沪教版数学高一下册-5.3(1)同角三角比的关系与诱导公式教案

1、 5.3 (1)同角三角比的关系与诱导公式一、教学内容分析当我们把角的概念推广到任意角以后，给出了任意角的三角比的 定义，为了求任意角的三角比的值，由三角比的定义探求同角三角比 的关系和诱导公式，成为本节我们要研究的课题。同角三角比间的八个关系式，主要用于：(1)已知某角的一个三角比的值，求它的其余各三角比的值；(2)化简三角比的关系式；(3)证明三角恒等式；(4)解三角方程。鉴于八个关系式的应用如此之广， 因此要牢固掌握，并能灵活运 用。记一个公式时，还要灵活地写出这个公式的某些变形，熟记这些 公式对以后的学习是必要的。诱导公式沟通了任意角三角比与锐角三角比以及终边有特殊位 置关系的角的三角

2、比之间的联系. 在求任意角的三角比的值，解决有 关的三角变换等方面有重要的作用。由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应 的对称性，这样就产生了 “”、“ 2”、“”等诱导公式，我们知道， 角的终边与 角的终边关于y轴对称；角的终边与 角的终边关于原点对称，2角的终边与 角的终边关于x轴对称，所以、2各角的三角函数值与 角的三角比的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角比的符 号来确定，诱导公式有很多，但是抓住终边的对称性及三角比定义， 明白公式的来龙去脉也就不难记忆了。诱导公式可以帮助我们把任意角的三角比化为锐角三角比，在求任意角的三角比时起很大作用，但是随着计算器的普及，诱

3、导公式更 多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即R,它在终边具有某种对称性的角的三角比变换中，应用广泛， 如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移 一个 2 长度单位而得到的。在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在思考， 以达到优化思维品质的功效.用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、 四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点.讲 清每一组公式的意义及其中符号语言的特征， 并把公式与相应图形对 应起来，是突破这个难点的关键。二、教学目标设计.复习巩固三角比的定义；.由三角比的定义，找出同角三角比的基本关系式.理解同角公式都是特定意

4、义的恒等式；.会简单应用同角公式.三、教学重点及难点重点：同角公式的推导与应用难点：三角比符号的确定及公式的变形应用四、教学流程设计运用定义讨论同角 三角比的关系。创设问题情 景，提出问题 复习三角的定 义运用定义确定三角比 的符号课堂小结, 布置作业五、教学过程设计一、情景引入.背景:如果sin -,为第一象限的角，如何求角的其它三5角比值；.思考问题1：已知角终边上一点P(x,y), r /2 y2 ,则角的六个三角比分别是什么？yxxyrrsin -; cos ; tan ; cot ; sec ; csc 一 rryxxy问题2：当角分别在不同的象限时，sin、cos、tan cot的

5、符号分别是怎样的？.讨论：由于 的三角比都是由x、y、r表示的，则角的六个三角比之间有什么关系？二、学习新课1.探求公式(板书课题：同角的三角比的基本关系) TOC o 1-5 h z .由三角比的定义，我们可以得到以下关系：sin2 cos21理论证明：(采用定义)1 x2 y2r2 且 siny,cosx. 22 sincos1rr2当 k-(k Z)时，sinyx y r y tan2cosrr r x xsin csc1(1)倒数关系:cos sec1tan cot1tansincoscotcossin2 sin2dcos11 tan22 sec1 cot22 csc(2)商数关系:(

6、3)平方关系: TOC o 1-5 h z 说明注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin 22sin 4 cos 41, tan 一 寺；cos22注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如k tan cot 1(,k Z);2对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变形用)，如：2. 22sin 比cos v1 sin , sin 1 cos , cos 等。tan据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函 数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解, 因此应尽可能少用(实际上，至多只要用一次)。2.例题分析3.例题1:已知cos4,

7、且为第四象限的角，求的其他三角比的值;sin , 1 cos2354 ,sec35,csc4解：为第四象限的角,sin3tan -, cotcoa4提问：(1)如果去掉为第四象限的角这个条件，应如何求的其他三角比的值？(2)练习：已知cos 色，求 的其他三角比的值？ 174.例题 2:已知 tan ,求 sin cos 和 cot ; 12 TOC o 1-5 h z 解：cot-tan 5222112 2 1 tan sec , cos 2()1 tan213tan ”二是第一或第三象限角当是第一象限角时 ,sin 0,cos 0 TOC o 1-5 h z 25cos ,sin . 1

8、cos 13当 是第三象限角时,sin 0,cos 0.5cos,sin13提问：你能用学过锐角三角比来解答上述问题吗？(1)利用直角三角形计算三角比的值(2)利用象限角确定三角比的符号说明已知一个角的某一个三角比的值，便可运用基本关系式求 出其它三角比的值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。 有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时 TOC o 1-5 h z 产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。5.例题 3:已知 cot k (k 0),求 sin , cos ;解：sin2 一21 cot21 k2c

9、otk(k 0), 角的终边不在坐标轴上.当是第一象限或第二象限角时1k2k. 1 k2sin, cos sin cot 丁,1 k21k21 k2当是第三象限或第四象限角时sin1 k 二,cos1 k2k 1k21 k2说明(1)如果已知角的一个三角比和它所在的象限，那么角的其他三角比就可以唯一确定如果仅知道的一个三角比，那么就应该根据角 的终边的所有 可能的情况分别求出其他三角比.(2)例1是给出一个三角比的值，并给出了角 所在的象限，这样 的题目只有一组解；例2是给出一个三角比的值，未给出角所在的象 限，要先确定角所在的象限，然后分情况求解，这样的题有两组解；例 3是给出了一个三角比的值，但是字母，因此先要根据字母的取值确 定所在的位置.3.归纳总结：总结解题的一般步骤：确定终边的位置(判断所求三角函数的符号)；根据同角三角函数的关系式求值。三、巩固练习P21 练习 5.3(1)四、课堂小结.同角三角函数基本关系式及成立的条件；.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；.在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值 五、作业布置习题 5.3A 组:2,4(3)(4),7;B组:2,七、教学设计说明本节课主要以下几个层次教学：第一层次：复习三角比的定义，为学习同角公式打下基础；第二层次：运用三角比的定义，探求同角公式；第三层次：这八个公式的特点是