数也是一种重要方法，但并不是唯一解法，在学习中不能形成思维定势。五、解题反思1、体会“化归”思想在数学解题中的运用，要善于将问题转化成我们熟悉的形式，如范例导析例3.22、用导致研允函数，扩大了我们研允的广度和深度，如函数f(x)=alnx+x,f(x)=xsinx等，用以前的方法，对其性质无法研究。运用导数，能证明其单调性，求出它们的单调区间和区间上的最值等，如范例导析例2、例